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- 2021-06-15 发布
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- 1 -
A 佳教育·2020 年 3 月湖湘名校高二线上自主联合检测
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸及
答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.计算: ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】 .
故选:B.
【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的计算能力,是一道基础题.
2.设集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别求出集合 A、B,再按交集运算即可.
2 3
1
i
i
− =−
5
2 2
i+ 5
2 2
i− 5
2 2
i− + 5
2 2
i− −
2 3
1
i
i
− =−
( )( )
( )( )
2 3 1 5 5
1 1 2 2 2
i i i i
i i
− + −= = −− +
{ }2 2 3 0A x x x= − − < { }2 4xB x= < A B =
( )3,1− ( )1,2− ( )3,2− ( )2,3
- 2 -
【详解】∵ , ,∴ .
故选:B.
【点睛】本题考查集合的交集运算,涉及到解一元二次不等式、指数不等式,是一道容易题.
3.某班学生共有 55 人按照 01,02……55 编号,小罗利用下面的随机数表选取 8 人参加公益
活动,选取的方法是从随机数表(如下)的笫一行的第一列开始从左到右依次选取两个数字,
则选取的第 5 个人的编号为 ( )
A. 37 B. 82 C. 17 D. 34
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一剔除重复的编号.
【详解】从左到右,剔除重复的 54 和超出范围的 82,第五个数是 37.
故选:A.
【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法,考查学生对随机数表法的理解,是一道容
易题.
4.已知向量 , ,若 ,则 ( )
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简 ,可得 ,利用向量模的计算公式计算即可.
【 详 解 】 ∵ , ∴ , 即 ∴
.
故选:D.
【点睛】本题考查向量的坐标运算,涉及到向量的垂直、向量模的运算,是一道基础题.
5.曲线方程 表示一个圆的充要条件为( )
A. B. C. D.
( )1 3A = − , ( )2B = −∞, ( )1 2A B = − ,
{ }49 54 43 54 8217 37 93 23 78 87 ⋅⋅⋅
( ),2a λ= ( )1,1b λ= − ( ) ( )a b a b+ ⊥ − λ =
2− 1−
( ) ( )a b a b+ ⊥ − 2 2| | | |a b=
( ) ( )a b a b+ ⊥ − ( ) ( )=0a b a b+ ⋅ − 2 2| | | |a b=
( )22 4 1 1 1λ λ λ+ = − + ⇒ = −
2 2 4 0x y Ex y+ + − + =
15E > 15E ≥ 2 15E > 2 15E ≥
- 3 -
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用 计算即可.
【详解】表示圆的充要条件是 ,即 .
故选:C.
【点睛】本题考查圆的一般方程,本题也可以采用配方来做,是一道容易题.
6.若 为等差数列,首项 , , 则使得前 项和
成立的最大自然数 是( )
A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020
【答案】B
【解析】
【分析】
由 已 知 , 易 得 且 , , 由 前 n 项 和 公 式 易 得
, .
【详解】∵ , ,∴ 且 ,
又
而
故使得前 项和 成立的最大自然数 是 2018.
故选:B.
【点睛】本题考查等差数列的性质以及前 n 项和的应用,考查学生的逻辑推理与运算能力,
是一道中档题.
7.函数 的单调递减区间为( )
2 2 4 0D E F+ − >
( )22 1 4 4 0E + − − × > 2 15E >
{ }na 1 0a > 1009 1010 0a a+ > 1009 1010 0a a⋅ < n 0nS >
n
0d < 1009 0a > 1010 0a <
( )2018 1009 10101009 0S a a= + > 2019 10102019 0S a= <
1 0a > 1009 1010 0a a⋅ < 0d < 1009 0a > 1010 0a <
( ) ( )1 2018
2018 1009 1010
2018 1009 02
a aS a a
+= = + >
( )1 2019
2019 1010
2019 2019 02
a aS a
+= = <
n 0nS > n
sin cos8 8
π πy x x = − −
- 4 -
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】
化简解析式得 ,利用整体法结合 减区间即可得到答案.
