专题04 三角函数-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版） 34页

1 专题 04 三角函数 易错点 1 不能正确理解三角函数的定义 角α的终边落在直线 y＝2x上，则 sinα的值为 A．－ 5 5 B． 5 5 C．2 5 5 D．±2 5 5 【错解】选 C. 在角的终边上取点 P(1,2)，∴r＝|OP|＝ 12＋22＝ 5，∴sinα＝y r ＝ 2 5 ＝ 2 5 5 ，故选 C． 【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错 解中没有对两种情况进行讨论导致错误． 【参考答案】D 1．定义 设 是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 x轴非负半轴重合，点  ,P x y 是角 的终边上任意 一 点 ， P 到 原 点 的 距 离  0OP r r  ， 那 么 角  的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 分 别 是 sin , cos , tany x y r r x      ． 2 注意：正切函数 tan y x   的定义域是 ππ , 2 k k        Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R . 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．在平面直角坐标系 中，点 是角 终边上的一点，则 等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 点 是角 终边上的一点， ， 从而 ，故选 A. 【名师点睛】本题考查主要考查三角函数的定义以及二倍角的正切公式的应用，意在考查综合运用所学 知识解答问题的能力，属于中档题. 易错点 2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值 已知 cosθ＝t，求 sinθ、tanθ的值． 【错解】①当 00)来确定ω； ④φ的确定：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与 x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令ωx＋φ＝0， x＝ )确定φ. 函数    sin 2f x x   的图象向右平移 个单位长度误写成    sin 2g x x     . 9 （1）三角函数图象变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的 ,x y变 换”的原则. （2）对于三角函数图象平移变换问题,其平移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量 x ,如果 x的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同 时,首先要将函数名称统一,其次要把 x  变换成 ( )x    ,最后确定平移的单位,并根据   的符号确定平 移的方向. 易错点 5 注意符号对三角函数性质的影响 已知函数 f(x)＝2cos π 3 － x 2 . （1）求 f(x)的单调递增区间； （2）若 x∈[－π，π]，求 f(x)的最大值和最小值． 【错解】（1）由－π≤π 3 － x 2 ≤0得， 2π 3 ≤x≤8π 3 ， ∴f(x)的单调递增区间为 2π 3 ， 8π 3 . （2）∵－1≤cos π 3 － x 2 ≤1， ∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－2. 【错因分析】（1）忽略了函数 f(x)的周期性；（2）忽略了 x∈[－π，π]对函数 f(x)的最值的影响． 【试题解析】（1）∵f(x)＝2cos π 3 － x 2 ＝2cos x 2 － π 3 . 由 2kπ－π≤x 2 － π 3 ≤2kπ得，4kπ－4π 3 ≤x≤4kπ＋2π 3 (k∈Z)． 故 f(x)的单调增区间为[4kπ－4π 3 ，4kπ＋2π 3 ](k∈Z)． 10 【参考答案】（1）函数 ( )f x 的单调递增区间为[4kπ－4π 3 ，4kπ＋2π 3 ](k∈Z)；（2）f(x)max＝2，f(x)min＝－ 3. 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法 （1）形如 y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为 y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)； （2）形如 y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设 sinx=t，化为关于 t的二次函数求值域(最值)； （3）形如 y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设 t=sinx±cosx，化为关于 t的二次函数求值域 (最值)． 3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 （1）已知三角函数解析式求单调区间： ①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如 y=Asin（ωx＋φ）或 y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体， 通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如 y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为 y=Asin（ωx＋φ）＋ b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. 4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 （1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式 T= 2 | |  ，T= 2 | |  ，T= | |  求解． （2）对于函数 y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是 函数的零点，因此在判断直线 x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f（x0）的值进行判断． （3）若 f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋ 2  （kZ），同时当 x=0时，f（x）取得最大或最小 11 值．若 f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当 x=0时，f（x）=0. 5．已知函数 ．将 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数为偶函数， 则关于函数 ，下列命题正确的是 A．函数 在区间 上有最小值 B．函数 在区间 上单调递增 C．函数 的一条对称轴为 D．