高考数学复习 17-18版 第9章 第43课 直线的方程 13页

第九章　平面解析几何 第43课 直线的方程 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 直线的斜率与倾斜角 ‎√‎ 直线方程 ‎√‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝‎ y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)‎ ‎(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．‎ ‎60°　[直线的斜率为k＝tan α＝，‎ 又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]‎ ‎3．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为________．‎ ‎3x＋4y－14＝0　[直线l的方程为y－5＝－(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.]‎ ‎4．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．‎ 三　[Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－.‎ 又A·C<0，B·C<0，故A，B同号．‎ 所以－<0，－>0，‎ 所以Ax＋By＋C＝0不通过第三象限．]‎ ‎5．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．‎ ‎3x－2y＝0或x－y＋1＝0　[当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.‎ 当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.‎ 将P(2,3)代入方程，得a＝－1，‎ 所以直线l的方程为x－y＋1＝0.‎ 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]‎ 直线的倾斜角和斜率 ‎　(1)直线x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________.‎ ‎ 【导学号：62172235】‎ ‎(2)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)当θ＝kπ＋(k∈Z)时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为.‎ 当θ≠kπ＋(k∈Z)时，直线l的斜率为 tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝＝－5，‎ kPB＝＝－.‎ 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为 .]‎ ‎[规律方法]　1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.‎ ‎(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎2．第(2)问求解要注意两点：‎ ‎(1)斜率公式的正确计算；‎ ‎(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－.‎ ‎[变式训练1]　(1)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是________．‎ ‎(2)直线l经过点A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．‎ ‎(1)k＜－1或k＞　(2)　[(1)设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.‎ 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.‎ ‎(2)直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.‎ 又y＝tan α在上是增函数，因此≤α＜.]‎ 求直线的方程 ‎　(1)过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．‎ ‎(2)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎(1)4x＋3y－13＝0　[设所求直线的斜率为k，依题意 k＝－4×＝－.‎ 又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.]‎ ‎(2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.‎ 由题意得M(3,2)．‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ 所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，‎ 因为直线l过点M(3,2)，所以＋＝1，‎ 所以a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.‎ 综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ 法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)．‎ 令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.‎ 所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.‎ 所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，‎ 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.‎ ‎[规律方法]　1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为‎0”‎的情况，以防漏解．‎ ‎2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．‎ ‎[变式训练2]　求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．‎ ‎[解]　由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，‎ 则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan α＝3，‎ ‎∴tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.‎ 直线方程的综合应用 ‎　已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：‎ ‎(1)当OA＋OB取得最小值时，直线l的方程；‎ ‎(2)当MA2＋MB2取得最小值时，直线l的方程. 【导学号：62172236】‎ ‎[解]　(1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．‎ 设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，‎ 所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，‎ 则A，B(0,1－k)，‎ 所以MA2＋MB2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.‎ 当且仅当k2＝，即k＝－1时，上式等号成立．‎ ‎∴当MA2＋MB2取得最小值时，直线l的方程为x＋y－2＝0.‎ ‎[规律方法]　1.求解本题的关键是找出OA＋OB与MA2＋MB2‎ 取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．‎ ‎2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．‎ ‎[变式训练3]　已知直线l1：ax－2y＝‎2a－4，l2：2x＋a2y＝‎2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？‎ ‎[解]　由得x＝y＝2，‎ ‎∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图)．‎ 易知OB＝a2＋2，OC＝2－a，‎ 则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)＝a2－a＋4＝2＋，a∈(0,2)，‎ ‎∴当a＝时，四边形OBAC的面积最小．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．求直线方程的两种常见方法：‎ ‎(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．‎ ‎(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．‎ ‎2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．‎ ‎2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．‎ ‎3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.‎ ‎4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.‎ 课时分层训练(四十三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是________．‎ x＋y＋1＝0　[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.]‎ ‎2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足的等量关系式为________．‎ a＝b　[由sin α＋cos α＝0，得＝－1，即tan α＝－1.‎ 又因为tan α＝－，所以－＝－1，则a＝b.]‎ ‎3．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________．‎ 　[直线l可化简为：‎ x－y＋1＝0.‎ 即y＝x＋，故斜率k＝.]‎ ‎4．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．‎ 　[由x＋(a2＋1)y＋1＝0得y＝－x－.‎ ‎∵a2＋1≥1，∴－∈[－1,0)．‎ 设直线的倾斜角为α，则－1≤tan α<0，‎ 又α∈[0，π)，故≤α<π.]‎ ‎5．斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________. ‎ ‎【导学号：62172237】‎ ‎1　[由题意可知＝＝2，‎ 解得a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.]‎ ‎6．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．‎ ‎[－，0)∪　[∵k＝tan α，‎ ‎∴当α∈时，tan ≤k≤tan ，即≤k≤1；‎ 当α∈时，tan ≤k0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．‎ ‎3＋2　[∵直线l过定点(1,2)，‎ ‎∴＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，‎ 当且仅当b＝a时上式等号成立．‎ ‎∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3＋2.]‎ 二、解答题 ‎11．直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，求l的方程．‎ ‎[解]　若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，‎ 直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.‎ 若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，‎ 由题意知解得 此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.‎ 综上，直线l的方程为x＋y＝0或x－y＋4＝0.‎ ‎12．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 【导学号：62172239】‎ ‎[解]　(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，‎ ‎∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不过原点时，截距存在且均不为0，‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1，‎ ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ ‎∴直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ ‎∴或∴a≤－1.‎ 综上可知，a的取值范围是a≤－1.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．‎ x＋y－5＝0　[由条件得点A的坐标为(－1,0)，点P的坐标为(2,3)，因为PA＝PB，根据对称性可知，点B的坐标为(5,0)，从而直线PB的方程为＝，整理得x＋y－5＝0.]‎ ‎2．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．‎ ‎3　[直线AB的方程为＋＝1.‎ ‎∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，‎ ‎∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)‎ ‎＝≤3，‎ 即当P点坐标为时，xy取最大值3.]‎ ‎3．已知曲线y＝，求曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．‎ ‎[解]　y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当且仅当x ‎＝0时取等号)．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝.‎ ‎4．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.‎ ‎(2)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．‎ 依题意得 解得k＞0.‎ ‎∵S＝·OA·OB＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