【详解】 ,
由 ,得 , .
故选:B.
【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调区间的求法,涉及到二倍角公式的运用,是一道基
础题.
8.平面内向图形 : 内投 1000 个点,则点落在 所确定的区域内的点
大约有( )
A. 182 B. 818 C. 240 D. 318
【答案】D
【解析】
【分析】
先算出点落入阴影区域的概率,再利用随机模拟数估计概率即可.
【详解】可行域如图
3 7,4 4kπ π kπ π + + k Z∈ 3 7
8 8kπ π,kπ π + + k Z∈
1 3
4 4kπ π,kπ π − + k Z∈ 1 3,8 8kπ π kπ π − + k Z∈
1 sin 22 4
πy x = − siny x=
1sin cos sin 28 8 2 4
π π πy x x x = − − = −
32 2 22 4 2
π π πkπ x kπ+ < − < + 3 7
8 8
π πkπ x kπ+ < < + k Z∈
C 2 2 1x y+ ≤
1 0
1 0
0
x y
x y
y
− + >
+ − <
>
1S =阴
- 5 -
.
故选:D.
【点睛】本题考查几何概型的概率计算,涉及到作出不等式组所表示的平面区域,是一道容
易题.
9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,则“{an}是等差数列”是“ 是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义证明求解.
【详解】首先证“充分条件”:因为{an}是等差数列,所以
所以 ,
所以 常数,
所以 是等差数列.
证“必要条件”因为 是等差数列,所以设数列 的公差为 ,
则 所以
当 时,
所以 当 时满足.
所以 常数,
所以{an}是等差数列.
故选 C.
【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断,属于中档题.
1 3181000
S xP xS π
= = = ⇒ ≈阴
圆
{ }nS
n
( )
1
1
2n
n nS na d
−= +
1
1
2
nS na dn
−= +
1
1 1
1
1 2 2 2
n nS S n n da d a dn n
+ − − = + − + = = +
{ }nS
n
{ }nS
n { }nS
n
t
( )1 1 ,nS a n tn
= + − ( )1 1 ,nS na n n t= + −
2n ≥ ( ) ( ) ( )( )1 1 11 1 1 2 ,n n na S S na n n t n a n n t−= − = + − − − − − −
( )1 2 1 ,na a n t= + − 1n =
( )1 1 12 2 1 2n na a a nt a n t t+ − = + − − − = =
- 6 -
10.已知椭圆 的右焦点为 ,直线 : ,若 与双曲线
的两条渐近线分别交于点 和点 ,且 ( 为原点)
,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由已知计算出 , ,利用 即可建立 的关系.
【详解】由题意,知 ,直线与两渐近线的交点分别为 和 ,
所以 ,所以 ,即 ,
所以离心率 .
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题,关键是建立起 的关系,考查学生的基本计
算能力,是一道容易题.
11.已知斜三棱柱 中,底面 是等腰直角三角形, ,
, 与 、 都成 角,则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 , , ,则 , ,分别计算出 ,
2 2
14 3
x y+ = F l 2x = − l
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > A B 3AB OF= O
5
3
5
4 5
OF AB 3AB OF= , ,a b c
1OF = 22, bA a
−
22, bB a
− −
4bAB a
= 4 3b
a
= 3
4
b
a =
2 24 3 5
4 4
ce a
+= = =
, ,a b c
1 1 1ABC A B C− ABC 2AB AC= =
1 2CC = 1AA AB AC 60 1AB 1BC
1
4
15
5
10
5
1
6
AB a= AC b=
1AA c=
1AB a c= +
1BC b c a= + −
1 1AB BC⋅
- 7 -
,利用 计算即可.
【详解】设 , , ,则 , , ,从而
,
, ,
,
所以 .
