2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10 31页

10.1.4 　概率的基本性质 课标阐释 思维脉络 1 . 理解两个事件互斥、互为对立的含义 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解概率的 6 条基本性质 , 重点掌握性质 3 、性质 4 、性质 6 及其公式的应用条件 . ( 数学抽象 ) 3 . 能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题 , 培养数学建模和数学化归能力 . ( 逻辑推理 ) 激趣诱思 知识点拨 一般人或许认为生男生女的可能性是相等的 , 因而推测出男婴和女婴的出生数的比值应当是 1 ∶ 1, 可事实并非如此 . 公元 1814 年 , 法国数学家拉普拉斯 (Laplace) 在他的新作《概率的哲学探讨》一书中 , 记载了一个有趣的统计 . 他根据伦敦、彼得堡 、 柏林和全法国的统计资料 , 得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值 , 比值是 22 ∶ 21, 即在全体出生婴儿中 , 男婴占 51 . 2%, 女婴占 48 . 8% . 可奇怪的是 , 当他统计 1745 年到 1784 年整整四十年间巴黎男婴出生率时 , 却得到了另一个比值 25 ∶ 24, 男婴占 51 . 02%, 与前者相差 0 . 14% . 对于这千分之一点四的微小差异 , 拉普拉斯感到困惑不解 , 于是 , 他进行了深入的调查研究 , 终于发现 , 当时巴黎人 “ 重男轻女 ”, 有抛弃女婴的陋俗 , 以至于歪曲了出生率的事实真相 , 经过修正 , 巴黎的男婴和女婴的出生数的比值依然是 22 ∶ 21 . 激趣诱思 知识点拨 知识点、概率的基本 性质 性质 1 对任意的事件 A, 都有 P(A) ≥ 0 性质 2 必然事件的概率为 1 , 不可能事件的概率为 0 , 即 P(Ω)= 1 ,P( ⌀ )= 0 性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥 , 那么 P(A ∪ B)= P(A)+P(B) 性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件 , 那么 P(B)= 1-P(A ) , P(A )= 1-P(B) 性质 5 如果 A ⊆ B, 那么 P(A) ≤ P(B) 性质 6 设 A,B 是一个随机试验中的两个事件 , 我们有 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)- P(A∩B) 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 对于 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) 应用的前提是 A , B 互斥 , 并且该公式可以推广到多个事件的情况 . 如果事件 A 1 , A 2 , … , A m 两两互斥 , 那么事件 A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A m 发生的概率等于这 m 个事件分别发生的概率之和 , 即 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A m ) =P ( A 1 ) +P ( A 2 ) + … +P ( A m ) . 该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式 . (2) 若 A 与 B 互为对立 , 则有 P ( A ) +P ( B ) = 1; 若 P ( A ) +P ( B ) > 1, 并不能得出 A 与 B 互为对立 . (3) 对于概率加法的一般公式 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) -P ( A ∩ B ), 当 A ∩ B= ⌀ 时 , 就是性质 3 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 可以从哪些角度研究概率的性质 ? 提示 : 概率的取值范围 ; 特殊事件的概率 ; 事件有某些特殊关系时 , 它们的概率之间的关系 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 (1)(2020 全国高一课时练习 ) 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 对立事件一定是互斥事件 , 互斥事件不一定是对立事件 B. 事件 A , B 同时发生的概率一定比 A , B 恰有一个发生的概率小 C. 若 P ( A ∪ B ) = 1, 则事件 A 与 B 是对立事件 D. 事件 A , B 中至少有一个发生的概率一定比 A , B 中恰有一个发生的概率大 解析 : 根据对立事件和互斥事件的概念 , 可知对立事件一定是互斥事件 , 两个事件是互斥事件但不一定是对立事件 , 故 A 正确 ; 设事件 A 发生的概率为 0 . 