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- 2021-06-15 发布
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[
最新考纲展示
]
1
.
了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.
2.
了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.
3.
了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
第五节 合情推理与演绎推理
合情推理
1
.归纳推理与类比推理
2.
合情推理的作用
合情推理得出的结论具有猜测性,不一定正确,但是,在数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理能帮助猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理能提供证明的思路和方向.
____________________[
通关方略
]____________________
1
.合情推理是合乎情理的推理,它包括归纳推理和类比推理,它们都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.
2
.在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑,否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.
答案:
D
2
.数列
{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5
,
…
}
的首项是
1
,随后两项都是
2
,接下来
3
项都是
3
,再接下来
4
项都是
4
,
…
,依此类推,若
a
n
-
1
=
20
,
a
n
=
21
,则
n
=
________.
答案:
211
演绎推理
1
.定义:从
出发,推出
下的结论,我们把这种推理称为演绎推理;
2
.特点:演绎推理是由
的推理;
3
.模式:三段论.
“
三段论
”
是演绎推理的一般模式,包括:
一般性的原理
某个特殊情况
一般到特殊
____________________[
通关方略
]____________________
在数学中,通常由已知条件归纳出一个结论,或运用类比推理给出某个结论,再运用演绎推理进行严格证明.也就是说,合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在前提和推理形式都正确的情况下,通过演绎推理所推出的结论一定是正确的.
3
.命题
“
有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数
”
是假命题,推理错误的原因是
(
)
A
.使用了归纳推理
B
.使用了类比推理
C
.使用了
“
三段论
”
,但推理形式错误
D
.使用了
“
三段论
”
,但小前提错误
解析:
由条件知,使用了三段论,但推理形式是错误的.
答案:
C
归纳推理
【
例
1】
(2013
年高考陕西卷
)
观察下列等式
1
2
=
1
1
2
-
2
2
=-
3
1
2
-
2
2
+
3
2
=
6
1
2
-
2
2
+
3
2
-
4
2
=-
10
……
照此规律,第
n
个等式可为
____________
.
解析:
由条件知
n
+
(
n
+
1)
+
(
n
+
2)
+
…
+
(3
n
-
2)
=
(2
n
-
1)
2
.
答案:
n
+
(
n
+
1)
+
(
n
+
2)
+
…
+
(3
n
-
2)
=
(2
n
-
1)
2
.
反思总结
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)
数的归纳包括数学归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.
(2)
形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.
变式训练
1
.用火柴棒摆
“
金鱼
”
,如图所示:
按照上面的规律,第
n
条
“
金鱼
”
需要火柴棒的根数为
________
.
解析:
由图形间的关系可以看出,第一个图中有
8
根火柴棒,第二个图中有
8
+
6
根火柴棒,第三个图中有
8
+
2
×
6
根火柴棒,以此类推第
n
个
“
金鱼
”
需要火柴棒的根数是
8
+
6(
n
-
1)
,即
6
n
+
2.
答案:
6
n
+
2
类比推理
反思总结
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)
类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解.
(2)
类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;
(3)
类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.
解析:
通过类比,等比数列的商对应等差数列的差,应是
(
r
-
s
)
b
t
+
(
s
-
t
)
b
r
+
(
t
-
r
)
b
s
=
0
,经验证等式成立.
答案:
(
r
-
s
)
b
t
+
(
s
-
t
)
b
r
+
(
t
-
r
)
b
s
=
0.
演绎推理
反思总结
演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
解析:
y
=
a
x
是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错.
答案:
A
——
合情推理与证明的交汇创新问题
合情推理与证明的交汇问题是近年来高考命题的又一创新点,如
2012
年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中,解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性,然后把这种相似性推广到一个明确表达的一般命题,最后进行证明检验.
【
典例
】
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①
sin
2
13°
+
cos
2
17°
-
sin 13°cos 17°
;
②
sin
2
15°
+
cos
2
15°
-
sin 15°cos 15°
;
③
sin
2
18°
+
cos
2
12°
-
sin 18°cos 12°
;
④
sin
2
(
-
18°)
+
cos
2
48°
-
sin(
-
18°)cos 48°
;
⑤
sin
2
(
-
25°)
+
cos
2
55°
-
sin(
-
25°)cos 55°.
(1)
试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)
根据
(1)
的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
由题悟道
解决本题的关键
(1)
正确应用三角恒等变换,用一个式子把常数求出来.
(2)
通过观察各个等式的特点,找出共性,利用归纳推理正确得出一个三角恒等式,并给出正确的证明.
本小节结束
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