故选:D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角,考查了空间向量的基本定理的应用,也可以通过平移,
构造三角形,解三角形来解决.
12.已知函数 ,设 ,若关于 的不等式 在
上恒成立,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
不等式 可化为 ,分 , 两种情况讨论即可.
【详解】不等式 可化为 (*).
1 1,AB BC 1 1
1 1
1 1
cos ,
| || |
AB BCAB BC
AB BC
⋅=
AB a= AC b=
1AA c= 0a b⋅ = 2a c⋅ = 2b c⋅ =
1AB a c= +
1BC b c a= + − 2 2
1 1 2AB BC a b b c c a⋅ = ⋅ + ⋅ + − =
2 2
1 2 4 4 4 2 3AB a c a c= + + ⋅ = + + =
2 2 2
1 2 2 2 4 4 4 2 3BC a b c b c a b a c= + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ = + + =
1 1
1 1
1 1
1cos , 6| || |
AB BCAB BC
AB BC
⋅= =
( )
2 14 2 3, 2
1 12 , 2
x x x
f x
x xx
− + ≤=
+ >
a R∈ x ( )
2
af x x≥ − R
a
39 47,8 8
−
474, 8
− 4,4 3 −
39 ,4 38
−
( )
2
af x x≥ − ( ) ( )
2
af x x f x− ≤ − ≤ 1
2x ≤ 1
2x >
( )
2
af x x≥ − ( ) ( )
2
af x x f x− ≤ − ≤
- 8 -
当 时,(*)式即 .
即 .
又 (当 时取等号)
(当 时取等号).
所以 ,
当 时,(*)式为 , .
又 (当 时取等号),
(当 时取等号),所以 .
综上, .
故选:B.
【点睛】本题考查不等式恒成立的问题,涉及到二次函数的最值、基本不等式求最值,是一
道有一定难度的题.
二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分.
13.命题:“ ,不等式 ”的否定形式是__________.
【答案】 ,不等式
【解析】
【分析】
的否定为 .
【详解】根据特称命题的否定是全称命题,知“ ,不等式 ”的
否定为“ ,不等式 ”.
故答案为: ,不等式 .
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,关键是理解特称命题、全称命题的含义,是
1
2x ≤ 2 24 2 3 4 2 32
ax x x x x− + − ≤ − ≤ − +
2 24 3 4 3 32
ax x x x− + − ≤ − ≤ − +
2
2 1 47 474 3 4 8 16 16x x x − + − = − − − ≤ −
1
4x =
2
2 3 39 394 3 3 4 8 16 16x x x − + = − + ≥
3
4x =
39 47
8 8a− ≤ ≤
1
2x > 1 12 22
ax x xx x
− − ≤ − ≤ + 1 13 2
ax xx x
− − ≤ − ≤ +
1 13 3 2 3x xx x
− − = − + ≤ −
3
3x =
1 12 2x xx x
+ ≥ + = 1x = 4 4 3a− ≤ ≤
474 8a− ≤ ≤
x R∃ ∈ 2 3 0ax x+ + >
x R∀ ∈ 2 3 0ax x+ + ≤
, ( )x M p x∃ ∈ , ( )x M p x∀ ∈ ¬
x R∃ ∈ 2 3 0ax x+ + >
x R∀ ∈ 2 3 0ax x+ + ≤
x R∀ ∈ 2 3 0ax x+ + ≤
- 9 -
一道容易题.
14.在长方体 中, , , ,若体对角线长为 ,
则长方体的表面积的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知, ,表面积 ,利用基本不等式 ,
计算即可得到答案.
【详解】由已知得, ,所以 ,所以长方体表面积
因为 , ,
所以 ,∴ ,当且仅当 等号成立,
故表面积 .
故答案为: .
【点睛】本题考查长方体表面积的计算,涉及到基本不等式求最值,考查学生的运算求解能
力,是一道中档题.
15.在平行四边形 中, , , , 是 上一点,
最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将 用 表示,即 ,只需求出
即可.