5, 事件 B 发生的概率为 0 . 6, 同时发生的概率为 0 . 4, 则恰有一个发生的概率为 0 . 3, 故 B 错误 ; 若 P ( A ∪ B ) = 1, 事件 A 与事件 B 不互斥 , 则不是对立事件 , 故 C 错误 ; 当事件 A 与事件 B 互斥时 , 则事件 A , B 中至少有一个发生的概率与 A , B 中恰有一个发生的概率相等 , 故 D 错误 . 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 (2)( 多选题 )(2020 江苏海安高级中学高一月考 ) 抛掷一枚骰子 1 次 , 记 “ 向上的点数大于 3” 为事件 A ,“ 向上的点数小于 3” 为事件 B ,“ 向上的点数小于 4” 为事件 C ,“ 向上的点数小于 5” 为事件 D , 则下列说法正确的有 ( 　　 ) A. A 与 B 是互斥事件但不是对立事件 B. A 与 C 是互斥事件也是对立事件 C. A 与 D 是互斥事件 D. C 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 解析 : 在 A 中 , A 与 B 不能同时发生 , 但能同时不发生 , 是互斥事件但不是对立事件 , 故 A 正确 ; 在 B 中 , A 与 C 是互斥事件也是对立事件 , 故 B 正确 ; 在 C 中 , A 与 D 能同时发生 , 不是互斥事件 , 故 C 错误 ; 在 D 中 , C 与 D 能同时发生 , 不是对立事件也不是互斥事件 , 故 D 正确 . 答案 : ABD 激趣诱思 知识点拨 (3) 掷一枚均匀的正六面体骰子 , 设 A= “ 出现 3 点 ”, B= “ 出现偶数点 ”, 则 P ( A ∪ B ) = 　　　　　 .  (4) 甲、乙两人各射击一次 , 命中率分别为 0 . 8 和 0 . 5, 两人同时命中的概率为 0 . 4, 则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 　　　　 .  解析 : 设事件 A= “ 甲命中 ”, 事件 B= “ 乙命中 ”, 则 “ 甲、乙两人至少有一人命中 ” 为事件 A ∪ B , ∴ P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) -P ( A ∩ B ) = 0 . 8 + 0 . 5 - 0 . 4 = 0 . 9 . 答案 : 0 . 9 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 互斥、互为对立事件的判断 例 1 判断下列各事件是不是互斥事件 , 如果是互斥事件 , 那么是不是对立事件 , 并说明理由 . 某小组有 3 名男生和 2 名女生 , 从中任选 2 名同学去参加演讲比赛 , 其中 : (1) 恰有 1 名男生和恰有 2 名男生 ; (2) 至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 ; (3) 至少有 1 名男生和全是女生 . 分析 根据互斥事件、对立事件的定义来判断 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 是互斥事件 . 理由是在所选的 2 名同学中 ,“ 恰有 1 名男生 ” 实质是选出 “1 名男生和 1 名女生 ”, 它与 “ 恰有 2 名男生 ” 不可能同时发生 , 所以是互斥事件 . 不是对立事件 . 理由是当选出的 2 名同学都是女生时 , 这两个事件都没有发生 , 所以不是对立事件 . (2) 不是互斥事件 . 理由是 “ 至少有 1 名男生 ” 包括 “1 名男生、 1 名女生 ” 和 “2 名都是男生 ” 这两种结果 ,“ 至少有 1 名女生 ” 包括 “1 名女生、 1 名男生 ” 和 “2 名都是女生 ” 这两种结果 , 当选出的是 1 名男生、 1 名女生时 , 它们同时发生 . 这两个事件也不是对立事件 . 理由是这两个事件能同时发生 , 所以不是对立事件 . (3) 是互斥事件 . 理由是 “ 至少有 1 名男生 ” 包括 “1 名男生、 1 名女生 ” 和 “2 名都是男生 ” 这两种结果 , 它与 “ 全是女生 ” 不可能同时发生 . 是对立事件 . 这两个事件不能同时发生 , 且必有一个发生 , 所以是对立事件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 判断互斥事件和对立事件时 , 主要用定义来判断 . 当两个事件不能同时发生时 , 这两个事件是互斥事件 ; 当两个事件不能同时发生且必有一个发生时 , 这两个事件是对立事件 . 2 . 当事件的构成比较复杂时 , 可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 在本例中 , 若从中任选 3 名同学呢 ? 试分析问题 (1),(2) 的两个事件之间的关系 . 解 : (1) 是互斥事件 . 理由是在所选的 3 名同学中 “ 恰有 1 名男生 ” 实质是选出 “1 名男生和 2 名女生 ”;“ 恰有 2 名男生 ” 实质是选出 “2 名男生和 1 名女生 ”, 显然两个事件不能同时发生 , 是互斥事件 ; 两个事件不是对立事件 , 因为当选出 “3 名男生 ” 时 , 两个事件可以同时不发生 . 