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  • 2021-06-15 发布

2015年数学理高考课件6-5 合情推理与演绎推理

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[ 最新考纲展示 ]   1 . 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.  2. 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.  3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 第五节 合情推理与演绎推理 合情推理 1 .归纳推理与类比推理 2. 合情推理的作用 合情推理得出的结论具有猜测性,不一定正确,但是,在数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理能帮助猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理能提供证明的思路和方向. ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 .合情推理是合乎情理的推理,它包括归纳推理和类比推理,它们都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理. 2 .在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑,否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误. 答案: D 2 .数列 {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5 , … } 的首项是 1 ,随后两项都是 2 ,接下来 3 项都是 3 ,再接下来 4 项都是 4 , … ,依此类推,若 a n - 1 = 20 , a n = 21 ,则 n = ________. 答案: 211 演绎推理 1 .定义:从 出发,推出 下的结论,我们把这种推理称为演绎推理; 2 .特点:演绎推理是由 的推理; 3 .模式:三段论. “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式,包括: 一般性的原理 某个特殊情况 一般到特殊 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 在数学中,通常由已知条件归纳出一个结论,或运用类比推理给出某个结论,再运用演绎推理进行严格证明.也就是说,合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在前提和推理形式都正确的情况下,通过演绎推理所推出的结论一定是正确的. 3 .命题 “ 有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数 ” 是假命题,推理错误的原因是 (    ) A .使用了归纳推理 B .使用了类比推理 C .使用了 “ 三段论 ” ,但推理形式错误 D .使用了 “ 三段论 ” ,但小前提错误 解析: 由条件知,使用了三段论,但推理形式是错误的. 答案: C 归纳推理 【 例 1】   (2013 年高考陕西卷 ) 观察下列等式 1 2 = 1 1 2 - 2 2 =- 3 1 2 - 2 2 + 3 2 = 6 1 2 - 2 2 + 3 2 - 4 2 =- 10 …… 照此规律,第 n 个等式可为 ____________ . 解析: 由条件知 n + ( n + 1) + ( n + 2) + … + (3 n - 2) = (2 n - 1) 2 . 答案: n + ( n + 1) + ( n + 2) + … + (3 n - 2) = (2 n - 1) 2 . 反思总结 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 (1) 数的归纳包括数学归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2) 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳. 变式训练 1 .用火柴棒摆 “ 金鱼 ” ,如图所示: 按照上面的规律,第 n 条 “ 金鱼 ” 需要火柴棒的根数为 ________ . 解析: 由图形间的关系可以看出,第一个图中有 8 根火柴棒,第二个图中有 8 + 6 根火柴棒,第三个图中有 8 + 2 × 6 根火柴棒,以此类推第 n 个 “ 金鱼 ” 需要火柴棒的根数是 8 + 6( n - 1) ,即 6 n + 2. 答案: 6 n + 2 类比推理 反思总结 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法 (1) 类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解. (2) 类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; (3) 类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移. 解析: 通过类比,等比数列的商对应等差数列的差,应是 ( r - s ) b t + ( s - t ) b r + ( t - r ) b s = 0 ,经验证等式成立. 答案: ( r - s ) b t + ( s - t ) b r + ( t - r ) b s = 0. 演绎推理 反思总结 演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 解析: y = a x 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错. 答案: A —— 合情推理与证明的交汇创新问题 合情推理与证明的交汇问题是近年来高考命题的又一创新点,如 2012 年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中,解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性,然后把这种相似性推广到一个明确表达的一般命题,最后进行证明检验. 【 典例 】  某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ① sin 2 13° + cos 2 17° - sin 13°cos 17° ; ② sin 2 15° + cos 2 15° - sin 15°cos 15° ; ③ sin 2 18° + cos 2 12° - sin 18°cos 12° ; ④ sin 2 ( - 18°) + cos 2 48° - sin( - 18°)cos 48° ; ⑤ sin 2 ( - 25°) + cos 2 55° - sin( - 25°)cos 55°. (1) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2) 根据 (1) 的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 由题悟道 解决本题的关键 (1) 正确应用三角恒等变换,用一个式子把常数求出来. (2) 通过观察各个等式的特点,找出共性,利用归纳推理正确得出一个三角恒等式,并给出正确的证明. 本小节结束 请按 ESC 键返回