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  • 2021-06-16 发布

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(二)

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‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(二)‎ ‎17.已知数列的前项和为,且满足.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,记数列的前项和为.证明:.‎ ‎【解析】解:(1)当时,有,解得.‎ 当时,有,则,‎ 整理得:,数列是以为公比,以为首项的等比数列.‎ ‎,‎ 即数列的通项公式为:.……………………………6分 ‎(2)由(1)有,则 易知数列为递增数列,‎ ‎,即.………………………………………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 据统计,2017年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客590.23万人次,实现旅游收入48.67亿元,同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于40(单位:百万元),则称为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:‎ 分组 频数 ‎18‎ ‎49‎ ‎24‎ ‎5‎ ‎(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高.‎ ‎(2)若导游的奖金(单位:万元),与其一年内旅游总收入(单位:百万元)之间的关系为,求甲公司导游的年平均奖金;‎ ‎(3)从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中,随机的抽取人进行表彰,设来自乙公司的人数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】解:(1)由直方图知:,有,‎ 由频数分布表知:,有.‎ 甲公司的导游优秀率为:;‎ 乙公司的导游优秀率为:;‎ 由于,所以甲公司的影响度高.………………………4分 ‎(2)甲公司年旅游总收入的人数为人;‎ 年旅游总收入的人数为人;‎ 年旅游总收入的人数为人;‎ 故甲公司导游的年平均奖金(万元).……8分 ‎(3)由已知得,年旅游总收入在的人数为15人,其中甲公司10人,乙公司5人.故的可能取值为0,1,2,3易知:‎ ‎;;;.‎ 的分布列为:‎ 的数学期望为:.…………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面,点、分别为、中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)证明:取中点,连接,.‎ 在中,有,分别为、中点,,‎ 在矩形中,为中点,,,‎ 四边形是平行四边形,,‎ 而平面,平面,‎ 平面.……………………………6分 ‎(2)取中点,连接,设.‎ 四边形是矩形,,‎ 平面平面,平面平面=,平面,‎ 平面,又,,为中点,‎ ‎,,.‎ 故可建立空间直角坐标系,如图所示,则 ‎,,,,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 设是平面的一个法向量,则 ‎,即,‎ 不妨设,则.‎ 易知向量为平面的一个法向量.‎ ‎,‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知点为曲线上任意一点,、,直线,的斜率之积为.‎ ‎(1)求曲线的轨迹方程;‎ ‎(2)是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】解:(1)设点,,则,‎ 整理得:,‎ 故曲线的轨迹方程为:,‎ ‎.……………………………………5分 ‎(2)假设存在直线满足题意.‎ 显然当直线斜率不存在时,直线与椭圆不相交.‎ ①当直线的斜率时,设直线为:,‎ 联立,化简得:,‎ 由,解得,‎ 设点,,则 ‎,,‎ 取的中点,则,则,‎ 即,化简得,无实数解,故舍去.‎ ‎②当时,为椭圆的左右顶点,显然满足,此时直线的方程为.‎ 综上可知,存在直线满足题意,此时直线的方程为.……………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,(是常数).‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,函数有零点,求的取值范围.‎ ‎【解析】解:(1)由题意知:,则 ‎,.‎ ‎①当时,令,有;令,有.‎ 故函数在上单调递增,在上单调递减.‎ ②当时,令,有;令,有.‎ 故函数在上单调递增,在和上单调递减.‎ ③当时,令,有或;令,有.‎ 故函数在和上单调递增,在上单调递减.‎ 综上所述,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为,‎ 单调递减区间为和;‎ 当时,函数的单调递增区间为和,‎ 单调递减区间为;………………………………………………5分 ‎(2)①当时,由可得,有,故满足题意.‎ ‎②当时,若,即时,由(1)知函数在上递增,在上递减.‎ 而,令,有,,‎ 若,即时,由(1)知函数在上递增.而,令,解得,而,‎ 故.‎ ‎③当时,由(1)知函数在上递增,由,令,解得,而,故.‎ 综上所述,的取值范围是:.…………………12分.‎