综上 , 两个事件是互斥事件 , 但不是对立事件 . (2) 不是互斥事件 . 理由是 “ 至少有 1 名男生 ” 包含 “ 有 1 名男生 2 名女生 ”“ 有 2 名男生 1 名女生 ”“ 有 3 名男生 ” 三种结果 ;“ 至少有 1 名女生 ” 则包含 “1 名女生 2 名男生 ”“2 名女生 1 名男生 ”, 显然两个事件可以同时发生 , 所以不是互斥事件 , 更不是对立事件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 互斥事件的概率加法公式的应用 例 2 已知事件 E , F 互斥 , P ( E ) = 0 . 2, P ( E ∪ F ) = 0 . 8, 则 P ( F ) = 　　　　 .  分析 由 E , F 互斥 , 得到 P ( F ) =P ( E ∪ F ) -P ( E ), 由此能求出结果 . 解析 : ∵ E , F 互斥 , P ( E ) = 0 . 2, P ( E ∪ F ) = 0 . 8, ∴ P ( F ) =P ( E ∪ F ) -P ( E ) = 0 . 8 - 0 . 2 = 0 . 6 . 答案 : 0 . 6 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 3 玻璃盒子装有各种颜色的球共 12 个 , 其中 5 个红球、 4 个黑球、 2 个白球、 1 个绿球 , 从中任取 1 个球 . 设事件 A= “ 取出 1 个红球 ”, 事件 B= “ 取出 1 个黑球 ”, 事件 C= “ 取出 1 个白球 ”, 事件 D= “ 取出 1 个绿球 ”, 且 (1)“ 取出 1 球为红球或黑球 ” 的概率 ; (2)“ 取出 1 球为红球或黑球或白球 ” 的概率 . 分析 先判断各事件间的关系 , 再用公式求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和 , 利用概率的加法公式求解 . 互斥事件的概率加法公式可以推广为 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ) =P ( A 1 ) +P ( A 2 ) + … +P ( A n ), 其使用的前提条件仍然是 A 1 , A 2 , … , A n 彼此互斥 . 在将事件拆分成若干个互斥事件时 , 注意不能重复和遗漏 . 2 . 当所要拆分的事件非常烦琐 , 而其对立事件较为简单时 , 可先求其对立事件的概率 , 再运用公式求解 . 但是一定要找准其对立事件 , 避免错误 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 概率一般加法公式的应用 例 4 甲、乙、丙、丁四人参加 4 × 100 米接力赛 , 他们跑每一棒的概率均 为 . 求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 对于与古典概型有关的问题可直接结合 A ∪ B , A , B , A ∩ B 的含义进行求解 . 2 . 若该模型不是古典概型 , 则需要套用公式 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) -P ( A ∩ B ), 特别要注意 P ( A ∩ B ) 的数值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 在所有的两位数 (10 ~ 99) 中 , 任取一个数恰好能被 2 或 3 整除的概率是 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 用逆向思维方法处理概率问题 典例 甲、乙两人参加普法知识竞赛 , 共有 5 个不同的题目 . 其中 , 选择题 3 个 , 判断题 2 个 , 甲、乙两人各抽一题 . (1) 甲、乙两人中有一个抽到选择题 , 另一个抽到判断题的概率是多少 ? (2) 甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 把 3 个选择题记为 x 1 , x 2 , x 3 ,2 个判断题记为 p 1 , p 2 . 用 y 1 , y 2 分别表示甲、乙抽到的题目 , 则数组 ( y 1 , y 2 ) 可表示样本点 . 样本空间的样本点数为 20 . 设 A= “ 甲抽到选择题 , 乙抽到判断题 ”, 则 A= {( x 1 , p 1 ),( x 1 , p 2 ),( x 2 , p 1 ),( x 2 , p 2 ),( x 3 , p 1 ),( x 3 , p 2 )}, 共 6 种 ; B= “ 甲抽到判断题 , 乙抽到选择题 ”, 则 B= {( p 1 , x 1 ),( p 1 , x 2 ),( p 1 , x 3 ),( p 2 , x 1 ),( p 2 , x 2 ),( p 2 , x 3 )}, 共 6 种 ; C= “ 甲、乙都抽到选择题 ”, 则 C= {( x 1 , x 2 ),( x 1 , x 3 ),( x 2 , x 1 ),( x 2 , x 3 ),( x 3 , x 1 ),( x 3 , x 2 )}, 共 6 种 ; D= “ 甲、乙都抽到判断题 ”, 则 D= {( p 1 , p 2 ),( p 2 , p 1 )}, 共 2 种 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 在求解复杂的事件的概率时 , 通常有两种方法 , 一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和 . 