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- 2021-06-16 发布
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函数的奇偶性与周期性
主标题:函数的奇偶性与周期性
副标题:为学生详细的分析函数的奇偶性与周期性的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词:函数,奇偶性,周期性
难度:3
重要程度:5
考点剖析:
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
命题方向:高考对本内容的考查主要有:①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值,尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题;②借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用,尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围,主要以解答题的形式考查;③求二次函数的解析式、值域与最值,考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用;④在函数与导数的解答题中,考查指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等.
规律总结:1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)⇔f(-x)±f(x)=0⇔=±1(f(x)≠0).
3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”).
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数.
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数.
(3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.