高考文科数学复习备课课件：第三节　圆的方程 26页

文数 课标版 第三节　圆的方程 1.圆的定义 在平面内,到① 　定点     的距离等于② 　定长     的点的③ 　集合     叫做 圆. 教材研读 2.确定一个圆最基本的要素是④ 　圆心     和⑤ 　半径     . 3.圆的标准方程 ( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0),其中⑥ 　( a , b )     为圆心,⑦      r      为半径. 4.圆的一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是⑧      D 2 + E 2 -4 F >0     ,其中圆心为 ⑨             ,半径 r =⑩             . 5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a , b , r 或 D , E , F 的方程组; (3)解出 a , b , r 或 D , E , F ,代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ,点为( x 0 , y 0 )) (1)点在圆上:   　( x 0 - a ) 2 +( y 0 - b ) 2 = r 2      ; (2)点在圆外:   　( x 0 - a ) 2 +( y 0 - b ) 2 > r 2      ; (3)点在圆内:   　( x 0 - a ) 2 +( y 0 - b ) 2 < r 2      .   　　 判断下列结论的正误 ( 正确的打“√” , 错误的打“ × ” ) (1) 已知点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则以 AB 为直径的圆的方程是 ( x - x 1 )( x - x 2 )+ ( y - y 1 )( y - y 2 )=0.   (√) (2)方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是 A = C ≠ 0, B =0, D 2 + E 2 -4 AF >0.   (√) (3)方程 x 2 +2 ax + y 2 =0一定表示圆.   ( × ) (4)( x -2) 2 +( y +1) 2 = a 2 ( a ≠ 0)表示以(2,1)为圆心, a 为半径的圆.   ( × ) (5)圆 x 2 +2 x + y 2 + y =0的圆心是   .   ( × ) (6)若点 M ( x 0 , y 0 )在圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0外,则   +   + Dx 0 + Ey 0 + F <0.   ( × ) 1.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是   (　　) A.( x -1) 2 +( y -1) 2 =1　    B.( x +1) 2 +( y +1) 2 =1 C.( x +1) 2 +( y +1) 2 =2　    D.( x -1) 2 +( y -1) 2 =2 答案     D　由题意得圆的半径为   ,故该圆的方程为( x -1) 2 +( y -1) 2 =2,故 选D. 2.圆 x 2 + y 2 -4 x +6 y =0的圆心坐标是   (　　) A.(2,3)　    B.(-2,3) C.(-2,-3)　    D.(2,-3) 答案     D　圆的方程可化为( x -2) 2 +( y +3) 2 =13,所以圆心坐标是(2,-3). 3.点(2 a , a -1)在圆 x 2 +( y -1) 2 =5的内部,则 a 的取值范围是   (　　) A.-1< a <1　    B.0< a <1 C.-1< a <   　    D.-   < a <1 答案     D　由(2 a ) 2 +( a -2) 2 <5得-   < a <1. 4.已知点 A (-1,   ), B (1,-   ),则以线段 AB 为直径的圆的方程是   (　　) A. x 2 + y 2 =2　    B. x 2 + y 2 =   C. x 2 + y 2 =1　    D. x 2 + y 2 =4 答案     D     AB 的中点坐标为(0,0).由题意知, AB 的中点为圆心,| AB |=   =4,∴圆的方程为 x 2 + y 2 =   =4. 5.方程 x 2 + y 2 + ax +2 ay +2 a 2 + a -1=0表示圆,则 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　方程 x 2 + y 2 + ax +2 ay +2 a 2 + a -1=0可化为   +( y + a ) 2 =-   a 2 - a +1, 因为该方程表示圆,所以-   a 2 - a +1>0, 即3 a 2 +4 a -4<0,所以-2< a <   . 考点一　求圆的方程 典例1 　(1)(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点 A (1,3), B (4,2), C (1,-7)的圆交 y 轴于 M , N 两点,则| MN |=   (　　) A.2   　    B.8　    C.4   　    D.10 (2)圆心在直线 y =- x +1上,且与直线 x + y -2=0相切于点(1,1)的圆的方程为 　　　　　　　　　     . 答案 　(1)C　(2)   +   =   考点突破 解析 　(1)设圆心为 P ( a , b ),由点 A (1,3), C (1,-7)在圆上,知 b =   =-2.再由| PA |=| PB |,得 a =1.则 P (1,-2),| PA |=   =5,于是圆 P 的方程为( x - 1) 2 +( y +2) 2 =25.令 x =0,得 y =-2 ± 2   ,则| MN |=|(-2+2   )-(-2-2   )|=4   . (2)解法一(几何法):因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所以圆 心在直线 y -1= x -1,即 x - y =0上. 又已知圆心在直线 y =- x +1上,故联立   解得   故圆心坐标是   . 所以半径 r =   =     . 故所求圆的方程为   +   =   . 解法二(待定系数法):设圆的标准方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ,则   解得   所以 r =   =     . 故所求圆的方程为   +   =   . 1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法:①若已知条件与圆心( a , b )和半径 r 有关,则设圆的标准方 程,依据已知条件列出关于 a , b , r 的方程组,从而求出 a , b , r 的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据 已知条件列出关于 D , E , F 的方程组,进而求出 D , E , F 的值. 方法指导 2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线. 1-1 　若圆 C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4 x -3 y =0和 x 轴都相切, 则该圆的标准方程是   (　　) A.( x -2) 2 +( y -1) 2 =1　    B.( x -2) 2 +( y +1) 2 =1 C.( x +2) 2 +( y -1) 2 =1　    D.