2020年高考真题——数学（江苏卷） Word版含解析 14页

‎ ‎ ‎ ‎ ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ ‎ 数 学 ‎ 一、填空题 ‎1.已知集合，，则 .‎ 答案：‎ 解析：‎ 由集合，，∴.‎ ‎2. 已知是虚数单位，则复数的实部是________.‎ 答案：‎ 解析：‎ ‎，则实部为.‎ ‎3. 已知一组数据的平均数为，则的值是 .‎ 答案：‎ 解析：‎ 由可知.‎ ‎4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是 .‎ 答案：‎ 解析：‎ 总事件数为，满足条件的事情有，，，为共种，则点数和为的概率为.‎ ‎5. 右图是一个算法流程图，若输出值为，则输入的值是________.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 解析：‎ 由题可知当时得，则.‎ ‎6.在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 .‎ 答案：‎ 解析：‎ 由得渐近线方程为，又，‎ 则，，，得离心率.‎ ‎7. 已知是奇函数，当时，，则的值是 .‎ 答案：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解析：‎ 是奇函数，当时，，则.‎ ‎8. 已知，则的值是________.‎ 答案：‎ 解析：‎ 因为，由，解得.‎ ‎9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边 形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是 .‎ 答案：‎ 解析：‎ 记此六角螺帽毛坯的体积为，正六棱柱的体积为，内孔的体积为正六棱 柱的体积为，则， ‎ 所以. ‎ ‎10. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 .‎ 答案：‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，将函数的图象向右平移个单位长度得，则的对称轴为，，即，，时，，时，，所以平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是.‎ ‎11. 设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________.‎ 答案：‎ 解析：‎ 因为的前项和，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以，从而有.‎ ‎12. 已知，则的最小值是 .‎ 答案：‎ 解析：‎ ‎，故，‎ 当且仅当，即，时，取等号.所以.‎ ‎13. 在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 解析：‎ 由向量系数为常数，结合等和线性质可知，‎ 故，，故，故.‎ 在中，；在中，由正弦定理得，‎ 即.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________.‎ 答案：‎ 解析：‎ 如图，作所在直径，交于点，则：‎ ‎∵，，∴，为垂径.‎ 要使面积最大，则位于两侧，并设，‎ 计算可知，故，，‎ 故，令，‎ ‎，，‎ 记函数，‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，解得（舍去）‎ 显然，当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 结合在递减，故时最大，此时，故，即面积的最大值是.‎ ‎（注：实际上可设，利用直角可更快速计算得出该面积表达式）‎ 二、解答题 ‎15. 在三棱柱中，，平面，分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ 答案：‎ 见解析 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）因为分别是，的中点，所以，‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为平面，面，所以，‎ 又因为，，面，面，‎ 所以面，因为面，所以平面平面.‎ ‎16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在边上取一点，使得，求的值.‎ 答案：‎ 见解析 解析：‎ ‎（1）由余弦定理，得，‎ 因此，即，由正弦定理，得，因此.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以，因为，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，故.‎ ‎17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）.经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式.己知点到的距离为米.‎ ‎（1）求桥的长度；‎ ‎（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）.桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），‎ 问为多少米时，桥墩与的总造价最低？‎ 答案：‎ ‎（1）桥的长度为米；‎ ‎（2）为米时，桥墩与的总造价最低.‎ 解析：‎ ‎（1）过，分别作的垂线，垂足为，，则 ‎.‎ 令，得，所以，.‎ ‎（2）设，则，由得.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 总造价 ‎，因为，所以令，得或，‎ 所以当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以，当时，取最小值，造价最低.‎ ‎18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点 在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；‎ ‎（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标.‎ 答案：‎ 见解析 解析：‎ ‎（1）的周长.‎ ‎（2）由椭圆方程得，设点，则直线方程为，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令得，即，，‎ ‎，即的最小值为.‎ ‎（3）设到直线的距离为，到直线的距离为，‎ 若，则，即，‎ 由（1）可得直线方程为，即，所以，.‎ 由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，‎ 设平行于的直线为，与直线的距离为，‎ 所以，即或.‎ 当时，直线为，即，‎ 联立可得，即或，‎ 所以或.‎ 当时，直线为，即，‎ 联立可得，，所以无解.‎ 综上所述，点坐标为或.‎ ‎19. 已知关于的函数，与（，）在区间上恒有.‎ ‎（1）若，，，求的表达式；‎ ‎（2）若，，，，求的取值范围；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）若，，，，求证：.‎ 答案：‎ 见解析 解析：‎ ‎（1）由得.‎ 又，，所以，所以，函数的图像为过原点，斜率为的直线，所以.经检验：符合题意.‎ ‎（2），‎ 设，则，‎ ‎，所以当时，时.‎ 由，得 当时，在上递增，所以，所以.‎ 当时，，即，，.‎ 综上，.‎ ‎（3）因为，所以，‎ 所以函数的图像在处的切线为，‎ 可见直线为函数的图像在处的切线，又因为 由函数的图像可知，当在区间上恒成立时，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又由得，‎ 设方程的两根为，，则，，‎ ‎∴，‎ 令，则，由图像可知.‎ 设，则，‎ 所以当时，，单调递减，所以，‎ 故，即.‎ ‎20. 已知数列的首项，前项和为.设与是常数.若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.‎ ‎（1）若等差数列是“”数列，求的值；‎ ‎（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；‎ ‎（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 答案：‎ 见解析；‎ 解析：‎ ‎（1）时，，所以.‎ ‎（2）,，‎ 因此.‎ ‎，.从而.‎ 又，，，.‎ 综上，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，‎ 则，‎ 由，，则，令，‎ 则，‎ 时，，由可得，则，即，‎ 此时唯一，不存在三个不同的数列；‎ 时，令，则，则，‎ ‎①时，则同理不存在三个不同的数列；‎ ‎②时，，无解，则，同理不存在三个不同的数列；‎ ‎③时，，则，同理不存在三个不同的数列；‎ ‎④即时，，有两解，，设，，，则，则对任意，或或；‎ 此时，，均符合条件，‎ 对应，，，‎ 则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