高考数学复习 17-18版 第9章 第50课 抛物线 15页

第50课 抛物线 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 顶点在坐标原点的抛物线 的标准方程与几何性质 ‎√‎ ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px ‎ ‎(p>0)‎ y2＝－2px ‎(p>0)‎ x2＝2py ‎ ‎(p>0)‎ x2＝－2py ‎(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半 径|PF|‎ x0＋ ‎－x0＋ y0＋ ‎－y0＋ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)‎ ‎(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)‎ ‎(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)‎ ‎(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．‎ 　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，‎ 设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]‎ ‎3．抛物线y＝x2的准线方程是________．‎ y＝－1　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]‎ ‎4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．‎ ‎(1,0)　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]‎ ‎5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到 y轴的距离是________．‎ ‎9　[设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，‎ ‎∴点M到y轴的距离为9.]‎ 抛物线的定义及应用 ‎　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0＝________.‎ ‎(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为__________．‎ ‎(1)1　(2)2　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，‎ 因此焦点F，准线l的方程为x＝－.‎ 设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝AF.‎ 从而x0＋＝x0，解得x0＝1.‎ ‎(2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.‎ ‎ 根据抛物线的定义，AF＝AC＋1，BF＝BD＋1.‎ 因此AC＋BD＝AF＋BF－2＝AB－2.‎ 所以AC＋BD取到最小值，当且仅当AB取得最小值，‎ 又AB＝2p＝4为最小值．‎ 故AC＋BD的最小值为4－2＝2.]‎ ‎[规律方法]　1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．‎ ‎2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得PF＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为AB＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．‎ ‎[变式训练1]　已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4 ，则QF＝________. ‎ ‎【导学号：62172274】‎ ‎3　[∵＝4 ，‎ ‎∴FP＝4FQ，‎ ‎∴＝.‎ 如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则AF＝4，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴QQ′＝3.‎ 根据抛物线定义可知QF＝QQ′＝3.]‎ 抛物线的标准方程 ‎　如图501，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．‎ 图501‎ ‎[解]　设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，‎ 由得x＝0或x＝.‎ ‎∴A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，由OA＝1，OB＝8，‎ 可得 ‎②÷①得k6＝64，即k2＝4.‎ 则p2＝＝.‎ 又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.‎ ‎[规律方法]　1.求抛物线的标准方程的方法：‎ ‎(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．‎ ‎(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．‎ ‎2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．‎ ‎[变式训练2]　写出适合下列条件的抛物线的标准方程：‎ ‎(1)抛物线的焦点与双曲线3x2－y2＝3的一个焦点重合；‎ ‎(2)焦点到准线的距离为3.‎ ‎[解]　(1)∵双曲线3x2－y2＝3的焦点坐标为(±2,0)，‎ 当焦点坐标为(2,0)时，抛物线的标准方程为y2＝8x；‎ 当焦点坐标为(－2,0)时，抛物线的标准方程为y2＝－8x.‎ 综上可知，抛物线的标准方程为y2＝±8x.‎ ‎(2)由题意可知p＝3，故2p＝6，故所求抛物线的标准方程为y2＝±6x或x2＝±6y.‎ 抛物线的几何性质 ‎　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 【导学号：62172275】‎ ‎[证明]　(1)由已知得抛物线焦点坐标为.‎ 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，‎ 得y2＝2p，‎ 即y2－2pmy－p2＝0.(*)‎ 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，‎ 所以x1x2＝＝＝.‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝AB－p，代入上式，‎ 得＋＝＝(定值)．‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则MN＝(AC＋BD)‎ ‎＝(AF＋BF)‎ ‎＝AB.‎ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ ‎[规律方法]　在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点解题，同时要注意抛物线定义的应用，如焦点弦问题：AB＝x1‎ ‎＋x2＋p，其中A，B为焦点弦的两个端点．‎ ‎[变式训练3]　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若AF＝3，则△AOB的面积为________．‎ 　[由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，AF＝x1＋1＝3，‎ ‎∴x1＝2，y1＝2.‎ 设AB的方程为x－1＝ty，由消去x得y2－4ty－4＝0.‎ ‎∴y1y2＝－4.‎ ‎∴y2＝－，x2＝，‎ ‎∴S△AOB＝×1×|y1－y2|＝.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．‎ ‎2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．‎ ‎3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)若直线AB的倾斜角为θ，则AB＝＝x1＋x2＋p.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．认真区分四种形式的标准方程．‎ ‎(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．