【详解】由余弦定理可得, ,
设 ,
1 1 1 1ABCD A B C D− AB a= AD b= 1 3 2AA = 5 2
32 48 2+
2 2 32a b+ = ( )2 6 2S ab a b= + + 2 22ab a b≤ +
( )2 2 22( )a b a b+ ≤ +
2 2 2 2(3 2) (5 2)a b+ + = 2 2 32a b+ =
( )2 6 2S ab a b= + +
2 22 32ab a b≤ + = ( )22 2 2 22 2 2a b a b ab a b+ ≥ + + = +
( )2 2 22 2 64a b a b+ ≤ + = 8a b+ ≤ 4a b= =
( )2 6 2 32 48 2S ab a b= + + ≤ +
32 48 2+
ABCD 2AB = 1BC = 120ABC∠ = ° P AC
( )PA PB PD⋅ +
7
8
−
( )PA PB PD⋅ + AC ( )PA PB PD⋅ + = 2 222AC ACλ λ− + ⋅ | |AC
2 2 2 cos120 1 4 2 7AC AB BC AB BC= + − ⋅ = + + =
(0 1)AP ACλ λ= ≤ ≤
- 10 -
,当 时,等号成立.
故答案为:
【点睛】本题考查平面向量数量积的最值问题,考查学生的运算求解能力、数形结合的思想,
是一道中档题.
16.已知函数 ,若函数 有四个零点,则
实数的 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
或 ,作出函数 的图象,易知
有 3 个根,所以 有一个根,结合图象即可得到答案.
【详解】令 ,得 ,对 , , 列表如下:
1
+ 0 - 0 +
递增 极大值 3 递减 极小值 递增
∴ 的大致图象:
( ) ( ) ( )2 2PA PB PD AP AB AD AP AC AC ACλ λ⋅ + = − ⋅ + − = − ⋅ −
2
2 22 2 1 72 7 14 14 4 8AC ACλ λ λ λ λ = − + ⋅ = − + = − −
7
8
≥ − 1
4
λ =
7
8
−
( ) 3 3 1f x x x= − + ( ) ( ) ( ) ( )2 1g x f x a f x a= + − −
a
( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞
( ) ( ) ( )2 1 0f x a f x a+ − − = ⇒ ( ) 1f x = ( )f x a= − ( )f x
( ) 1f x = ( )f x a= −
( )' 23 3 0f x x= − = 1x = ± x ( )'f x ( )f x
x
( ), 1−∞ −
1−
( )1,1−
( )1,+∞
( )'f x
( )f x 1−
( )f x
- 11 -
由 ,得 或 ,
当 时,有 3 个根,只需 有一个根,从而 或 ,
解得 或 .
故答案为: .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,考查学生数形结合思想以及数学运算
能力,是一道中档题.
三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量 , .
(1)求 的最小正周期;
(2)求 在 上的最值.
【答案】(1) (2)最大值为 ,最小值为 .
【解析】
【分析】
(1)利用向量数量积的坐标运算及倍角公式,可得 ;
(2) ,利用整体换元法求值域.
( ) ( ) ( )2 1 0f x a f x a+ − − = ( ) 1f x = ( )f x a= −
( ) 1f x = ( )f x a= − 1a− < − 3a− >
3a < − 1a >
( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞
( )1 sin ,sina x x= + ( )cos ,1b x=
( ) sin cosf x a b x x= ⋅ − −
( ) sin cosg x a b x x= ⋅ − ,4
π π −
π 2 1−
( ) 1 sin 22f x x=
( ) 2 sin 4g x x
π = +
- 12 -
详解】(1)∵ ,
∴
∴ .
(2)
∵ ,∴
∴
∴ ,故 的最大值为 ,最小值为 .
【点睛】本题考查正弦型三角函数的周期、与最值,涉及到向量数量积的坐标运算、倍角公
式、辅助角公式,是一道容易题.