( x -3) 2 +( y -1) 2 =1 答案     A　由于圆 C 的半径为1,圆心在第一象限且与 x 轴相切,故设圆心 为( a ,1)( a >0),又由圆与直线4 x -3 y =0相切可得   =1,解得 a =2(舍负), 故圆的标准方程为( x -2) 2 +( y -1) 2 =1. 1-2 　求经过点 A (5,2), B (3,-2),且圆心在直线2 x - y -3=0上的圆的方程. 解析 　解法一:∵圆过 A (5,2), B (3,-2)两点, ∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上. 易知线段 AB 的垂直平分线的方程为 y =-   ( x -4). 设所求圆的圆心坐标为 C ( a , b ),则有   解得   ∴ C (2,1), r =| CA |=   =   , ∴所求圆的方程为( x -2) 2 +( y -1) 2 =10. 解法二:设圆的方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 , 则   解得   ∴所求圆的方程为( x -2) 2 +( y -1) 2 =10. 解法三:设圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0( D 2 + E 2 -4 F >0), 则   解得 D =-4, E =-2, F =-5, ∴所求圆的方程为 x 2 + y 2 -4 x -2 y -5=0. 考点二　与圆有关的最值问题 典例2 　(1)已知点 A (-1,0), B (0,2),点 P 是圆( x -1) 2 + y 2 =1上任意一点,则 △ PAB 面积的最大值与最小值分别是   (　　) A.2,   (4-   )　    B.   (4+   ),   (4-   ) C.   ,4-   　    D.   (   +2),   (   -2) (2)若实数 x , y 满足方程 x 2 + y 2 -4 x +1=0,则   的最大值为 　　　     ,最小值 为 　　　     . 答案 　(1)B　(2)   ;-   解析 　(1)由题意知| AB |=   =   , l AB :2 x - y +2=0, 由题易知圆心坐标为(1,0), ∴圆心到直线 l AB 的距离 d =   =   =   . ∴ S △ PAB 的最大值为   ×   ×   =   (4+   ), S △ PAB 的最小值为   ×   ×   =   (4-   ). (2)原方程可化为( x -2) 2 + y 2 =3. ∵   =   , ∴   表示点 P (-1,0)与圆( x -2) 2 + y 2 =3上的点( x , y )的连线的斜率.如图.   由图知   的最大值和最小值分别是过 P 与圆相切的直线 PA 、 PB 的斜 率.易知| PB |=| PA |=   =   , ∴ k PA =   =   =   , k PB =-   =-   =-   , ∴   的最大值为   ,最小值为-   . 方法技巧 1.与圆的几何性质有关的最值 (1)记 O 为圆心,圆外一点 A 到圆上距离的最小值为| AO |- r ,最大值为| AO | + r ; (2)过圆内一点的弦最长的为圆的直径,最短的为以该点为中点的弦; (3)记圆心到直线的距离为 d ,若直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距 离为 d + r ,最小距离为 d - r ; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆. 2.与圆上点( x , y )有关的最值 (1)形如   形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 t = ax + by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可 用三角代换求解; (3)形如( x - a ) 2 +( y - b ) 2 形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方 的最值问题. 变式2-1 　在本例(2)的条件下,求 y - x 的最大值和最小值. 解析      y - x 可看作是直线 y = x + b 在 y 轴上的截距,当直线 y = x + b 与圆相切时, 纵截距 b 取得最大值或最小值,此时   =   ,解得 b =-2 ±   . 所以 y - x 的最大值为-2+   ,最小值为-2-   . 变式2-2 　在本例(2)的条件下,求 x 2 + y 2 的最大值和最小值. 解析      x 2 + y 2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,过 原点和圆心的直线与圆有两个交点,在两个交点处取得最大值和最小 值. 又圆心到原点的距离为   =2. 所以 x 2 + y 2 的最大值是(2+   ) 2 =7+4   , x 2 + y 2 的最小值是(2-   ) 2 =7-4   . 考点三　与圆有关的轨迹问题 典例3 　已知 A (2,0)为圆 x 2 + y 2 =4上一定点, B (1,1)为圆内一点, P , Q 为圆上 的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程( P 与 A 不重合); (2)若∠ PBQ =90 ° ,求线段 PQ 中点的轨迹方程. 解析 　(1)设 AP 的中点为 M ( x , y ),由中点坐标公式可知, P 点坐标为(2 x -2,2 y ). 因为 P 点在圆 x 2 + y 2 =4上,所以(2 x -2) 2 +(2 y ) 2 =4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为( x -1) 2 + y 2 =1( x ≠ 2). (2)设 PQ 的中点为 N ( x , y ), 在Rt△ PBQ 中,| PN |=| BN |,设 O 为坐标原点,连接 ON , 则 ON ⊥ PQ ,所以| OP | 2 =| ON | 2 +| PN | 2 =| ON | 2 +| BN | 2 , 所以 x 2 + y 2 +( x -1) 2 +( y -1) 2 =4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 + y 2 - x - y -1=0. 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接 法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程; (3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点 的关系,代入已知点满足的关系式. 3-1 　已知定点 M (-3,4),动点 N 在圆 x 2 + y 2 =4上运动,点 O 是坐标原点,以 OM 、 ON 为边作平行四边形 MONP ,求动点 P 的轨迹. 解析 　∵四边形 MONP 为平行四边形, ∴   =   +   . 设点 P ( x , y ),点 N ( x 0 , y 0 ),则   =   -   =( x , y )-(-3,4)=( x +3, y -4)=( x 0 , y 0 ), ∴ x 0 = x +3, y 0 = y -4. 又点 N 在圆 x 2 + y 2 =4上运动, ∴   +   =4,即( x +3) 2 +( y -4) 2 =4. 又当 OM 与 ON 共线时, O 、 M 、 N 、 P 构不成平行四边形, 故动点 P 的轨迹是圆( x +3) 2 +( y -4) 2 =4且除去两点   和   .