高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4-5增长速度的比较课件新人教B版必修第二册 31页

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.5 　增长速度的比较 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 课程标准 学法解读 1. 能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度． 2 ．比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解 “ 对数增长 ”“ 直线上升 ”“ 指数爆炸 ” 等术语的现实含义 . 通过本节课的学习，使学生体会常见函数的增长速度，提升学生数学抽象、逻辑推理等素养． 必备知识 · 探新知 函数的平均变化率 知识点 一 函数值　 思考： 对于函数 f ( x ) ＝ x ＋ 1 ， g ( x ) ＝ 4 x － 3 ，当 Δ x 足够大时，对于 x ∈ R ， f ( x 0 ＋ Δ x ) ， g ( x 0 ＋ Δ x ) 的大小关系能确定吗？ 提示： 当 Δ x 足够大时， f ( x 0 ＋ Δ x ) ＜ g ( x 0 ＋ Δ x ) ． 三种常见函数模型的增长差异 知识点 二 　　函数 性质　　　 y ＝ a x ( a ＞ 1) y ＝ log a x ( a ＞ 1) y ＝ kx ( k ＞ 0) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上的增减性 __________ 增函数 __________ 图像的变化 随 x 的增大 逐渐变 “ 陡 ” 随 x 的增大 逐渐趋于稳定 随 x 的增大 匀速上升 增长速度 y ＝ a x 的增长快于 y ＝ kx 的增长， y ＝ kx 的增长快于 y ＝ log a x 的增长 增长后果 会存在一个 x 0 ，当 x ＞ x 0 时，有 a x ＞ kx ＞ log a x 增函数　 增函数　 思考： 指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？ 提示： 指数增长． 关键能力 · 攻重难 比较函数值增加的快慢 题型探究 题型 一 　　　　已知函数 y ＝ 4 x ，分别计算函数在区间 [1,2] 与 [3,4] 上的平均变化率，并说明，当自变量每增加 1 个单位时，函数值的变化规律． [ 分析 ] 　 按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律． 典例剖析 典例 1 规律方法：平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用 (1) 计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢． (2) 平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响． 1 ．已知函数 y ＝ x 2 － 2 x － 3 ． (1) 分别计算函数在区间 [1,2] 与 [3,4] 上的平均变化率，分析当自变量每增加 1 个单位时，函数值变化的规律； (2) 设 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x － 3. 记 A (1 ， f (1)) ， B (2 ， f (2)) ， C (3 ， f (3)) ， D (4 ， f (4)) ，比较直线 AB 的斜率与直线 CD 的斜率的大小关系． 对点训练 比较函数的平均变化率大小 题型 二 　　　　已知函数 f ( x ) ＝ 3 x ， g ( x ) ＝ 2 x ， h ( x ) ＝ log 3 x ，比较这三个函数在区间 [ a ， a ＋ 1]( a ＞ 1) 上的平均变化率的大小． [ 分析 ] 　 计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小． 典例剖析 典例 2 规律方法：不同函数平均变化率大小的比较 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小． 2 ．已知函数 f ( x ) ＝ 4 x ， g ( x ) ＝ 5 x ，分别计算这两个函数在区间 [2,3] 上的平均变化率，并比较它们的大小． 对点训练 函数增长速度的应用 题型 三 角度 1 　增长曲线的选择 　　　　高为 H ，满缸水量为 V 0 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 V ，则函数 V ＝ f ( h ) 的大致图像是 ( 　　 ) 典例剖析 典例 3 B 　 [ 解析 ] 　 当 h ＝ H 时，体积是 V ，排除 A ， C ， h 由 0 变到 H 的变化过程中， V 的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数模型，综合分析知选 B ． 典例 4 [ 分析 ] 　 (1) 根据两类函数图形的特征判断． (2) 由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小． [ 解析 ] 　 (1) C 1 对应的函数为 g ( x ) ＝ x 3 ， C 2 对应的函数为 f ( x ) ＝ 2 x ． (2) 因为 f (1) ＞ g (1) ， f (2) ＜ g (2) ， f (9) ＜ g (9) ， f (10) ＞ g (10) ， 所以 1 ＜ x 1 ＜ 2,9 ＜ x 2 ＜ 10 ，所以 x 1 ＜ 6 ＜ x 2, 2 020 ＞ x 2 ， 从图像上可以看出， 当 x 1 ＜ x ＜ x 2 时， f ( x ) ＜ g ( x ) ， 所以 f (6) ＜ g (6) ； 当 x ＞ x 2 时， f ( x ) ＞ g ( x ) ， 所以 f (2 020) ＞ g (2 020) ； 又因为 g (2 020) ＞ g (6) ， 所以 f (2 020) ＞ g (2 020) ＞ g (6) ＞ f (6) ． 3 ．函数 f ( x ) ＝ lg x ， g ( x ) ＝ 0.3 x － 1 的图像如图所示： (1) 试根据函数增长差异找出曲线 C 1 ， C 2 对应的函数； (2) 比较函数增长差异 ( 以两图像 交点为分界点，对 f ( x ) ， g ( x ) 的大小进行比较 ) ． 对点训练 [ 解析 ] 　 (1) C 1 对应的函数为 g ( x ) ＝ 0.3 x － 1 ， C 2 对应的函数为 f ( x ) ＝ lg x ． (2) 当 x ＜ x 1 时， g ( x ) ＞ f ( x ) ；当 x 1 ＜ x ＜ x 2 时， f ( x ) ＞ g ( x ) ；当 x ＞ x 2 时， g ( x ) ＞ f ( x ) ；当 x ＝ x 1 或 x ＝ x 2 时， f ( x ) ＝ g ( x ) ． 　　　　下列四种说法中，正确的是 ( 　　 ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．∀ x ＞ 0 ， x n ＞ log a x C ．∀ x ＞ 0 ， a x ＞ log a x D ．不一定存在 x 0 ，当 x ＞ x 0 时，总有 a x ＞ x n ＞ log a x 典例剖析 典例 5 易错警示 D 　 [ 辨析 ] 　 四类增长函数模型是有前提的：一次函数模型中要求 k ＞ 0 ，指数、对数函数模型要求底数 a ＞ 1 ，幂函数模型要求指数 n ＞ 0. 当一次函数模型中 k ＜ 0 ，指数、对数函数模型中底数 0 ＜ a ＜ 1 ，幂函数模型中 n ＜ 0 时，四类函数模型都是衰减的． [ 正解 ] 　 对于 A ，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较． 对于 B ， C ，当 0 ＜ a ＜ 1 时，显然不成立． 对于 D ，当 a ＞ 1 ， n ＞ 0 时，一定存在 x 0 ，使得当 x ＞ x 0 时，总有 a x ＞ x n ＞ log a x ，但若去掉限制条件 “ a ＞ 1 ， n ＞ 0 ” ，则结论不成立． 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能