湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题（图片版） 12页

高三一模数学（文科）参考答案 第 1 页 2019 数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A B B D A D B D C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．－ 3 2 a＋ 3 1 b 14．1＋ 5 15． 25 72 16．a3＋b3－c3＜0 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）∵ nS2 是 an 与 an＋1 的等比中项， ∴   nnnnn aaaaS  212 ， 当 n＝1 时， 1 2 112 aaa  ，∴ a1＝1．·····································（2 分） 当 n≥2 时， 1 2 1 2 1222   nnnnnnn aaaaSSa ， 整理得   0111   nnnn aaaa ．······································（3 分） 又 an＞0，∴  211   naa nn ， 即数列 na 是首项为 1，公差为 1 的等差数列． ∴     nndnaan  1111 ．·····································（6 分） （Ⅱ）               1 1111 121 11 nnnn nb nn n ，··························（9 分） ∴T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝（1＋ 2 1 ）－（ 2 1 ＋ 3 1 ）＋（ 3 1 ＋ 4 1 ）－…＋（ 12 1 n ＋ n2 1 ）－（ n2 1 ＋ 12 1 n ）＝1－ 12 1 n ＜1．··································（12 分） 18．解：（Ⅰ）调整前 y 关于 x 的表达式为 y＝          80005000,1.0500045 50003500,03.03500 3500,0 xx xx x ， ········································（2 分） 调整后 y 关于 x 的表达式为 y＝       80005000,03.05000 5000,0 xx x ．··········（4 分） （Ⅱ）由频数分布表可知从［3000，5000）及［5000，7000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，其中［3000，5000）中占 3 人，分别记为 A，B，C，［ 5000，7000）中占 4 人，分别 记为 1，2，3，4，再从这 7 人中选 2 人的所有组合有：AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC， 高三一模数学（文科）参考答案 第 2 页 B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34，共 21 种情况， 其中不在同一收入人群的有：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4， 共 12 种， 所以所求概率为 P＝ 21 12 ＝ 7 4 ．···········································（8 分） （Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为 7500 元， 按调整起征点前应纳个税为 1500×3％＋2500×10％＝295 元；···············（10 分） 按调整起征点后应纳个税为 2500×3％＝75 元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交 220 元， 即个人的实际收入增加了 220 元， 所以小红的实际收入增加了 220 元．······································（12 分） 19．解：（Ⅰ）过点 P 作 PO⊥AD，垂足为 O．··································（1 分） 由于点 P 在平面 ABCD 内的射影恰好在 AD 上， ∴PO⊥平面 ABCD． ∴PO⊥AB．···························································（2 分） ∵四边形 ABCD 为矩形，∴AB⊥AD． 又 AD  PO＝O，∴AB⊥平面 PAD， ∴AB⊥PD．···························································（3 分） 又由 AB＝3，PB＝3 2 ，可得 PA＝3， 同理 PD＝3．··························································（4 分） 又 AD＝3 2 ， ∴PA 2＋PD2＝AD2， ∴PA⊥PD，且 PA  AB＝A， ∴PD⊥平面 PAB．······················································（5 分） （Ⅱ）设点 E 到底面 QBC 的距离为 h， A B D C P Q E P A B D C O 高三一模数学（文科）参考答案 第 3 页 则 hSVV QBCQBCEEBCQ   3 1 ．········································（7分） 由 PBPE 3 1 ，可知 3 2BP BE ， ∴ 22 23 3 2 3 2  hPO h ．·······································（8 分） 又 2 293232 1 2 1  ABBCS QBC ，···························（10 分） ∴ 322 29 3 1 3 1   hSV QBCEBCQ ．·····························（12 分） 20．（ Ⅰ）设 xMF 2 ，则 MFF 21 内， 由余弦定理得 2 22 5 14120cos222      xx ， 化简得 05 6 5 16            xx ，解得 5 6x ， 故 42 21  MFMFa ， ∴ 2a ，得 3222  cab ， 所以椭圆 C 的标准方程为 134 22  yx ．