高考数学专题复习教案： 等比数列及其前n项和备考策略 3页

等比数列及其前n项和备考策略 主标题：等比数列及其前n项和备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：等比数列，等比数列前n项和，等比数列的判断，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一 等比数列的基本运算 ‎【例1】（1）(2015·东北三校联考)已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10为(　　)‎ A.(210－1)　　　　　　　 B.(210＋1)‎ C.(2－10－1) D.(2－10＋1)‎ 解析：选C　∵2an＋1＋an＝0，∴＝－.又a2＝1，∴a1＝－2，∴数列{an}是首项为－2，公比为q＝－的等比数列，∴S10＝＝＝(2－10－1)，故选C.‎ ‎（2）设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．‎ 解：由题设知a1≠0，Sn＝，‎ 所以 由②式得1－q4＝5(1－q2)，‎ 即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.‎ 因为q<1，所以q＝－1，或q＝－2.‎ 当q＝－1时，代入①式得a1＝2，‎ 通项公式an＝2×(－1)n－1；‎ 当q＝－2时，代入①式得a1＝，‎ 通项公式an＝×(－2)n－1.‎ 综上，an＝ ‎【备考策略】‎ ‎1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．‎ ‎2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．‎ 考点二　等比数列的判定与证明 ‎【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.‎ 求证：数列{bn}是等比数列，并求an.‎ 证明　由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，‎ 得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，‎ 两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，‎ 所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，‎ 所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．‎ 由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，‎ 所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·2n－1.‎ 故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.‎ ‎【备考策略】 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．‎ 考点三　等比数列性质的应用 ‎【例3】　(1)在等比数列中，已知a1aa15＝243，则的值为(　　)‎ A．3 B．9‎ C．27 D．81‎ ‎(2)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝(　　)‎ A．11 B．12‎ C．14 D．16‎ ‎[解析]　(1)设数列{an}的公比为q，∵a1aa15＝243，a1a15＝a，∴a8＝3，∴＝＝a ‎＝9.故选B.‎ ‎(2)设数列{an}的公比为q，‎ 由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，‎ 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，‎ 因此q3n－6＝81＝34＝q36，‎ 所以n＝14，故选C.‎ ‎【备考策略】等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