函数 的一个对称点为 【答案】B 【解析】由题意知平移后的解析式为： ，因为此函数为偶函数， 所以 y轴为其对称轴之一，所以将 代入可得 ， 解得： ，由 的取值范围可得 ， 所以原解析式为 ， A选项，将区间代入函数，可得 ，根据 图象可知无最值， B选项，将区间代入函数，可得 ，根据 图象知函数单调递增， C选项，将 代入函数，可得 ，所以 应为对称中心的横坐标， D选项，将 代入函数，可得 ，所以应为对称轴与 x轴交点. 故选 B. 【名师点睛】本题综合考查函数图象的变换以及对称轴、对称中心、单调区间、最值等知识点，需要明 确解题思路，注意结合图象解题，会更容易理解. 三角函数的图象与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图象与性质,并能灵活运用,解答此类问题 的关键是将三角函数变形为 sin( )y A x   处理． 12 （1）在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略复合函数的单调性，直接由： 2 2 3 2 k x k        ， 得出错误结论；二是易忽略对字母 k的限制,在解答此类问题时，一定要注意对字母 k的限制. （2）在解答本题时，容易忽视了对 a>0，a<0两种情况进行讨论． （3）在解答本题时，误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(kπ，0)(其中 k∈Z)，但由正切函数的图象发 现：点(kπ＋π 2 ，0)(其中 k∈Z)也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(kπ 2 ，0)(其 中 k∈Z)． 易错点 6 三角恒等变换中忽略角的范围致误 已知α、β为三角形的两个内角，cosα＝ 1 7 ，sin（α＋β）＝ 5 3 14 ，则β＝ A． 3  B． 2 3  C． 2 3 3  或 D． 3 4   或 【错解】选 C. ∵0<α<π，cosα＝ 1 7 ，∴sinα＝ 21 4 31 ( ) 7 7   . 又∵sin（α＋β）＝ 5 3 14 ，∴cos（α＋β）＝－ 25 3 111 ( ) = . 14 14   ∴sinβ＝sin[（α+β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝ 3 2 . 又∵0<β<π，∴β＝ 2 3 3  或 . 【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求 sin（α＋ β）时不能正确判断符号，产生两角． （2）结论处应由 cosβ的值确定β的取值，由 sinβ确定结论时易出现两解而造成失误． 13 【参考答案】A 利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最 后确定角的具体取值． 1．给角求值 给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊 角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊 角的三角函数，从而得解. 2．给值求值 已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子． （2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数． （2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 π(0, ) 2 ，则选正、余弦皆可；若角的范 14 围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为 π π( , ) 2 2  ，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角 例如：                ，        2 ,2                 ， (2 )        ， (2 )        ， 2 2         ， 2 2         . （2）互余与互补关系 例如： π 3π( ) ( ) π 4 4      ， π π π( ) ( ) 3 6 2      . （3）非特殊角转化为特殊角 例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°. 6．（1）在 中， ，则这个三角形的形状为 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 （2）若 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】（1）B；（2）C. （1）【解析】 在 中， ， ， 三角形是钝角三角形，故选 B. 【点睛】本题考查三角形的形状，两角和的余弦函数的应用，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是： （1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利 用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一 个内角为钝角进而知其为钝角三角形. （ 2 ）【 解 析 】 两 边 平 方 得 可 得 ， 15 解得 ， . 则 则 故选 C. 易错点 7 求函数 sin( )y A x   的性质时出错 函数 y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值为 . 【错解】 41 函数的最大值为 52＋42＝ 41. 【错因分析】形如 y＝asinx＋bcosx的函数的最大值为 a2＋b2，而函数 y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)不符合 上述形式． 【试题解析】y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°) ＝5sin(x＋20°)＋4cos[(x＋20°)＋30°] ＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋20°)cos30°－4sin(x＋20°)sin30° ＝5sin(x＋20°)＋2 3cos(x＋20°)－2sin(x＋20°) ＝3sin(x＋20°)＋2 3cos(x＋20°)， ∴ 2 2 max 3 (2 3) 21y    . 【参考答案】 21 1．三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成 y=Asin(ωx＋φ)＋t或 y=Acos(ωx＋φ)＋t 的形式． 16 （2）利用公式 2π ( 0)T     求周期． （3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值 时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值． （4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y=Asin(ωx＋φ)＋t或 y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间． 2．研究 y=Asin(ωx＋φ)＋t或 y=Acos(ωx＋φ)＋t的性质时，一定要先利用诱导公式把化为正数后求解. 