黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理）试题 Word版含答案 8页

哈师大附中 2020-2021 学年度高二上学期开学考试 ‎ 数学（理）试卷 ‎（时间：90分钟 满分：120 分） ‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) ‎ 一、选择题(本大题共 10个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) ‎ ‎1.已知，下列不等式成立的是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若直线过点则的最小值是（　　）‎ ‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎3.若是夹角为60°的两个单位向量，则向量的夹角为（　　）‎ ‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎4.设向量，，且，则（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设等差数列的前n项和为，若，则取最大值时的值为（　　）‎ ‎ A．6 B．7 C．8 D．13‎ ‎6.已知等差数列的前n项和为，则数列的前项和为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ - 8 -‎ ‎7.设等比数列的前n项和为，若，则（　　）‎ ‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若正实数满足，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共 70 分) ‎ 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11.不等式的解集为 .‎ ‎12.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建 筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环 形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一 圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，‎ 则前9圈的石板总数是　 　．‎ ‎13.在中,若则 .‎ - 8 -‎ ‎14.在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是 .‎ ‎①存在点，使得平面平面；‎ ‎②存在点，使得平面；‎ ‎③的面积不可能等于；‎ ‎④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.‎ 三、解答题(本大题共 4 个小题，共50 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) ‎ ‎15．（本题满分 12 分）‎ 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求顶点的坐标；（Ⅱ）求的面积.‎ ‎16．（本题满分 12分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥底面为菱形，‎ 平面，，分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若为上的动点,，与平面 - 8 -‎ 所成最大角的正切值为，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎18.（本题满分14分）‎ 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．‎ ‎（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．‎ - 8 -‎ 高二上学期开学考试数学（理）答案 一. 选择题 ‎1-5 DABCB 6-10 BABCD ‎ 二. 填空题 ‎11. 12. 405 13. -1 14. ①②④‎ 三．解答题 ‎15．解：（1）设点，则点，由已知有，‎ 故点，‎ 同理设则，则点，‎ （2） 由（1）知、，所以 且，‎ 所以直线的方程为，即 边上的高即点到直线的距离为 ‎16.解：（Ⅰ）法一：不等式f（x）＞4，即|x+3|+|x﹣1|＞4．‎ 可得，或或 解得x＜﹣3或x＞1，‎ - 8 -‎ 所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．‎ 法二：|x+3|+|x﹣1|≥|x+3﹣（x﹣1）|=4，‎ 当且仅当（x+3）（x﹣1）≤0即﹣3≤x≤1时等号成立．‎ 所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．‎ ‎（Ⅱ）依题意可知f（x）min＞g（x）max 由（Ⅰ）知f（x）min=4，g（x）=﹣x2+2mx=﹣（x﹣m）2+m2 ‎ 所以 由m2＜4的m的取值范围是﹣2＜m＜2‎ ‎17．解：1证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．‎ 因为E为BC的中点，所以．又，因此．‎ 因为平面ABCD，平面ABCD，所以．‎ 而平面PAD，平面PAD且，‎ 所以平面又平面PAD，‎ 所以．‎ ‎2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH．‎ 由1知平面PAD，则为EH与平面PAD所成的角．在中，，所以当AH最短时，最大，‎ 即当时，最大．‎ 此时，因此又，‎ 所以，‎ 所以．‎ 因为平面ABCD，平面PAC，‎ 所以平面平面ABCD．‎ 过E作于O，则平面PAC，‎ 过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，‎ - 8 -‎ 在中，，，‎ 又F是PC的中点，在中，，‎ 又，在中，，‎ 即所求二面角的余弦值为．‎ ‎18．解：（1）由题意得：，即，‎ 则是“平方递推数列”．‎ ‎ ‎ 对两边取对数得，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知 ‎(3）‎ - 8 -‎ 又，即 又，所以．‎ - 8 -‎