高考数学专题复习教案： 曲线与方程备考策略 4页

曲线与方程备考策略 主标题：曲线与方程备考策略 副标题：为学生详细的分析曲线与方程的高考考点、命题方向以及规律总结 关键词：曲线与方程，知识总结备考策略 难度：5‎ 重要程度：3‎ 内容：‎ 一、曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．‎ 二、求动点轨迹方程的一般步骤 ‎1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．‎ ‎2．写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．‎ ‎3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．‎ ‎4．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．‎ 思维规律解题：‎ |‎ 例1．(2015·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)‎ A．x2＝4y　　　　　　 B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 答案 A 解析：选A　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．‎ ‎∵·＝·，‎ ‎∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，‎ 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.‎ 例2．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________________________．‎ 答案：x2－＝1(λ≠0，x≠±1)‎ 解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，‎ 整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．‎ 即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．‎ |‎ 例3.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.‎ ‎(1)求曲线M的方程；‎ ‎(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．‎ 解：(1)由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，‎ 所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．‎ 设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，‎ 则a2＝4，b2＝a2－2＝3，‎ 所以曲线M：＋＝1(y≠0)为所求．‎ ‎(2)如图，由题意知直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，‎ 设lBC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 由消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，‎ 所以 因为＝(my1＋2，y1)，＝(my2＋2，y2)，‎ 所以·＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2‎ ‎＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4‎ ‎＝－－＋4＝.‎ 因为点A在以CD为直径的圆上，‎ 所以·＝0，即m＝±，‎ 所以直线BC的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.‎ |(重点保分型考点——师生共研)‎ 例4.(2015·广州模拟)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EA⊥EB，求·的取值范围．‎ 解：(1)法一：由＝2知点M为线段PD的中点．‎ 设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)．‎ 因为点P在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以x2＋(2y)2＝4.‎ 所以曲线C的方程为＋y2＝1.‎ 法二：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，‎ 由＝2，得x0＝x，y0＝2y.‎ 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以x＋y＝4. ①‎ 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4.‎ 所以曲线C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为EA⊥EB，所以·＝0.‎ 所以·＝·(－)＝.‎ 设点A(x1，y1)，则＋y＝1，即y＝1－.‎ 所以·＝＝(x1－1)2＋y＝x－2x1＋1＋1－＝x－2x1＋2＝2＋.‎ 因为点A(x1，y1)在曲线C上，所以－2≤x1≤2.‎ 所以≤2＋≤9.‎ 所以·的取值范围为.‎ 规律总结：‎ ‎1．直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 ‎(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．‎ ‎(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．‎ ‎2．由曲线方程讨论曲线类型的关键是确定参数的分段值．参数分段的确定标准，一般有两类：‎ ‎(1)二次项系数为0的值；‎ ‎(2)二次项系数相等的值．‎ ‎3．运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．‎ ‎4．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．‎