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- 2021-06-16 发布
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[基础题组练]
1.在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=( )
A.-2 B.-4
C.-3 D.-1
解析:选D.因为a-b=(3,1),所以a-(3,1)=b,则b=(-4,2).所以2a+b=(-2,6).又(2a+b)∥c,所以-6=6x,x=-1.故选D.
2.(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为( )
A. B.(-6,8)
C. D.(6,-8)
解析:选D.因为向量b与向量a方向相反,所以可设b=λa=(-3λ,4λ),λ<0,则|b|===5|λ|=-5λ=10,所以λ=-2,所以b=(6,-8).故选D.
3.已知向量,和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λ+μ等于( )
A.2 B.-2
C.3 D.-3
解析:选A.如图所示,建立平面直角坐标系,
则=(1,0),=(2,-2),=(1,2).
因为=λ+μ,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以解得所以λ+μ=2.故选A.
4.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(m,3m-4),b=(1,2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是( )
A.(-∞,4) B.(4,+∞)
C.(-∞,4)∪(4,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb,由平面向量基本定理可知,向量a,b可作为该平面所有向量的一组基底,即向量a,b是不共线向量.又因为a=(m,3m-4),b=(1,2),则m×2-(3m-4)×1≠0,即m≠4,所以m的取值范围为(-∞,4)∪(4,+∞).
5.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内的点,且∠AOC=,|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ=( )
A.2 B.
C.2 D.4
解析:选A.因为|OC|=2,∠AOC=,所以C(,),又因为=λ+μ,所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,λ+μ=2.
6.(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB中,=,D为OB的中点,若=λ+μ,则λμ的值为________.
解析:因为=,所以=(-),因为D为OB的中点,所以=,
所以=+=-+(+)=-++(-)=-,所以λ=,μ=-,则λμ的值为-.
答案:-
7.已知O为坐标原点,向量=(1,2),=(-2,-1),若2=,则||=________.
解析:设P点坐标为(x,y),=-=(-2,-1)-(1,2)=(-3,-3),=(x-1,y
-2),由2=得,2(x-1,y-2)=(-3,-3),所以解得故||==.
答案:
8.已知A(-3,0),B(0,),O为坐标原点,C在第二象限,且∠AOC=30°,=λ+,则实数λ的值为________.
解析:由题意知=(-3,0),=(0,),
则=(-3λ,),
由∠AOC=30°知,以x轴的非负半轴为始边,OC为终边的一个角为150°,所以tan 150°=,
即-=-,所以λ=1.
答案:1
9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
所以解得
(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,
所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
所以M(0,20).又因为=-=-2b,
所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
所以N(9,2).所以=(9,-18).
10.
如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,=x+y,求x+y的值.
解:不妨设⊙O的半径为1,以圆心O为坐标原点,以OB,OD为x,y轴的正方向,建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),D(0,1),C.
所以=,
=.又=x+y,
所以=x(-1,0)+y.
所以解得
所以x+y=-=-.
[综合题组练]
1.已知P=,Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于( )
A. B.
C. D.
解析:选A.设a=(x,y),则所以集合P是直线x
=1上的点的集合.同理,集合Q是直线x+y=2上的点的集合,即P=,Q=,所以P∩Q=.故选A.
2.(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:将一线段AB分为两线段AC,CB,合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项,即满足==,后人把这个数称为黄金分割数,把点C称为线段AB的黄金分割点,在△ABC中,若点P,Q为线段BC的两个黄金分割点,设x1+y1,=x2+y2,则+=( )
A. B.2
C. D.+1
解析:选C.由题意,
=+=+=+(-)
=+=+,
同理,=+=+=+(-)
=+.
所以x1=y2=,x2=y1=.
所以+=+=.
3.(创新型)若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.
解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),
即a=-2p+2q=(2,4),
令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
所以即
所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).
答案:(0,2)
4.已知非零不共线向量,,若2=x+y,且=λ(λ∈R),则点P(x,y)的轨迹方程是________.
解析:由=λ,得-=λ(-),
即=(1+λ)-λ.
又2=x+y,
所以消去λ得x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
5.(一题多解)
如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),求m+n的值.
解:法一:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),由tan α=7,α∈,得sin α=,cos α=,设C(xC,yC),B(xB,yB),则xC=||cos α=×=,yC=||sin α=×=,即C.又cos(α+45°)=×-×=-,sin (α+45°)=×+×=,则xB=||cos(α+45°)=-,yB=||sin (α+45°)=,即B,由=m +n ,可得
解得所以m+n=+=3.
法二:由tan α=7,α∈,得sin α=,cos α=,则cos(α+45°)=×-×=-,·=1××=1,·=1××=,·=1×1×=-,由=m +n ,得·=m 2+n ·,即=m-n ①,同理可得·=m ·+n 2,
即1=-m+n ②,联立①②,解得所以m+n=+=3.
6.
已知△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,AD为角平分线.
(1)求AD的长度;
(2)过点D作直线交AB,AC的延长线于不同两点E,F,且满足=x,=y,求+的值,并说明理由.
解:(1)根据角平分线定理:==2,所以=,
所以=+=+=+(-)=+,
所以2=2+·+2=-+=,所以AD=.
(2)因为=x,=y,所以=+=+,
因为E,D,F三点共线,所以+=1,所以+=3.
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