高考数学专题复习练习：9-8-1 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)‎ A．至多为1　　　　　　　　　B．2‎ C．1 D．0‎ ‎【解析】 由题意知：>2，即<2，‎ ‎∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，‎ 故所求交点个数是2.‎ ‎【答案】 B ‎2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．1或2 D．0‎ ‎【解析】 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．‎ ‎【答案】 A ‎3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)‎ A．2 B．2 C．8 D．2 ‎【解析】 根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，‎ ‎∴＋＝1，可得m＝2.‎ ‎【答案】 B ‎4．(2017·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎【解析】 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 直线l的方程为y＝x＋t，‎ 由消去y，‎ 得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，‎ 则x1＋x2＝－t，x1x2＝.‎ ‎∴|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝·，‎ 当t＝0时，|AB|max＝.‎ ‎【答案】 C ‎5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线(　　)‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎【解析】 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，‎ 准线方程为x＝－1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.‎ 设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，‎ 则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.‎ ‎∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.‎ ‎∴A，B到直线x＝－2的距离之和x1＋x2＋2＋2≥6>5.‎ ‎∴满足题意的直线不存在．‎ ‎【答案】 D ‎6．(2017·大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．‎ ‎【解析】 由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．‎ 由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.‎ 则|AB|＝ ‎＝ ‎＝ ＝.‎ ‎【答案】 ‎7．(2017·安顺月考)在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．‎ ‎【解析】 设直线MN的方程为y＝－x＋b，‎ 代入y＝x2中，‎ 整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b＞0，‎ ‎∴b＞－.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，‎ ＝－＋b＝＋b，‎ 由在直线y＝x＋3上，‎ 即＋b＝－＋3，解得b＝2，‎ 联立得 解得 ‎【答案】 (－2，4)，(1，1)‎ ‎8．(2017·江苏盐城模拟)设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为________．‎ ‎【解析】 由题意可得，抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴c＝2.∵椭圆的离心率为，∴a ‎＝4，∴b＝＝2，即n＝2，∴椭圆的短轴长为4.‎ ‎【答案】 4 ‎9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．‎ ‎(1)求E的离心率；‎ ‎(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．‎ ‎【解析】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，‎ 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，‎ l的方程为y＝x＋c，其中c＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，‎ 所以E的离心率e＝＝＝.‎ ‎(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.‎ 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，‎ 得c＝3，从而a＝3，b＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎10．(2017·山西山大附中模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：·为定值．‎ ‎【解析】 (1)由题意知a＝2，b＝c，‎ ‎∵a2＝b2＋c2，‎ ‎∴b2＝2.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明 由题意知C(－2，0)，D(2，0)，‎ 设M(2，y0)，P(x1，y1)，‎ 则＝(x1，y1)，＝(2，y0)．‎ 直线CM：＝，‎ 即y＝x＋y0.‎ 代入椭圆x2＋2y2＝4，‎ 得x2＋yx＋y－4＝0.‎ ‎∵x1·(－2)＝，‎ ‎∴x1＝－，‎ ‎∴y1＝.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴·＝－＋＝＝4(定值)．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎11．(2017·大连双基测试)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|等于(　　)‎ A. B．6‎ C. D．8‎ ‎【解析】 不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0＜θ＜，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x轴的上方，过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，抛物线方程是y2＝4x，焦点F(1，0)，cos θ＝＝＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝＝2，直线l：y＝2(x－1)．由消去y，得2x2－5x＋2‎ ‎＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，选A.‎ ‎【答案】 A ‎12．(2017·绵阳中学月考)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)经过圆F：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为________．‎ ‎【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心为F(1，－2)．代入抛物线方程可得p＝2，所以其准线方程为x＝－1.圆心到直线x＝－1的距离d＝2，所以抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为2＝2.‎ ‎【答案】 2 ‎13．(2017·西安中学模拟)如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________．‎ ‎【解析】 不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2，1)，D(2，1)，因为B(－1，1)，C(1，1)，所以＝(1，0)，＝(－1，0)，所以·＝－1.‎ ‎【答案】 －1‎ ‎14．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．‎ ‎【解析】 直线AF的方程为y＝－(x－2)，‎ 联立 得y＝4，所以P(6，4)．‎ 由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.‎ ‎【答案】 8‎ ‎15．(2017·湖北八校4月联考)已知抛物线x2＝2py上点P处的切线方程为x－y－1＝0.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1＋y2＝4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【解析】 (1)设点P，‎ 由x2＝2py得y＝，则y′＝，‎ 因为点P处的切线的斜率为1，‎ 所以＝1且x0－－1＝0，解得p＝2，‎ 所以抛物线的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设线段AB的中点为M(x0，2)，‎ 则x0＝，‎ kAB＝＝＝(x1＋x2)＝，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x－x0)，‎ 即2x＋x0(－4＋y)＝0，‎ ‎∴l过定点(0，4)，即C(0，4)．‎ 直线AB的方程为y－2＝(x－x0)．‎ 由⇒x2－2x0x＋2x－8＝0，‎ 则Δ＝4x－4(2x－8)＞0⇒－2＜x0＜2，‎ x1＋x2＝2x0，x1x2＝2x－8，‎ 则|AB|＝ |x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝，‎ C(0，4)到AB的距离d＝|CM|＝，‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·d ‎＝ ‎＝ ≤ ＝8，‎ 当且仅当x＋4＝16－2x，即x0＝±2时取等号，‎ ‎∴S△ABC的最大值为8.‎