北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第6节 10页

第四章 第六节 一、选择题 1．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3 2，则 AC＝( ) A．4 3 B．2 3 C． 3 D． 3 2 [答案] B [解析] 本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形，由正弦定理得：3 2 sin60° ＝ AC sin45° ， 即 AC＝2 3. 2．(2014·广东高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，则“a≤b” 是“sinA≤sinB”的( ) A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 [答案] A [解析] 本题考查三角形内角和，诱导公式及充要条件．由 a≤b 得 A≤B．当 B 为锐角 时，sinA≤sinB；当 B 为直角时，sinA≤sinB；当 B 为钝角时，π－B＝A＋C>A，此时π－B 为锐角，所以 sin(π－B)>sinA，即 sinB>sinA，综上：sinA≤sinB．反之亦成立，选 A． 3．△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C．若 B＝2A，a＝1，b＝ 3，则 c ＝( ) A．2 3 B．2 C． 2 D．1 [答案] B [解析] 本题考查正弦定理、二倍角公式等． 由正弦定理得 1 sinA ＝ 3 sinB ＝ 3 sin2A ＝ 3 2sinAcosA ， 即 2sinAcosA＝ 3sinA， 又 sinA>0，∴cosA＝ 3 2 ，A＝π 6 ，B＝π 3 ，C＝π 2 ， ∴c＝2. 4．(文)在△ABC 中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则 A 的取值范围是( ) A．(0，π 6] B．[π 6 ，π) C．(0，π 3] D．[π 3 ，π) [答案] C [解析] 本题主要考查正余弦定理， ∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC， ∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即 b2＋c2－a2≥bc， 由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a2 2bc ≥ bc 2bc ＝1 2 ， ∴0a，所以 B＝π 3 或2π 3 . (理)(2014·天津高考)在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，已知 b－c ＝1 4a,2sinB＝3sinC，则 cosA 的值为________． [答案] －1 4 [解析] ∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c， 又∵b－c＝1 4a， ∴b＝3 4a，c＝1 2a， ∴cosA＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 9 16a2＋1 4a2－a2 2×3 4a×1 2a ＝－1 4. 8．(文)在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，∠A＝π 3 ，则∠C 的大小为________． [答案] π 2 [解析] 本题考查已知两边及其一边的对角解三角形，由正弦定理得 a sinA ＝ b sinB ，即 3 sinπ 3 ＝ 3 sinB ， ∴sinB＝1 2 ，又∵a>b，∴A>B，∴B＝π 6. 又 A＋B＋C＝π，∴C＝π 2. (理)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若c b0，∴cosB<0.故 B 为钝角． ∴△ABC 为钝角三角形． 9．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两根，且 2cos(A＋B) ＝1，则 AB＝________. [答案] 10 [解析] 设 AB＝c， ∵ a＋b＝2 3， ab＝2， cosA＋B＝1 2 ， ∴cosC＝－1 2. 又∵cosC＝a2＋b2－c2 2ab ＝a＋b2－2ab－c2 2ab ＝8－c2 4 ＝－1 2 ， ∴c2＝10，∴c＝ 10，即 AB＝ 10. 三、解答题 10．在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C 和 C． [分析] 已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意 解的情况．或借助余弦定理，先求出边 c 后，再求出角 C 与角 A． [解析] 解法 1：∵B＝45°<90°，且 b90° ∴ 30°c，已知 BA→·BC→＝2，cosB＝1 3 ，b＝3，求： (1)a 和 c 的值； (2)cos(B－C)的值． [解析] (1)由BA→·BC→＝2 得 c·acosB＝2. 又 cosB＝1 3 ，所以 ac＝6. 由余弦定理得 a2＋c2＝b2＋2accosB． 又 b＝3，所以 a2＋c2＝9＋2×6×1 3 ＝13. 解 ac＝6， a2＋c2＝13， 得 a＝2，c＝3 或 a＝3，c＝2. 因为 a>c，所以 a＝3，c＝2. (2)在△ABC 中， sinB＝ 1－cos2B＝ 1－1 3 2＝2 2 3 . 由正弦定理，得 sinC＝c bsinB＝2 3 ×2 2 3 ＝4 2 9 . 因为 a＝b>c，所以 C 为锐角， 因此 cosC＝ 1－sin2C＝ 1－4 2 9 2＝7 9. 于是 cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝1 3·7 9 ＋2 2 3 ·4 2 9 ＝23 27.