18. 等差数列 中, , .
(1)求数列 的通项式 ;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】
分析】
( 1 ) 利 用 , 代 入 已 知 即 可 得 到 及 公 差 d , 利 用
计算即可.
(2)利用错位相减法.
【详解】∵数列 为等差数列, ,
∴
∴ .
【
在
【
( )1 sin ,sina x x= + ( )cos ,1b x=
( ) ( ) 11 sin cos sin sin cos sin cos sin 22f x x x x x x x x x= + + − − = =
2
2T
π π= =
( ) (1 sin )cos sin sin cos sin cos 2 sin 4
πg x x x x x x x x x = + + − = + = +
,4
πx π ∈ −
50 4 4
π πx≤ + ≤
2 sin 12 4
πx − ≤ + ≤
( )1 2g x− ≤ ≤ ( )g x 2 1−
{ }na 5 15S = 1 7 10a a+ =
{ }na na
3
3
n
n n
ab
+= { }nb n nT
2 3na n= − 3 2 3 1
2 2 3
n
n
nT
+ = −
5 35S a= 1 7 42a a a+ = 3 4,a a
( )3 3na a n d-= +
{ }na 5 15S = 1 7 10a a+ =
3 3
4 4
5 15 3 22 10 5
a a da a
= = ⇒ ⇒ = = =
( )3 3 2 3na a n d n- == -+
- 13 -
(2)
∴
.
【点睛】本题考查等差数列的性质求通项公式以及错位相减法求数列前 n 项和,考查学生的
数学运算能力,是一道中档题.
19.如图,在三棱锥 中, , , , 为 的中点,点
在线段 上运动.
(1)当 ,试确定 的位置;
(2)若 与 夹角为 , ,试求二面角 的余弦值.
【答案】(1) 在 的中点(2)
【解析】
分析】
(1)若 ,结合已知条件有 ,可得 面 , ,因为
,所以可得 为 的中点;
(2)以 D 为原点,建立空间直角坐标系,分别计算面 的法向量为 ,面 的法向量
【
3 123 3
n
n
n n
ab n
+ = =
1 21 1 12 4 23 3 3
n
nT n = + +⋅⋅⋅+
( )2 11 1 1 12 2 1 23 3 3 3
n n
nT n n
+ = +⋅⋅⋅+ − +
1 2 11 1 1 1 12 23 3 3 3 3
n n
n nT T n
+ − = + +⋅⋅⋅+ −
1
1 113 32 1 3 2 3 12 213 3 2 2 31 3
n
n n
n n
nT n T
+
− + = − ⇒ = − −
P ABC− PA AB⊥ PA BC⊥ AB BC= E PC
D AC
BD PC⊥ D
PB ABC 3
π 2
3ABC
π∠ = E BA P− −
D AC 2 5
5
BD PC⊥ PA BD⊥ BD ⊥ PAC BD AC⊥
AB BC= D AC
ABE 1n ABP
- 14 -
为 ,利用 计算.
【详解】(1)当 运动到 的中点有 .
∵ ,∴
又∵ , ,
∴ 面 ,∴
而 ,∴ 面
又∵ 面 ,∴
(2)当 在 的中点时,(如图)建立空间坐标系,设 的长为一个单位,则由题可以
知道坐标为 , , , .
