高中数学人教版选修1-2课时提升作业七2-2-2反证法精讲优练课型word版含答案 6页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 七 反 证 法 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列关于反证法的说法正确的有 ( ) ①反证法的应用需要逆向思维;②反证法是一种间接证法,否定结论时,一定要全面否定;③ 反证法推出的矛盾不能与已知矛盾;④使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种 情况时,论证一种即可. A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 【解析】选 A.容易判断①②正确;反证法推出的矛盾可以与已知条件矛盾,故③错误;当结论 的反面出现多种情况时,应对各种情况全部进行论证,故④错误. 2.(2014·山东高考)用反证法证明命题:“已知 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实 根”时,要做的假设是 ( ) A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为 0,1,2.因此至少有一个实根包含 1根或两根,它的反面为 0 个根. 【解析】选 A.“已知 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”的含义是方程有根, 故反面是“方程 x2+ax+b=0 没有实根.” 3.(2016·淄博高二检测)已知 a>b>0,用反证法证明 ≥ (n∈N * )时.假设的内容是 ( ) A. = 成立 B. ≤ 成立 C. < 成立 D. < 且 = 成立 【解析】选 C.因 a>b>0 时, , 恒有意义,且 ≥ 的反面是 < .故选 C. 4.(2016·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访 了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说: “是乙获奖”,四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】选 C.若甲获奖,则甲、乙、丙、丁的话都错误;同理可推知乙、丙、丁获奖情况,最 后获奖者应是丙. 5.(2016·济南高二检测)设实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A.0 B. C. D.1 【解析】选 B.三个数 a,b,c 的和为 1,其平均数为 ,故三个数中至少有一个大于或等于 .假 设 a,b,c 都小于 ,则 a+b+c<1,与已知矛盾.故 a,b,c 中至少有一个数不小于 . 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·大连高二检测)在△ABC 中,若 AB=AC,P 为△ABC 内一点.∠APB>∠APC.求证:∠BAP< ∠CAP.用反证法证明时,应分:假设________和________两类. 【解析】反证法中对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP 的反面是∠BAP=∠CAP 和∠BAP> ∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP 7.命题“关于 x的方程 ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________. 【解析】方程解的情况有:①无解;②唯一解;③两个或两个以上的解. 答案:无解或至少两解 8.完成反证法证题的全过程. 题目:设 a1,a2,…,a7是由数字 1,2,…,7 任意排成的一个数列,求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)… (a7-7)为偶数. 证明:假设 p 为奇数,则________均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=__________________ =__________________ =0. 但奇数≠偶数,这一矛盾说明 p 为偶数. 【解析】由假设 p 为奇数可知 a1-1,a2-2, … ,a7-7 均为奇数 ,故 (a1-1)+(a2-2)+ … +(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0 为奇数,这与 0为偶数矛盾. 答案:a1-1, a2-2,…,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2016·深圳高二检测)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c 均为整数,且 f(0),f(1)均为 奇数. 求证:f(x)=0 无整数根. 【证明】假设 f(x)=0 有整数根 n, 则 an2+bn+c=0, 由 f(0)为奇数,即 c为奇数, f(1)为奇数,即 a+b+c 为奇数,所以 a+b 为偶数, 又 an2+bn=-c 为奇数, 所以 n与 an+b 均为奇数,又 a+b 为偶数, 所以 an-a 为奇数,即(n-1)a 为奇数, 所以 n-1 为奇数,这与 n 为奇数矛盾. 所以 f(x)=0 无整数根. 【拓展延伸】适用反证法证明的题型 适用反证法证明的题型有: (1)一些基本命题、基本定理. (2)易导出与已知矛盾的命题. (3)“否定性”命题. (4)“唯一性”命题. (5)“必然性”命题. (6)“至多”“至少”类命题. (7)涉及“无限”结论的命题等. 10.(2016·威海高二检测)已知 f(x)=a x + (a>1). 证明:方程 f(x)=0 没有负数根. 【证明】假设 x0是方程 f(x)=0 的负数根. 则 x0<0 且 x0≠-1,且 =- , 因为 a>1,所以 0< <1,即 0<- <1, 解得 0,x2≠1,且 xn+1= ,证明对任意 正整数 n,都有 xn>xn+1”,其假设应为 ( ) A.对任意正整数 n,有 xn≤xn+1 B.存在正整数 n,使 xn>xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≤xn+1 D.存在正整数 n,使 xn≥xn-1且 xn≥xn+1 【解析】选 C.“任意正整数 n”的否定是“存在正整数 n”,“xn>xn+1”的否定是“xn≤xn+1”. 2.有以下结论: ①已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2; ②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可 假设方程有一根 x1的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是 ( ) A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 【解析】选 D.用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;② 的假设为“两根的绝对值不都小于 1”,故①假设错误.②假设正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016·福州高二检测)用反证法证明“若函数 f(x)=x2+px+q.则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中 至少有一个不小于 ”时,假设内容是____________. 【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 ”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)| 都小于 ”. 答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 4.(2016·郑州高二检测)设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④ a2+b2>2. 其中能推出“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是________(填序号). 【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证. 【解析】若a= ,b= ,则a+b=1,但a<1,b<1,故①不能推出.若a=b=1,则 a+b=2,故②不能推出. 若 a=-2,b=1,则 a2+b2>2,故④不能推出. 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1. 反证法:假设 a≤1 且 b≤1,则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾,因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个 大于 1. 答案:③ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2016·海淀高二检测)若 a,b,c∈R,且 a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c 中至少有一个大于 0. 【证明】假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0, 则 a+b+c≤0. 而 a+b+c= + + =x2+y2+z2-2x-2y-2z+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0, 这与 a+b+c≤0 矛盾. 所以 a,b,c 中至少有一个大于 0. 6.(2016·南昌高二检测)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ ,S3=9+3 . (1)求数列{an}的通项 an与前 n项的和 Sn. (2)设 bn= .求证:数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 S3=3a1+3d=9+3 ,又 a1=1+ ,解得 d=2, 所以 an=2n+ -1,Sn=n(n+ ). (2)由(1)得 bn= =n+ , 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列. 则 =bp·br,即(q+ )2=(p+ )·(r+ ), 即(q2-pr)+ (2q-p-r)=0, 所以 即 =pr,得(p-r) 2 =0, 得 p=r,与 p,q,r 互不相等矛盾. 所以数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列. 关闭 Word 文档返回原板块