7．已知函数 . （1）求函数 的单调递增区间； （2）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个 单位，得到函数 的图象，求函数 的图象的对称中心坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由 ，得 ， 所以 的单调递增区间是 . （2）由（1）知 ，把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不 变），得到 的图象，再把得到的图象向左平移 个单位，得到 的图象， 所以函数 的图象的对称中心是 . 【名师点睛】本题主要考查的知识点是函数 的图象变换，三角函数中的恒等变换应用， 以及正弦函数的图象，掌握在化简过程中各公式的运用是解此类问题的关键. 求三角函数的性质时，一般先通过恒等变形化为 y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再 17 结合正弦函数 y=sinx，y=cosx，y=tan x的性质研究其相关性质． 易错点 8 解三角形时忽略角的取值范围致误 在 ABC△ 中，若 3C B ，则 c b 的取值范围为 A． (0,3) B． (1,3) C． (0,3] D． (1,3] 【错解】选 A. 由正弦定理，可得 2 2 2 2 sin sin 3 sin 2 cos cos 2 sin= 2cos cos 2 4cos 1 sin sin sin 0 cos 1, 1 4cos 1 3, 0, 0, 0 3. c C B B B B B B B B b B B B cB B b c b                 Q ， 由 可得 【错因分析】错解中没有考虑角 B的取值范围，误认为角 B的取值范围为  0 ,180  . 【试题解析】由正弦定理可得 2 2 2 sin sin 3 sin 2 cos cos 2 sin= 2cos cos 2 4cos 1 sin sin sin 2180 , 3 , 0 45 , cos 1, 2 1 4cos 1 3, 1 3. c C B B B B B B B B b B B B A B C C B B B cB b                          ， 即 Q 【参考答案】B 1．利用正、余弦定理求边和角的方法： （1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次 式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特 征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 18 （3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论： （1）三角形的内角和定理： 在 ABC△ 中， π A B C   ，其变式有： πA B C   ， π 2 2 2 A B C   等． （2）三角形中的三角函数关系： iin( s ns )A B C ； ( ) sos coc A B C  ； sin cos 2 2 A B C  ； cos sin 2 2 A B C  . 8．在 中，角 A,B,C 所对的边分别为 ，则实数 a的取值范围 是____________. 【答案】 . 【解析】 由 ， 得 ，所以 ， 则由余弦定理 ， 得 ，解得 ，又 ， 所以 的范围是 . 【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题， 通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关 系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考 点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 一、三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．角的有关概念 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 19 （2）分类    按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角 . （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ·3{ ,| 60S k      }kZ ． 终边与 x轴重合的角的集合为 π ,k k   Z ；终边与 y 轴重合的角的集合为 ππ , 2 k k        Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为 π , 2 k k       Z ． 2．弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作 rad. （2）公式 角α的弧度数公式 l r   （弧长用 l表示） 角度与弧度的换算 180 π180 π rad ,1rad = 57.3 ,1 = rad π 180           弧长公式 弧长 l r 扇形面积公式 21 1 2 2 S lr r  3．任意角的三角函数 （1）定义：设 是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 x轴非负半轴重合，点  ,P x y 是角 的 终边上任意一点， P 到原点的距离  0OP r r  ，那么角  的正弦、余弦、正切分别是 sin , cos , tany x y r r x      ． （2）三角函数值在各象限内的符号： 20 （3）各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 （4）特殊角的三角函数值：  0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2  1 0 1 tan 0 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3  0 不存在 0 6 2 6 2sin15 cos75 , sin 75 cos15 , 4 4           tan15 2 3 , tan 75 2 3 .      4．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： 2 2sin cos 1   ． 21 （2）商的关系： sin cos tan   ． 5．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α （k∈Z） π+α −α π−α 2  −α 2  +α 正弦 sin α −sinα −sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α −cosα cosα −cosα sinα −sinα 正切 tan α tanα −tanα −tanα 口诀 函数名不变， 符号看象限 函数名改变， 符号看象限 二、三角函数的图象与性质 1．正弦函数 siny x ,余弦函数 cosy x ,正切函数 tany x 的图象与性质 函 数 siny x cosy x tany x 图 象 定 义 域 R R , 2 x x k k       Z 值 域  1,1  1,1 R 22 最 值 当  π2 π 2 x k k  Z 时， max 1y  ； 当  2 2 x k k   Z 时， min 1y   ． 