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- 2021-06-16 发布
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§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
(15 分钟 30 分)
1.cos 24°cos 54°+sin 24°sin 54°的值是( )
A.0 B. C. D.-
【解析】选 C.原式=cos(24°-54°)=cos(-30°)= .
2.cos 24°cos 36°-cos 66°cos 54°的值是( )
A.0 B. C. D.-
【解析】选 B.原式=cos 24°cos 36°-sin 24°sin
36°=cos(24°+36°)=
cos 60°= .
3.设α,β,γ∈ ,且 sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos
α,则β-α等于________.
【解析】由条件知 sin β-sin α=sin γ,①
cos β-cos α=-cos γ,②
由①2+②2 得 2-2(sin βsin α+cos αcos β)=1.
所以 cos(β-α)= ,又由①知 sin β>sin α,
所以β>α,β-α∈ .所以β-α= .
答案:
4.计算: =________.
【解析】 =
= = .
答案:
5.已知 sin αcos α= ,0<α< ,求 cos 的值.
【解析】因为 cos
= =cos α+sin α,
所以 =(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2×
= .
因为 0<α< ,
所以- <-α<0,- < -α< ,
所以 cos >0.所以 cos = .
(20 分钟 40 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 15 分)
1.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值为( )
A. B.- C. D.-
【解析】选 A.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°
=cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45°= .
【误区警示】此类问题易对公式结构特征把握不清而致错.
2. (cos 75°+sin 75°)的值为( )
A. B.- C. D.-
【解析】选 C.原式=cos 45°cos 75°+sin 45°sin 75°
=cos(-30°)= .
3.若 sin x+ cos x=cos(x+φ),则φ的可能取值为( )
A.- B.- C. D.
【解析】选 A. sin x+ cos x
=cos xcos +sin xsin
=cos ,故φ的一个可能值为- .
【补偿训练】
计算 cos πcos π-sin πsin π的值应为( )
A. B. C. D.-
【解析】选 A.原式
=cos cos -sin ·sin =
cos cos -sin sin =cos =cos = .
二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的
得 0 分)
4.在△ABC 中,sin A= ,sin B= ,则 cos (A+B)的值可能为( )
A.- B. C.- D.
【解析】选 BC.因为在△ABC 中,sin A= > =sin B,所以 A>B,所以 B
一定为锐角,所以 cos A=± =± ,cos
B= = .
所以 cos(A+B)=cos Acos B-sin A sin B=± × - × =
或- .
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
5.cos 105°+sin 195°=________.
【解析】cos 105°+sin 195°=cos 105°+sin(90°+105°)=cos 105°
+cos 105°=2cos 105°=2cos(60°+45°)=2(cos 60°cos 45°-sin
60°sin 45°)
=2 = .
答案:
【补偿训练】
sin 15°+cos 15°=________.
【解析】sin 15°+cos 15°=cos 75°+cos 15°
=cos(45°+30°)+cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°+cos 45°cos 30°+sin 45°
sin 30°
=2cos 45°cos 30°= .
答案:
6.若 cos θ=- ,θ∈ ,则 sin
θ=________,cos =________.
【解析】因为 cos θ=- ,θ∈ ,所以 sin θ=- ,
所以 cos =cos θcos +sin θsin =- × + ×
=- .
答案:- -
四、解答题
7.(10 分)已知 sin θ= ,θ∈ ,求 cos 的值.
【解题指南】利用两角差的余弦公式展开 cos ,由 sin
θ= ,θ∈ ,可求出 cos θ的值再代入求解.
【解析】因为 sin θ= ,θ∈ ,所以 cos θ=- ,所以
cos =
cos θcos +sin θsin =- × + × = .
【补偿训练】
已知 cos = , ,求 cos α.
【解析】由于 0<α- < ,cos = ,
所以 sin = .
所以 cos α=cos
=cos cos -sin sin
= × - × = .
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