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- 2021-06-15 发布
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南通市2019届高三第三次调研测试数学
结束
Y
输出y
N
(第3题)
开始
输入x
y←3- x
x≤1
y←3+x
1. 已知集合,,则 ▲ .
2. 已知复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为 ▲ .
3. 右图是一个算法流程图.若输出的值为4,则输入x的值为 ▲ .
4. 已知一组数据6,6,9,,的平均数是,且,则该组数据的方差为 ▲ .
5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球,其中有3只白球,1只红球.从中1次随机摸出2只球,则2只球都是白球的概率为 ▲ .
6. 已知函数 则不等式的解集为 ▲ .
7. 已知是等比数列,前项和为.若,,则的值为 ▲ .
8. 在平面直角坐标系中,双曲线()的右准线与两条渐近线分别交于A,B两点.若△AOB的面积为,则该双曲线的离心率为 ▲ .
9. 已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3 cm,BC=1 cm,CD=2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体的体积为 ▲ cm3.
A
B
C
D
E
F
(第11题)
A
B
C
6
2
3.5
(第12题)
10.在平面直角坐标系中,若曲线与在上交点的横坐标为,则的值为 ▲ .
11.如图,正六边形中,若(),则的值为 ▲ .
12.如图,有一壁画,最高点处离地面6 m,最低点处离地面3.5 m.若从离地高2 m的处观赏它,则离墙 ▲ m时,视角最大.
13.已知函数,.若对任意,总存在,使得
9
成立,则实数的值为 ▲ .
14.在平面四边形ABCD中,, ,.若, 则的最小值为 ▲ .
15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,.
(1)求角的值;(2)若,求的值.
A
B
C
D
P
E
F
(第16题)
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面BPC⊥平面DPC,
,E,F分别是PC,AD的中点.
求证:(1)BE⊥CD; (2)EF∥平面PAB.
x
O
A
(第17题)
y
M
N
P
Q
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆()的上顶点为,圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于,两点,过点作直线的垂线交圆于另一点.若△PQN的面积为3,求直线的斜率.
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2 m,宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪
风筝面,裁剪方法如下:分别在边AB,AD上取点E,F,将三角形AEF沿直线EF翻折到
处,点落在牛皮纸上,沿,裁剪并展开,得到风筝面,如图1.
(1)若点E恰好与点B重合,且点在BD上,如图2,求风筝面的面积;
(2)当风筝面的面积为时,求点到AB距离的最大值.
(图1)
A
B
C
D
F
E
(图2)
A
B(E)
C
D
F
9
19.已知数列满足(),().
(1)若,证明:是等比数列;
(2)若存在,使得,,成等差数列.
① 求数列的通项公式;
② 证明:.
20.已知函数(),是自然对数的底数.
(1)当时,求的单调增区间;
(2)若对任意的,(),求的最大值;
(3)若的极大值为,求不等式的解集.
9
21.A.[选修4-2:矩阵与变换]
已知,矩阵的逆矩阵.若曲线C在矩阵对应的变换作用下得到曲线,求曲线C的方程.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标平面内,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点,
的极坐标分别为,,曲线的方程为().
(1)求直线的直角坐标方程;
(2)若直线和曲线有且只有一个公共点,求的值.
C.[选修4-5:不等式选讲]
已知,若关于的方程有实根,求的取值范围.
22.现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视频学习两类,且这两类学习互不影响.
已知该APP积分规则如下:每阅读一篇文章积1分,每日上限积5分;观看视频累计3分钟
积2分,每日上限积6分.经过抽样统计发现,文章学习积分的概率分布表如表1所示,视频
文章学习积分
1
2
3
4
5
概率
视频学习积分
2
4
6
概率
表1
表2
学习积分的概率分布表如表2所示.
(1)现随机抽取1人了解学习情况,求其每日学习积分不低于9分的概率;
(2)现随机抽取3人了解学习情况,设积分不低于9分的人数为,求的概率分布及
数学期望.
23.设,.
(1)求的值;(2)化简.
9
南通市2019届高三第三次调研测参考答案
1、 2、 3、 4、 5、 6、
7、14 8、2 9、 10、 11、 12、 13、 14、
15、 (1).(2).
16、略
17、(1)椭圆的方程为. (2)若的斜率为0,则,, 所以△PQN的面积为,不合题意,所以直线的斜率不为0. 设直线的方程为, 由消,得, 设,, 则,
9
, 所以.
直线的方程为,即,所以. 所以△PQN的面积,解得,即直线的斜率为.
18、(1)方法一:建立直角坐标系四边形的面积为.
方法二:设,则.在直角△ABD中,, 所以,
A
B
C
D
F
E
x
y
解得或(舍去).所以. 所以△ABF的面积为,所以四边形的面积为.
(2)方法一:建立如图所示的直角坐标系. 设,,,则直线的方程为,因为点A,关于直线对称,所以解得. 因为四边形的面积为,所以, 所以. 因为,,以. 设,. , 令,得或(舍去). 列表如下:
0
单调递减
极小值
单调递增
当时,取得极小值,即最小值, 所以的最大值为,此时点在CD上,,. 答:点到AB距离的最大值为.
A
B
C
D
F
E
T
方法二:设,,则.因为四边形的面积为,所以,即,所以.过点作
9
AB的垂线,垂足为T,则 .因为,,所以. (下同方法一)
19、(1)由,得,得,即
因为,所以,所以(),所以是以为首项,2为公比等比数列.
(2)① 设,由(1)知,, 所以,即,所以.因为,,成等差数列,则, 所以,所以,所以,即.
② 要证,即证,即证.设,则,且,从而只需证,当时,. 设(),则,所以在上单调递增,所以,即,因为,所以,所以,原不等式得证.
20、(1)的定义域为. 由, 令,因为,得, 因为,的单调增区间是.
(2)当时,,不合题意; 当时,令,得或, 所以在区间和上单调递减. 因为,且在区间上单调递增,所以在处取极小值,即最小值为. 若,,则,即.不妨设,则. 设(),则.当时,;当时,,所以在上单调递增;在上单调递减,所以,即,所以的最大值为.
(3)由(2)知,当时,无极大值, 当时,在和
9
上单调递增;在上单调递减,所以在处取极大值, 所以,即. 设,即, 当,,所以; 当,, 由(2)知,,又, 所以,且不恒为零, 所以在上单调递增.不等式,即为,所以, 即不等式的解集为.
21A、由题意得,,即, 所以,即矩阵. 设为曲线C上的任意一点,在矩阵对应的变换作用下变为点, 则 ,即 由已知条件可知,满足,整理得:, 所以曲线C的方程为.21B、(1)分别将,转化为直角坐标为,, 所以直线的直角坐标方程为.
(2)曲线C的方程为(),其直角坐标方程为 又直线AB和曲线C有且只有一个公共点,即直线与圆相切, 所以圆心到直线AB的距离为,即的值为.
21C、因为关于的方程有实根, 所以,即 当时,,得; 当时,14,恒成立,即; 当时,,得, 综上:所求的取值范围为.
22、(1)由题意,获得的积分不低于9分的情形有:
文章
3
4
5
5
视频
6
6
4
6
因为两类学习互不影响,所以概率,所以每日学习积分不低于9分的概率为.
9
(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)每个人积分不低于9分的概率为.
;;;.
所以,随机变量的概率分布列为
0
1
2
3
P
所以.所以,随机变量的数学期望为.
23、(1)由,,所以.
(2)设,则
① 因为,
所以 ②
①+②得,,即,所以.
9
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