当  2x k k  Z 时， max 1y  ； 当  2x k k   Z 时， min 1y   ． 既无最大值，也无最小值 周 期 性 最小正周期为 2 最小正周期为 2 最小正周期为 奇 偶 性  sin sinx x   ,奇函数  cos cosx x  ，偶函数  tan tanx x   ，奇函数 单 调 性 在[2 , 2 ]( ) 2 2 k k k    Z 上是增函数； 在 3[2 ,2 ]( ) 2 2 k k k    Z 上是减函数． 在  2 ,2k k k  Z 上是 增函数； 在  2 ,2k k k   Z 上是 减函数． 在 ( , )( ) 2 2 k k k    Z 上是增函数． 对 称 性 对称中心 ( ,0)( )k k Z ； 对称轴   2 x k k   Z ， 既是中心对称图形又是轴对称 图形. 对称中心 ( ,0)( ) 2 k k  Z ； 对称轴  x k k  Z ， 既是中心对称图形又是轴对称 图形. 对称中心 ( ,0)( ) 2 k k Z ； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对 称图形. 2．函数 sin( )y A x   的图象与性质 （1）图象变换： 由函数 siny x 的图象通过变换得到 sin( )y A x   （A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平 移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. 23 五点作图法： 找五个关键点，分别为使 y取得最小值、最大值的点和曲线与 x轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期 T= 2   ,在一个周期内作出图象； ②令 =X x  ,令 X分别取 0， 2  , , 3 2 2  , ,求出对应的 x值，列表如下： 由此可得五个关键点； ③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到 sin( )y A x   的简图. （2）函数 sin( )y A x   （A>0,ω>0）的性质： ①奇偶性： =k 时，函数 sin( )y A x   为奇函数； = 2 k   时，函数 sin( )y A x   为偶函 数. ②周期性： sin( )y A x   存在周期性，其最小正周期为 T= 2   . 24 ③单调性：根据 y=sint和 t= x  的单调性来研究，由 +2 2 , 2 2 k x k k          Z得单调增 区间；由 +2 2 , 2 2 k x k k         Z得单调减区间. ④对称性：利用 y=sin x的对称中心为 ( ,0)( )k k Z 求解，令 x k k     Ζ ，求得 x. 利用 y=sin x的对称轴为 ( ) 2 x k k   Z 求解，令 + 2 x k k        Ζ ，得其对称轴. 三、三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1） ( )C   ： cos( )   cos cos sin sin    （2） ( )C   ： cos( ) cos cos sin sin        （3） ( )S   ： sin( )   sin cos cos sin    （4） ( )S   ： sin( )   sin cos cos sin    （5） ( )T   ： tan( )   tan tan π( , , π, ) 1 tan tan 2 k k              Z （6） ( )T   ： tan( )   tan tan π( , , π, ) 1 tan tan 2 k k              Z 2．二倍角公式 （1） 2S  ： sin 2  2sin cos  （2） 2C  ：cos2  2 2 2 2cos sin 1 2sin 2cos 1        （3） 2T  ： tan 2  2 2 tan π π π( π , ) 1 tan 2 2 4 kk k          Z且 公式的常用变形： （1） tan tan tan( )(1 tan tan )         ； tan tan tan tantan tan 1 1 tan( ) tan( )                  （2）降幂公式： 2 1 cos 2sin 2    ； 2 1 cos 2cos 2    ； 1sin cos sin 2 2    25 （3）升幂公式： 21 cos 2 2cos   ； 21 cos 2 2sin   ； 21 sin 2 (sin cos )     ； 21 sin 2 (sin cos )     （4）辅助角公式： sin cosa x b x 2 2 sin( )a b x    ，其中 2 2 2 2 cos ,sina b a b a b      ， tan b a   3．半角公式 （1） sin 2   1 cos 2   （2） cos 2   1 cos 2   （3） tan 2   1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin              此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 四、正、余弦定理及解三角形 1．正弦定理 （1）内容：在 ABC△ 中，若角 A，B，C对应的三边分别是 a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相 26 等，即 sin sin sin a b c= = A B C .正弦定理对任意三角形都成立．学科！网 （2）常见变形： ① sin sin sin, , , sin sin , sin sin , sin sin ; sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c       ② ; sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C                 ③ : : sin : sin : sin ;a b c A B C ④正弦定理的推广： = = =2 sin sin sin a b c R A B C ，其中R为 ABC△ 的外接圆的半径. 1．正弦定理解决的问题 （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．在 ABC△ 中，已知 a，b和 A时，三角形解的情况 2．余弦定理 （1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两 27 倍，即 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos 2 cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C        ， （2）从余弦定理，可以得到它的推论： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos , cos ,cos 2 2 2 b c a c a b a b cA B C bc ca ab          . 