···································（4 分） （Ⅱ）已知 A（－2，0）， B（2，0）， 设 T（x，y）， P（x1，y1）， Q（x2，y2）， 由 22 1 1  x y x ykk PATA ，① 22 2 2  x y x ykk QBTB ，② 两式相除得 2 2 1 1 2 22 2 y x x y x x   ．·······································（6 分） 又   4 3 4 44 3 422 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1    x x x y x y x y ， 故 1 1 1 1 2 4 3 2 y x x y  ， 高三一模数学（文科）参考答案 第 4 页 故    21 21 2 2 1 1 22 4 32 22 2 yy xx y x x y x x   ，③ ························（8 分） 设 PQ 的方程为 1 myx ，代入 134 22  yx 整理， 得   09643 22  myym ，  ＞0 恒成立．························································（10 分） 把        43 9 43 6 221 221 myy m myy 代入③， 得      3 1 43 9 143 6 43 9 4 3 1 4 311 4 3 2 2 2 22 2 21 2121 2 21 21              m m mmmm yy yymyym yy mymy x x ， 得到 x＝4，故点 T 在定直线 x＝4 上．····································（12 分） 21．解：（Ⅰ）因为 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以只需考虑 x∈（0，＋∞） 上的极值点个数，       ,0,1ln9 1 23 xxxxxxf 时，   2 22 2 2 1 1113 1 1 113 1 x xx x xxf         ．·······················（1 分） 令   1113 1 22       xxxh ，   22 3 1 3 3 3 3 1 3 1 x xxx x xx xh                   ， ∴当       3 3,0x 时，    xhxh ,0 单调递减，当        ,3 3x 时，    xhxh ,0 单 调递增， ∴   003 3       hh ．··················································（3 分） 取   017161163 16,6       hx ， 高三一模数学（文科）参考答案 第 5 页 ∴在区间       ,3 3 上存在唯一的 x0 使   00 xh ．··························（4 分） ∴f（x）在区间 0,0 x 上单调递减，在区间 ,0x 上单调递增．··············（5 分） 又 f（x）为奇函数， ∴f（x）在区间 0, x 上单调递增，在区间 00, xx 上单调递减，在区间 ,0x 上 单调递增， ∴f（x）的极值点共 2 个．···············································（6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f（x）在区间       3 3,0 内单调递减，且 f（x）＜0 恒成立．··（7 分） ∴       3 3,0x 时，   01ln9 1 23  xxxx ， 即得   xxxx  23 1ln9 1 ．··········································（8 分） 又令           3 3,04 1 n x ， 得 nnnn na                           4 1 4 114 1ln4 1 9 1 23 ．························（10 分） ∴ 3 1 4 113 1 4 11 4 114 1 4 1…4 1 4 1 4 1… 32 321                                        n n n naaaa ．··（12 分） 22．解：（Ⅰ）      32 12:1 ty txC 消去 t，得 4 yx ．又        sin cos y x ，代入 4 yx 得： 04sincos   ． ∴ 0224sin: 044sin204cossin 1               C ．················（2 分） C2：p＝2a cos 化为：（x－a）2＋y2＝a2（a＞0），又 C2 关于 C1：x－y＝4 对称， ∴（a，0）∈C1，∴a＝4，∴C2：（ x－4）2＋y2＝16．························（4 分） 高三一模数学（文科）参考答案 第 6 页 （Ⅱ）C2 向左平移 4 个单位长度得：x2＋y2＝16，按      yy xx 2 3 变换后得：x2＋ 2 3 2      y ＝16 16 2x ＋ 12 2y ＝1．······················································（6 分） ∴C3： ＋ ＝1，∴令 A（4，0）， B（0，2 3 ），∴ AB ＝2 7 ． 易得：lAB： 3 x＋2y－4 3 ＝0，设 P（4cos ，2 sin ）到 lAB 的距离为 d． 则 d＝ 7 34cos34sin34   ＝ 7 14sin234      ≤   7 1234  ． ······································（8 分） 当 sin（ ＋ 4  ）＝－1  ＋ 4  ＝  2 3 ＝ 4 5 时，d 有最大值   7 1234  ． ∴（ S△ABP）max＝ AB2 1 d＝ 2 1 ×2 7 ×   7 1234  ＝4 3 ＋4 6 ．········（10 分） 23．解：（Ⅰ）               2 1,13 2 10,1 0,13 12 xx xx xx xxxf ， 由   4xf 解得 1x 或 3 5x ．········································（5 分） （Ⅱ）∵ 38 3628 36 8 3168 333 2222  abababababbaabba ． 当 a＝b＝2 时等号成立，即知   312  xxxf ． 解方程，分情况讨论：①当 x≤0 时，－3x＋1＜3，故 3 2 ＜x≤0；②当 x≥ 2 1 时，3x －1＜3，故 2 1 ≤x＜ 3 4 ；③当 0＜x＜ 2 1 ，满足 1－x＜3． ∴x 的取值集合为 M＝    3 4 3 2 xx ．·································（10 分）