设面 的法向量为
则 ,令 ,则
所以 ,
设面 的法向量为
则 ,令 ,则
所以 ,
,
2n 1 2
1 2
1 2
cos ,
| || |
n nn n
n n
⋅< >=
D AC BD PC⊥
AB BC= BD AC⊥
PA AB⊥ PA BC⊥ AB BC B∩ =
PA ⊥ ABC PA BD⊥
AC PA A∩ = BD ⊥ PAC
PC ⊂ PAC BD PC⊥
D AC BD
( )0, 3,0A − ( )1,0,0B ( )0,0, 3E ( )0, 3,2 3P −
ABE ( )1 1 1 1, ,n x y z=
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
, , 1, 3,0 3 0
, , 0, 3, 3 3 3 0
n AB x y z x y
n AE x y z y z
⋅ = ⋅ = + =
⋅ = ⋅ = + =
1 1z = 1 11, 3y x= − =
( )1 3, 1,1n = −
ABP ( )2 2 2 2, ,n x y z=
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
, , 1, 3,0 3 0
, , 0,0,2 3 2 3 0
n AB x y z x y
n AP x y z z
⋅ = ⋅ = + =
⋅ = ⋅ = =
2 1y =
2 23, 0x z= − =
( )2 3,1,0n = −
( ) ( )
1 2
3, 1,1 3,1,0 2 5cos , 55 4
n n
− ⋅ −
< >= = −
⋅
- 15 -
设二面角 的大小为 ,
则 ,
所以二面角 的余弦值为
【点睛】本题考查线面垂直的应用以及坐标法求二面角的大小,考查学生的运算求解能力,
要注意点的坐标的准确性,是一道中档题.
20.某市 2019 年引进天然气作为能源,并将该项目工程承包给中昱公司.已知中昱公司为该
市铺设天然气管道的固定成本为 35 万元,每年的管道维修此用为 5 万元.此外,该市若开通
千户使用天然气用户 ,公司每年还需投入成本 万元,且
.通过市场调研,公司决定从每户天然气新
用户征收开户费用 2500 元,且用户开通天然气后,公司每年平均从每户使用天然气的过程中
获利 360 元.
(1)设该市 2019 年共发展使用天然气用户 千户,求中昱公司这一年利润 (万元)关
于 的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,当 等于多少 最大?且 最大值为多少?
【答案】(1) , (2)当 时,公司
利润达最大为 1080 万元.
【解析】
【分析】
(1)由已知, ,分段代入 即可;
(2)分别求出分段函数每一分支的最值,比较大小即可得到答案.
【详解】(1)由题可知: ,
即 ,
E BA P− − θ
2 5cos 5
θ =
E BA P− − 2 5
5
x ( )x R+∈ ( )f x
( ) ( )
210 200 ,0 10
10000287 1320, 10
x x x
f x
x x x Rx
+
+ < <= + − ≥ ∈
x ( )W x
x
x ( )W x ( )W x
( )
210 86 40,0 10
100001280 , 10
x x x
W x
x xx
− + − < <= − − ≥
( )x R+∈ 100x =
( ) ( )250 36 40W x x x f x= + − − ( )f x
( ) ( ) ( )250 36 40 286 40W x x x f x x f x= + − − = − −
( )
210 86 40,0 10
100001280 , 10
x x x
W x
x xx
− + − < <= − − ≥
( )x R+∈
- 16 -
(2)由(1)可知当 时, (万元)
当 时, (万元),当且仅当 时取等号
故当本年度发展客户 100 千户时公司利润达最大为 1080 万元.
【点睛】本题考查函数模型及其应用,涉及到分段函数模型,考查学生求解分段函数的最值,
是一道中档题.
21.已知椭圆 的左右顶点分别记为 、 ,其长轴的长为 4,离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记 的中点为 ,若动点 的横坐标恒为 ,过点 作 ∥ 交椭圆于点 ,
直线 交椭圆于点 ,求证: 、 、 三点共线.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
(1)直接法求椭圆的标准方程;
(2)设 的坐标为 ,用 分别表示 、 、 的坐标,再利用斜率相等,即
证明.