二是先求此事件的对立事件的概率 , 特别是在涉及 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 问题时 , 常常用此思维模式 . 再利用 P ( A ) = 1 -P ( ) 来得出原问题的解 . 这种处理问题的方法称为逆向思维 , 有时能使问题的解决事半功倍 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . ( 多选题 )(2020 全国高一课时练习 ) 下列结论错误的是 ( 　　 ) A. 若 A , B 互为对立事件 , P ( A ) = 1, 则 P ( B ) = 0 B. 若事件 A , B , C 两两互斥 , 则事件 A 与 B ∪ C 互斥 C. 若事件 A 与 B 为两个随机事件 , 则 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) D. 若事件 A 与 B 互斥 , 则它们的对立事件也互斥 解析 : 若 A , B 互为对立事件 , P ( A ) = 1, 则 P ( B ) = 1 -P ( A ) = 0, 故 A 正确 ; 若事件 A , B , C 两两互斥 , 则事件 A , B , C 不能同时发生 , 则事件 A 与 B ∪ C 也不可能同时发生 , 则事件 A 与 B ∪ C 互斥 , 故 B 正确 ; 当 A 与 B 为互斥事件时 , 才有 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ), 对于任意两个事件 A , B 满足 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) -P ( AB ), 故 C 错误 ; 若事件 A , B 互斥但不对立 , 则它们的对立事件不互斥 , 故 D 错误 . 答案 : CD 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 从集合 { a , b , c , d , e } 的所有子集中任取一个 , 若这个子集不是集合 { a , b , c } 的子集的概率 是 , 则该子集恰是集合 { a , b , c } 的子集的概率是 ( 　　 ) 答案 : C 3 . 若事件 A , B 满足 A ∩ B= ⌀ , A ∪ B=Ω , 且 P ( A ) = 0 . 3, 则 P ( B ) = 　　　　 .  答案 : 0 . 7 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 一个电路板上装有甲、乙两根熔丝 , 甲熔断的概率为 0 . 85, 乙熔断的概率为 0 . 74, 两根同时熔断的概率为 0 . 63, 则至少有一根熔断的概率是 　　　　 .  解析 : 设 A= “ 甲熔丝熔断 ”, B= “ 乙熔丝熔断 ”, 则 “ 甲、乙两根熔丝至少有一根熔断 ” 为事件 A ∪ B. P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) -P ( A ∩ B ) = 0 . 85 + 0 . 74 - 0 . 63 = 0 . 96 . 答案 : 0 . 96 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 据统计 , 某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表 : (1) 求至多 2 人排队等候的概率 ; (2) 求至少 2 人排队等候的概率 . 排队等候的人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概 　　 率 0 . 1 0 . 16 0 . 3 0 . 3 0 . 1 0 . 04 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 记在窗口排队等候的人数为 0,1,2 分别为事件 A , B , C , 则 A , B , C 两两互斥 . (1) 至多 2 人排队等候的概率是 P ( A ∪ B ∪ C ) =P ( A ) +P ( B ) +P ( C ) = 0 . 1 + 0 . 16 + 0 . 3 = 0 . 56 . (2) 至少 2 人排队等候的对立事件是 “ 排队等候人数为 0 或 1”, 而排队等候人数为 0 或 1 的概率为 P ( A ∪ B ) =P ( A ) +P ( B ) = 0 . 1 + 0 . 16 = 0 . 26, 故至少 2 人排队等候的概率为 1 - 0 . 26 = 0 . 74 .