高考数学专题复习练习第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质 7页

第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像(　　)‎ A．关于点对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin，因为f＝0，所以函数图像关于点中心对称，故选A.‎ 答案 A ‎ ‎2.要得到函数的图像，只要将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 解析 因为,所以将向左平移个单位,故选C.‎ 答案 C ‎3. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 (　　)．‎ A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin D．y＝sin 解析　由所给图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1‎ ‎，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，则f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin，故选D.‎ 答案　D ‎4．将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值为.‎ 答案　C ‎5． 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为 (　　)．‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　由题意可得，函数的初相位是，排除B，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故选C.‎ 答案　C ‎6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<‎ )的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)‎ A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安 解析 由函数图像知A＝10，＝－＝.‎ ‎∴T＝＝，∴ω＝100π.‎ ‎∴I＝10sin(100πt＋φ)．‎ 又∵点在图像上，‎ ‎∴10＝10sin ‎∴＋φ＝，∴φ＝，‎ ‎∴I＝10sin .‎ 当t＝时，I＝10sin ＝－5.‎ 答案 A 二、填空题 ‎7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，则ω＝________.‎ 解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为2，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝＝2，∴T＝4，∴ω＝＝.‎ 答案 ‎8．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ 解析　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，‎ ‎∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范围是.‎ 答案　 ‎9．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的值为________．‎ 解析　令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0时，有－≤x≤－，此时函数单调递增，若是f(x)的一个单调递增区间，则必有 解得故φ＝.‎ 答案　 ‎10．在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝时有最大值，当x＝时有最小值－，若φ∈，则函数解析式f(x)＝________.‎ 解析　首先易知A＝，由于x＝时f(x)有最大值，当x＝时f(x)有最小值－，所以T＝×2＝，ω＝3.又sin＝，φ∈，解得φ＝，故f(x)＝sin.‎ 答案　sin 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x.‎ ‎(1)将f(x)的图像向右平移个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图像，求g(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．‎ 解 (1)依题意f(x)＝sin2x＋2· ‎＝sin2x＋cos2x＋1‎ ‎＝2sin＋1，‎ 将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数f1(x)＝2sin＋1＝2sin2x＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g(x)＝2sinx＋1.‎ ‎(2)函数f(x)的最小正周期为T＝π，‎ 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递增，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎12．已知向量m＝(sin x,1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．‎ 解　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x ‎＝A＝A sin.‎ 因为A＞0，由题意知A＝6.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝6sin.‎ 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到 y＝6sin＝6sin的图象；‎ 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．‎ 因此g(x)＝6sin.‎ 因为x∈，所以4x＋∈，‎ 故g(x)在上的值域为[－3,6]．‎ ‎13．已知函数f(x)＝2sin＋cos－sin(x＋π)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin x ‎＝cos x＋sin x＝2 ‎＝2sin，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，‎ ‎∴g(x)＝f＝2sin[＋]‎ ‎＝2sin.‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈，‎ ‎∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.‎ 当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.‎ ‎14．设函数f(x)＝cos＋sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．‎ 解　(1)f(x)＝cos＋sin2x ‎＝＋ ‎＝－sin 2x，‎ 故f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故 ‎①当x∈时，x＋∈.‎ 由于对任意x∈R，g＝g(x)，‎ 从而g(x)＝g＝sin ‎＝sin(π＋2x)＝－sin 2x.‎ ‎②当x∈时，x＋π∈.‎ 从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x.‎ 综合①、②得g(x)在[－π，0]上的解析式为 g(x)＝