高考数学专题复习（精选精讲）练习5-抛物线习题精选精讲 13页

习题精选精讲 抛物线 ‎（1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.‎ ‎【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）‎ 相交 相切 相离 位置由P确定 ‎【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是 ‎.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，‎ 且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线，.故以 PF为直径的圆与y轴相切，选B.‎ ‎【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.‎ ‎（2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.‎ ‎【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：‎ ‎（1） （2）‎ ‎【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作 ‎，‎ ‎.两式相加即得：‎ ‎（2）当AB⊥x轴时，有 成立；‎ 当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：‎ ‎.化简得：‎ - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 ‎∵方程（1）之二根为x1，x2，∴.‎ ‎.‎ 故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.‎ ‎（3）切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.‎ ‎【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）‎ ‎【证明】对方程两边取导数：‎ ‎.由点斜式方程：‎ ‎ y0y=p（x+x0）‎ ‎（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 ‎ 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.‎ 例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ）‎ 显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.‎ ‎2.抛物线的通径长为2p；‎ ‎3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：‎ 以下再举一例 ‎【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点 ‎【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.‎ - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 ‎【证明】如图设焦点两端分别为，‎ 那么：‎ 设抛物线的准线交x轴于C，那么 ‎.‎ 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.‎ ‎● 通法 特法 妙法 ‎（1）解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.‎ ‎【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ）‎ A.3 B‎.4 C.3 D.4‎ ‎【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.‎ ‎【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：. 由 设方程（1）之两根为x1，x2，则.‎ 设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.‎ 从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：‎ ‎，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.‎ ‎（2）几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.‎ ‎【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.‎ ‎△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则 - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 且∠KFM=60°，∴.选C.‎ ‎【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的 面积用公式计算.‎ ‎ （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.‎ ‎（3）定义法——追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.‎ ‎【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线 的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.‎ 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c，离心率为e，作 ，令 ‎.∵点M在抛物线上，‎ ‎，‎ 这就是说：的实质是离心率e.‎ 其次，与离心率e有什么关系？注意到： ‎ ‎.‎ ‎ 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴选 A..‎ ‎（4）三角法——本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数 - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 ‎，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.‎ 因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.‎ ‎【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos‎2a为定值，并求此定值。‎ ‎【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.‎ ‎（Ⅱ）直线AB：‎ 代入（1），整理得：‎ 设方程（2）之二根为y1，y2，则.‎ 设AB中点为 AB的垂直平分线方程是：.‎ 令y=0，则 故 于是|FP|-|FP|cos‎2a‎=‎，故为定值.‎ ‎（5）消去法——合理减负的常用方法.‎ 避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.‎ ‎【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.‎ ‎【解析】假定在抛物线上存在这样的两点 ‎∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且 - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 ‎.‎ 设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：‎ AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：‎ ‎ ‎ ‎（6）探索法——奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.‎ ‎【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . ‎ ‎ 【解析】∵‎ 设OA上第k个分点为 第k个三角形的面积为：‎ ‎ .‎ 故这些三角形的面积之和的极限 抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。‎ 一、求轨迹（或方程）‎ 例1. 已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 解：由题意得：‎ 即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离 由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。‎ 故选C。‎ 二、求参数的值 例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求m的值。‎ 解：设抛物线方程为，准线方程：‎ ‎∵点M到焦点距离与到准线距离相等 - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 解得：‎ ‎∴抛物线方程为 把代入得：‎ 三、求角 例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则__________。‎ A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°‎ 图1‎ 解：如图1，由抛物线的定义知：‎ 则 由题意知：‎ 即 故选C。‎ 四、求三角形面积 例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，。求△OPQ的面积。‎ 解析：如图2，不妨设抛物线方程为，点、点 图2‎ 则由抛物线定义知：‎ 又，则 由得：‎ 即 又PQ为过焦点的弦，所以 - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 则 所以，‎ 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。‎ 五、求最值 例5. 设P是抛物线上的一个动点。‎ ‎（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；‎ ‎（2）若B（3，2），求的最小值。‎ 解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是 由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。‎ 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。‎ 显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。‎ 图3‎ ‎（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则 ‎，则有 即的最小值为4‎ 图4‎ 点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。‎ 六、证明 例6. 求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。‎ 证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H。‎ 图5‎ - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 由抛物线的定义有：‎ ‎∵ABDC是直角梯形 即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。‎ 抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。‎ 例1. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。‎ 图1‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求△MCB的面积。‎ 解：（1）设抛物线的解析式为 ‎，根据题意得 ‎，解得 ‎∴所求的抛物线的解析式为 ‎（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5‎ 令，则，‎ 解得 ‎∴B点坐标为（5，0），OB＝5‎ ‎∵，‎ ‎∴顶点M的坐标为（2，9）‎ 过点M作MN⊥AB于点N，‎ 则ON＝2，MN＝9‎ ‎∴‎ 例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。‎ - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 图2‎ ‎（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。‎ ‎（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。‎ 解：（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，‎ ‎∴OA＝OB＝6‎ ‎∵M是斜边OB的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴点A的坐标为（6，0）‎ 点M的坐标为（3，3）‎ ‎∵抛物线 ‎∴，解得 ‎∴解析式为，‎ 对称轴为 ‎（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。‎ ‎①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。‎ ‎②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。‎ 例3. 二次函数的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。‎ 图3‎ ‎（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。‎ ‎（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值。‎ 解：（1）由图象可知：；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则；‎ 当时，应有，则 当代入 得，即 所以，实数a的取值范围为。‎ ‎（2）此时函数，‎ - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 要使 ‎，‎ 可求得。‎ 例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。‎ 图4‎ ‎（1）求K的值；‎ ‎（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。‎ 解：（1）∵点A、B在一次函数的图象上，‎ ‎∴‎ 且 ‎∵四边形ABDC的面积为7‎ ‎∴‎ ‎∴。‎ ‎（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得 ‎（3）∵PD＝1×t＝t ‎∴OP＝4－t ‎∴‎ 即。‎ 抛物线 ‎1已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q：的右焦点F1重合，且点在椭圆Q上。（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。‎ 解：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为（1，0）‎ - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 ‎∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。∴ ① ‎ 又点在椭圆Q上， ∴即 ② ‎ 由①②，解得 ∴椭圆Q的方程为 ∴离心离 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（－1，0）∴直线l的方程为 设由方程组 消y整理，得 ∴ ‎ 又点F1到直线l的距离 ∴ ‎ ‎2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积 ‎ 解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0 由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4 点A到直线l的距离为d= ‎ ‎∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128 ‎ ‎∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8 ‎ 解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5 ‎ 由方程组,消去x,得y 2－4 y －4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，‎ ‎∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,‎ ‎∴S△=＝4=4‎ - 13 -‎ - 13 -‎ 习题精选精讲 ‎∴S△≤8,当且仅当即m=1时取等号 ‎ 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8‎ ‎3已知O为坐标原点，P()()为轴上一动点，过P作直线交抛物线于A、B两点，设S△AOB=，试问：为何值时，t取得最小值，并求出最小值。‎ ‎、解：交AB与轴不重叠时，设AB的方程为 合 消y可得：‎ 设A B 则， 交AB与x轴重叠时，上述结论仍然成立∴又∴≥当时 取“=”， 综上 当 ‎ - 13 -‎ - 13 -‎