【详解】(1)由题可知 , ;∴ , ,故
所以椭圆方程为:
(2)设 的坐标为 , , , ,
0 10x< < ( ) ( )210 4,3 144.9 144.9W x x= − − + ≤
10x ≥ ( ) 100001280 1080W x x x
= − + ≤ 100x =
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > A B
2
2
OB P H 5
2 A AM PH M
BH N M P N
2 2
14 2
x y+ =
H 0
5 ,2 y
0y M P N
PM PNk k=
2 4a = 2
2
c
a
= 2 4a = 2 2c = 2 2b =
2 2
14 2
x y+ =
H 0
5 ,2 y
( ),M MM x y ( ),N NN x y (1,0)P
- 17 -
∴
∴ 的方程为 ,代入椭圆方程 ,得
故
∴
又∵ ,∴ 为 代入椭圆方程 ,
得 ∴ ,
故 ,
∴ ,故 、 、 三点共线.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆中的共线问题,考查学生数学运算能力,解析几
何中,三点共线的问题通常采用斜率来证明,是一道中档题.
22.已知函数 .
(1)若 使得 成立,试求 的取值范围:
(2)当 在点 处的切线与函数 的图象交于点 时,
若 的面积为 ,试求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)若 使得 成立,转化为 在 的最大值大于等于 0 即可
;
0 02
5 312
PH AM
y yk K= = =
−
AMl 02 ( 2)3
yy x= + 2 2
14 2
x y+ =
2
0
2
0
18 16
9 8M
yx y
−= +
0
2
0
24
9 8M
yy y
= +
0
2
0
8
1 3 8
M
PM
M
y yk x y
= =− −
0
025 22
BH
yk y= =
− BNl 02 ( 2)y y x= − 2 2
14 2
x y+ =
2
0
2
0
2 16
1 8N
yx y
− += +
0
2
0
8
1 8N
yy y
−= +
0 0
2 2
0 0
8 8
1 3 8 3 8
N
PN
N
y y yk x y y
−= = =− − + −
PM PNk k= M P N
( ) lnx xf x e x e a= − +
0
1 ,1x e
∃ ∈
( )0 0f x ≥ a
( ) ( )
x
f x ag x e
−= ( )( )1, 1A g ( ) 2y f x= − B
ABO∆ 1e − a
a e≥ a e=
0
1 ,1x e
∃ ∈
( )0 0f x ≥ ( )f x 1 ,1x e
∈
- 18 -
(2) 可得 B 的坐标,将 B 代入 即可.
【详解】(1)∴ ∴
令 ,则 ,
∴ 在 上单调递减,∴ ,
∴ ,故 在 上单调递增,∴ ,
∴ ,即 .
(2)由题可知 ,故切点为 ,∵ ,∴
所以切线方程为: ,交 轴于 ,交 轴于 ,
设切线交函数于点 ,因为 ,故 ,
又 ,故 B 的位置只能在 C 的上方.
如图,则 面积为
,
或 (舍),故 ,
所以函数 过点 ,∴
∴ .
【点睛】本题考查利用导数研究函数能成立问题、切线所围成的面积问题,考查学生运算求
的
1 1 12ABO ACO CBO BS S S OC y e= + = + = −△ △ △ ( )f x
( ) lnx xf x e x e a= − + ( )' 1 1ln ln 1x x x xf x e x e e e xx x
= + − = + −
( ) 1ln 1xg x x
= + − ( )'
2
1 1 0g x x x
= − ≤ 1 ,1x e
∈
( )g x 1 ,1x e
∈
( ) ( )1 0g x g≥ =
( )' 0f x ≥ ( )f x 1 ,1e
( ) ( )max 1f x f a e= = −
0a e− ≥ a e≥
( ) ln 1g x x= − ( )1, 1A − ( )' 1g x x
= ( )' 1 1g =
2y x= − x ( )2,0C y (0, 2)D −
( ),B BB x y 0Bx > 2 0By + >
1 2 1 1 12AOC AODS S e∆ ∆= = × × = < −
ABO∆
1 1 12ABO ACO CBO BS S S OC y e= + = + = −△ △ △
2By e= − By e= − ( ), 2B e e −
( ) 2y f x= − ( ), 2e e − ln 2 2e ee e e a e− + − = −
a e=
- 19 -
解能力,是一道中档题.
- 20 -
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