‎ ‎(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．‎ ‎2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．‎ ‎3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．‎ 课时分层训练(五十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2016·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点坐标是________．‎ ‎(1,0)　[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]‎ ‎2．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为________．‎ ‎3　[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3.]‎ ‎3．(2017·南京模拟)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：62172276】‎ 　[由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，‎ 又y2＝4x的焦点F(1,0)，‎ ‎∴焦点F到直线的距离d＝＝.]‎ ‎4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．‎ y2＝±4x　[因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．‎ 设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，p＝2.‎ 所以抛物线方程为y2＝±4x.]‎ ‎5．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长AB为__________．‎ ‎8　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.‎ 联立消去y得x2－6x＋1＝0.‎ 所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]‎ ‎6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．‎ ‎－　[∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上．‎ ‎∴－＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．‎ ‎∴kAF＝＝－.]‎ ‎7．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．‎ x＝－2　[由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，‎ 所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.‎ 因此椭圆的右焦点为(2,0)，‎ 又抛物线y2＝2px的焦点为.‎ 依题意，得＝2，‎ 于是抛物线的准线x＝－2.]‎ ‎8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________. 【导学号：62172277】‎ 　[如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．‎ 连结AF交抛物线于点P，此时最小值为 AF＝＝.]‎ ‎9．如图502，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝__________.‎ 图502‎ ＋1　[由题意可得C，F，‎ 则＝＋1(舍去－1)．]‎ ‎10．(2017·徐州模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.‎ ‎2　[y2＝2px的准线为x＝－.‎ 由于△ABF为等边三角形．‎ 因此不妨设A，B.‎ 又点A，B在双曲线y2－x2＝1，‎ 从而－＝1，所以p＝2.]‎ ‎11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于________．‎ ‎－4　[①若焦点弦AB⊥x轴，‎ 则x1＝x2＝，所以x1x2＝；‎ ‎∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，‎ ‎∴＝－4.‎ ‎②若焦点弦AB不垂直于x轴，‎ 可设AB的直线方程为y＝k，‎ 联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.y1y2＝－p2，∴＝－4.]‎ ‎12．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________. 【导学号：62172278】‎ y2＝4x或y2＝16x　[由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．‎ 则＝，＝.‎ 由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，‎ 因而y0＝4，M.‎ 由MF＝5，得＝5，‎ 又p>0，解得p＝2或p＝8.‎ 故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB＝________.‎ ‎12　[∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，‎ ‎∴F，‎ ‎∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.‎ 联立得x2－x＋＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.‎ 由于AB＝xA＋xB＋p，‎ ‎∴AB＝＋＝12.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为________．‎ ‎4　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎∵AB＝4，DE＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，‎ ‎∴不妨设A，D.‎ ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.]‎ ‎3．(2017·南京模拟)如图503，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．‎ 图503‎ y2＝3x　[如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：‎ AF＝AA1，BF＝BB1，∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1，‎ ‎∴∠BCB1＝30°，‎ ‎∴∠AFx＝60°，‎ 连结A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则KF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.]‎ ‎4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为________．‎ ‎2　[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，‎ 由PF＝x0＋＝4，得x0＝3，‎ 代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，‎ 所以|y0|＝2，‎ 所以S△POF＝OF|y0|＝××2＝2.]‎ ‎5．(2017·南通调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则PQ＋PN的最小值为________．‎ ‎3　[由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．‎ 过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则PQ＋PN的最小值等于MH－1＝3.]‎ ‎6．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．‎ x－y－1＝0　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]‎