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  • 2021-06-16 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第五章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

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‎[基础题组练]‎ ‎1.在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=(  )‎ A.-2   B.-4   ‎ C.-3   D.-1‎ 解析:选D.因为a-b=(3,1),所以a-(3,1)=b,则b=(-4,2).所以2a+b=(-2,6).又(2a+b)∥c,所以-6=6x,x=-1.故选D.‎ ‎2.(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为(  )‎ A. B.(-6,8)‎ C. D.(6,-8)‎ 解析:选D.因为向量b与向量a方向相反,所以可设b=λa=(-3λ,4λ),λ<0,则|b|===5|λ|=-5λ=10,所以λ=-2,所以b=(6,-8).故选D.‎ ‎3.已知向量,和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λ+μ等于(  )‎ A.2 B.-2‎ C.3 D.-3‎ 解析:选A.如图所示,建立平面直角坐标系,‎ 则=(1,0),=(2,-2),=(1,2).‎ 因为=λ+μ,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以解得所以λ+μ=2.故选A.‎ ‎4.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(m,3m-4),b=(1,2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(  )‎ A.(-∞,4)       B.(4,+∞)‎ C.(-∞,4)∪(4,+∞) D.(-∞,+∞)‎ 解析:选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb,由平面向量基本定理可知,向量a,b可作为该平面所有向量的一组基底,即向量a,b是不共线向量.又因为a=(m,3m-4),b=(1,2),则m×2-(3m-4)×1≠0,即m≠4,所以m的取值范围为(-∞,4)∪(4,+∞).‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内的点,且∠AOC=,|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ=(  )‎ A.2   B.   ‎ C.2   D.4 解析:选A.因为|OC|=2,∠AOC=,所以C(,),又因为=λ+μ,所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,λ+μ=2.‎ ‎6.(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB中,=,D为OB的中点,若=λ+μ,则λμ的值为________.‎ 解析:因为=,所以=(-),因为D为OB的中点,所以=,‎ 所以=+=-+(+)=-++(-)=-,所以λ=,μ=-,则λμ的值为-.‎ 答案:- ‎7.已知O为坐标原点,向量=(1,2),=(-2,-1),若2=,则||=________.‎ 解析:设P点坐标为(x,y),=-=(-2,-1)-(1,2)=(-3,-3),=(x-1,y ‎-2),由2=得,2(x-1,y-2)=(-3,-3),所以解得故||==.‎ 答案: ‎8.已知A(-3,0),B(0,),O为坐标原点,C在第二象限,且∠AOC=30°,=λ+,则实数λ的值为________.‎ 解析:由题意知=(-3,0),=(0,),‎ 则=(-3λ,),‎ 由∠AOC=30°知,以x轴的非负半轴为始边,OC为终边的一个角为150°,所以tan 150°=,‎ 即-=-,所以λ=1.‎ 答案:1‎ ‎9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.‎ ‎(1)求3a+b-3c;‎ ‎(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(3)求M,N的坐标及向量的坐标.‎ 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).‎ ‎(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)‎ ‎=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).‎ ‎(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),‎ 所以解得 ‎(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,‎ 所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).‎ 所以M(0,20).又因为=-=-2b,‎ 所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),‎ 所以N(9,2).所以=(9,-18).‎ ‎10.‎ 如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,=x+y,求x+y的值.‎ 解:不妨设⊙O的半径为1,以圆心O为坐标原点,以OB,OD为x,y轴的正方向,建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),D(0,1),C.‎ 所以=,‎ =.又=x+y,‎ 所以=x(-1,0)+y.‎ 所以解得 所以x+y=-=-.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知P=,Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.设a=(x,y),则所以集合P是直线x ‎=1上的点的集合.同理,集合Q是直线x+y=2上的点的集合,即P=,Q=,所以P∩Q=.故选A.‎ ‎2.(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:将一线段AB分为两线段AC,CB,合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项,即满足==,后人把这个数称为黄金分割数,把点C称为线段AB的黄金分割点,在△ABC中,若点P,Q为线段BC的两个黄金分割点,设x1+y1,=x2+y2,则+=(  )‎ A. B.2‎ C. D.+1‎ 解析:选C.由题意,‎ =+=+=+(-)‎ ‎=+=+,‎ 同理,=+=+=+(-)‎ ‎=+.‎ 所以x1=y2=,x2=y1=.‎ 所以+=+=.‎ ‎3.(创新型)若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.‎ 解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),‎ 即a=-2p+2q=(2,4),‎ 令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),‎ 所以即 所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).‎ 答案:(0,2)‎ ‎4.已知非零不共线向量,,若2=x+y,且=λ(λ∈R),则点P(x,y)的轨迹方程是________.‎ 解析:由=λ,得-=λ(-),‎ 即=(1+λ)-λ.‎ 又2=x+y,‎ 所以消去λ得x+y-2=0.‎ 答案:x+y-2=0‎ ‎5.(一题多解)‎ 如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),求m+n的值.‎ 解:法一:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),由tan α=7,α∈,得sin α=,cos α=,设C(xC,yC),B(xB,yB),则xC=||cos α=×=,yC=||sin α=×=,即C.又cos(α+45°)=×-×=-,sin (α+45°)=×+×=,则xB=||cos(α+45°)=-,yB=||sin (α+45°)=,即B,由=m +n ,可得 解得所以m+n=+=3.‎ 法二:由tan α=7,α∈,得sin α=,cos α=,则cos(α+45°)=×-×=-,·=1××=1,·=1××=,·=1×1×=-,由=m +n ,得·=m 2+n ·,即=m-n ①,同理可得·=m ·+n 2,‎ 即1=-m+n ②,联立①②,解得所以m+n=+=3.‎ ‎6.‎ 已知△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,AD为角平分线.‎ ‎(1)求AD的长度;‎ ‎(2)过点D作直线交AB,AC的延长线于不同两点E,F,且满足=x,=y,求+的值,并说明理由.‎ 解:(1)根据角平分线定理:==2,所以=,‎ 所以=+=+=+(-)=+,‎ 所以2=2+·+2=-+=,所以AD=.‎ ‎(2)因为=x,=y,所以=+=+,‎ 因为E,D,F三点共线,所以+=1,所以+=3.‎