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- 2021-06-16 发布
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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(二)
17.已知数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,记数列的前项和为.证明:.
【解析】解:(1)当时,有,解得.
当时,有,则,
整理得:,数列是以为公比,以为首项的等比数列.
,
即数列的通项公式为:.……………………………6分
(2)由(1)有,则
易知数列为递增数列,
,即.………………………………………12分
18.(本小题满分12分)
据统计,2017年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客590.23万人次,实现旅游收入48.67亿元,同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于40(单位:百万元),则称为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:
分组
频数
18
49
24
5
(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高.
(2)若导游的奖金(单位:万元),与其一年内旅游总收入(单位:百万元)之间的关系为,求甲公司导游的年平均奖金;
(3)从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中,随机的抽取人进行表彰,设来自乙公司的人数为,求的分布列及数学期望.
【解析】解:(1)由直方图知:,有,
由频数分布表知:,有.
甲公司的导游优秀率为:;
乙公司的导游优秀率为:;
由于,所以甲公司的影响度高.………………………4分
(2)甲公司年旅游总收入的人数为人;
年旅游总收入的人数为人;
年旅游总收入的人数为人;
故甲公司导游的年平均奖金(万元).……8分
(3)由已知得,年旅游总收入在的人数为15人,其中甲公司10人,乙公司5人.故的可能取值为0,1,2,3易知:
;;;.
的分布列为:
的数学期望为:.…………12分
19.(本小题满分12分)
在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面,点、分别为、中点.
(1)求证:平面;
(2)若,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【解析】(1)证明:取中点,连接,.
在中,有,分别为、中点,,
在矩形中,为中点,,,
四边形是平行四边形,,
而平面,平面,
平面.……………………………6分
(2)取中点,连接,设.
四边形是矩形,,
平面平面,平面平面=,平面,
平面,又,,为中点,
,,.
故可建立空间直角坐标系,如图所示,则
,,,,,
,,
,,
设是平面的一个法向量,则
,即,
不妨设,则.
易知向量为平面的一个法向量.
,
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………12分
20.(本小题满分12分)
已知点为曲线上任意一点,、,直线,的斜率之积为.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】解:(1)设点,,则,
整理得:,
故曲线的轨迹方程为:,
.……………………………………5分
(2)假设存在直线满足题意.
显然当直线斜率不存在时,直线与椭圆不相交.
①当直线的斜率时,设直线为:,
联立,化简得:,
由,解得,
设点,,则
,,
取的中点,则,则,
即,化简得,无实数解,故舍去.
②当时,为椭圆的左右顶点,显然满足,此时直线的方程为.
综上可知,存在直线满足题意,此时直线的方程为.……………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数,(是常数).
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,函数有零点,求的取值范围.
【解析】解:(1)由题意知:,则
,.
①当时,令,有;令,有.
故函数在上单调递增,在上单调递减.
②当时,令,有;令,有.
故函数在上单调递增,在和上单调递减.
③当时,令,有或;令,有.
故函数在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为,
单调递减区间为和;
当时,函数的单调递增区间为和,
单调递减区间为;………………………………………………5分
(2)①当时,由可得,有,故满足题意.
②当时,若,即时,由(1)知函数在上递增,在上递减.
而,令,有,,
若,即时,由(1)知函数在上递增.而,令,解得,而,
故.
③当时,由(1)知函数在上递增,由,令,解得,而,故.
综上所述,的取值范围是:.…………………12分.
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