1．余弦定理解决的问题 （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 2．利用余弦定理解三角形的步骤 3．三角形的面积公式 设 ABC△ 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S. （1） 1 2 S ah (h为 BC边上的高)； （2） 1 1 1sin sin sin 2 2 2 S bc A ac B ab C   ； （3） 1 ( ) 2 S r a b c   ( r为三角形的内切圆半径)． 1．（2018年新课标 I卷）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则 A． B． C． D． 28 2．（2018年新课标Ⅲ卷）若 ，则 A． B． C． D． 3．（2018新课标全国Ⅱ理科）在 ABC△ 中， 5cos 2 5 C  ， 1BC  ， 5AC  ，则 AB  A． 4 2 B． 30 C． 29 D． 2 5 4．（2018 新课标全国Ⅲ理科） ABC△ 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a， b， c，若 ABC△ 的面积为 2 2 2 4 a b c  ，则C  A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 5．（2017新课标Ⅰ卷理）已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π 3 )，则下面结论正确的是 A．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得 到曲线 C2 B．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得 到曲线 C2 C．把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得 到曲线 C2 D．把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度， 得到曲线 C2 6．（2018天津理科）将函数 sin(2 ) 5 y x    的图象向右平移 10  个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间 3 5[ , ] 4 4   上单调递增 B．在区间 3[ , ] 4   上单调递减 C．在区间 5 3[ , ] 4 2   上单调递增 D．在区间 3[ ,2 ] 2   上单调递减 29 7．（2017山东卷理）在 ABC△ 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 ABC△ 为锐角三角形，且满 足 sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C   ，则下列等式成立的是 A． 2a b B． 2b a C． 2A B D． 2B A 8．若角 的终边在直线 2y x  上，且 sin 0  ，则 cos和 tan 的值分别为 A． 5 , 2 5  B． 5 1, 5 2   C． 2 5 , 2 5   D． 5 , 2 5   9．设 为锐角，若 cos（ π+ 6 α ）＝ 4 5 ，则 sin π(2 + ) 3 α 的值为 A． 25 12 B． 24 25 C． 24 25  D． 12 25  10．已知函数 2( ) (1 cos 2 )sin ,f x x x x  R，则 )(xf 是 A．最小正周期为 π的奇函数 B．最小正周期为 π的偶函数 C．最小正周期为 π 2 的奇函数 D．最小正周期为 π 2 的偶函数 11．函数    sinf x A x   （其中 0A  ， 0  ， π 2   ）的一部分图象如图所示，将函数上的每 一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍，得到的图象表示的函数可以为 A．   πsin 3 f x x      B．   πsin 4 3 f x x      30 C．   πsin 6 f x x      D．   πsin 4 6 f x x      12．在 ABC△ 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 22 sin sin sin ,6 5b B c C a A ac b   ，则 πcos 4 B      A． 2 5 B． 2 5  C． 2 10 D． 2 10  13．（2018新课标 II卷理）已知 ， ，则 __________． 14．（2018北京理科）设函数 f（x）= πcos( )( 0) 6 x   ，若 π( ) ( ) 4 f x f 对任意的实数 x都成立，则ω的最 小值为________． 15．（2018新课标全国Ⅲ理科）函数   πcos 3 6 f x x      在  0 π， 的零点个数为________． 16．在 ABC△ 中，内角 A,B,C所对边的边长分别是 a,b,c.已知 2, . 3 c C    若 ABC△ 的面积等于 3，则 a b 的值为________． 17．（2017浙江卷） 已知函数 2 2sin cos 2 3 sin cos ( )( ) x x xf x x x   R ． （1）求 2( ) 3 f  的值． （2）求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间． 31 18．（2018浙江）已知角α的顶点与原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ 3 4 5 5  ，- ）． （1）求 sin（α+π）的值； （2）若角β满足 sin（α+β）= 5 13 ，求 cosβ的值． 19．（2018江苏）已知 ,  为锐角， 4tan 3   ， 5cos( ) 5     ． （1）求 cos2 的值； （2）求 tan( )  的值． 20．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形 ABCD中， 90ADC   ， 45A   ， 2AB  ， 5BD  . （1）求 cos ADB ； （2）若 2 2DC  ，求BC . 32 21．（2018北京理科）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=– 1 7 ． （1）求∠A； （2）求 AC边上的高． 22．已知函数   2 7π2cos sin 2 6 f x x x        1 x R . （1）求函数  f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）在 ABC△ 中，三内角 A B C， ， 的对边分别为a b c， ， ，已知函数  f x 的图象经过点 1, 2 A      ， b a c, , 成等差数列，且 · 9CA AB     ，求 a的值. 33 ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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