高考数学专题复习教案： 基本不等式及其应用备考策略 4页

基本不等式及其应用备考策略 主标题：基本不等式及其应用备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：不等式，基本不等式及其应用，备考策略 难度：2‎ 重要程度：5‎ 内容：‎ 利用基本不等式求最值的条件是什么？‎ 思维规律解题 考点1　利用基本不等式证明不等式 ‎1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．‎ ‎2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．‎ 例1.设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：．‎ 证明：∵ ∴ ∴‎ ‎∴‎ 例2.正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.‎ 证明：∵ a+b+c=1‎ ‎∴ 1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b ‎∵ a>0，b>0，c>0‎ ‎∴ b+c≥2>0‎ a+c≥2>0‎ a+b≥2>0‎ 将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc 即(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 考点2　利用基本不等式求最值 ‎ (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．‎ ‎(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．‎ 例3.若，且，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，，故答案为A．‎ 例4.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知，，即，于是有，故，化简得，即实数的取值范围为；‎ 例5.已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值.‎ 解：x<，∴4x－5<0．‎ ‎∴y＝4x－5＋＋3＝－[（5－4x）＋]＋3‎ ‎≤－2＋3＝1，ymax＝1．‎ 考点3　基本不等式的实际应用 应用基本不等式解决实际问题的步骤是：‎ ‎(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；‎ ‎(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；‎ ‎(3)应用基本不等式求出函数的最值；‎ ‎(4)还原实际问题，作出解答．‎ 例5.如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.‎ ‎(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？‎ ‎(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.‎ ‎∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，‎ ‎∴S＝ (y>2)．‎ 由>32，得28，‎ ‎∴AN的长度应在(2，)或(8，＋∞)内．‎ ‎(2)当y>2时，S＝＝3(y－2＋＋4)≥3×(4＋4)＝24，‎ 当且仅当y－2＝，‎ 即y＝4时，等号成立，解得x＝6.‎ ‎∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.‎ 例6．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．‎ ‎ ‎ ‎(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；‎ ‎(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．‎ 解：（1)设污水处理池的宽为xm，则长为m 总造价为f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296＋12960≥1296×2＋12960＝38880元．当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38880元．‎ ‎(2)由限制条件知∴10≤x≤16.设g(x)＋x＋，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×＋12960＝38882(元)．∴当长为16m，宽为10m时，总造价最低，为38882元．‎