2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业：1-2 周练卷1 7页

周练卷(一) 一、选择题(每小题 5 分，共 35 分) 1．函数 f(x)＝5x2 在[2,6]内的平均变化率为( C ) A．10 B．20 C．40 D．60 解析：本题主要考查平均变化率的概念．平均变化率为f6－f2 6－2 ＝5×36－5×4 4 ＝40，故选 C. 2．一个物体的运动方程为 s(t)＝1－t，其中 s 的单位是米，t 的 单位是秒，那么物体在第 3 秒的瞬时速度是( B ) A．1 米/秒 B．－1 米/秒 C．2 米/秒 D．－2 米/秒 解析：本题考查运用导数的概念计算函数的导数． 由Δs Δt ＝[1－3＋Δt]－1－3 Δt ＝－Δt Δt ＝－1， 得 s′|t＝3＝lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (－1)＝－1，故选 B.,3.下列求导运算中 正确的是( B ),A. x＋1 x ′＝1＋1 x2 B．(lgx)′＝ 1 xln10 C．(lnx)′＝x D．(x2cosx)′＝－2xsinx 解析：本题考查基本初等函数的导数公式及导数的运算法 则. x＋1 x ′＝1－1 x2，故 A 错；(lnx)′＝1 x ，故 C 错；(x2cosx)′＝2xcosx －x2sinx，故 D 错．故选 B. 4．对于函数 f(x)＝ex x2＋lnx－2k x ，若 f′(1)＝1，则 k 等于( A ) A.e 2 B.e 3 C．－e 2 D．－e 3 解析：∵f′(x)＝exx－2 x3 ＋1 x ＋2k x2，∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解 得 k＝e 2 ，故选 A. 5．若直线 y＝1 2x＋b 与曲线 y＝－1 2x＋lnx 相切，则实数 b 的值为 ( B ) A．－2 B．－1 C．－1 2 D．1 解析：设切点为(x0，y0)，由 y＝－1 2x＋lnx，得 y′＝－1 2 ＋1 x ，所 以－1 2 ＋1 x0 ＝1 2 ，所以 x0＝1，y0＝－1 2 ，代入直线方程，得－1 2 ＝1 2 ＋b， 解得 b＝－1，故选 B. 6．已知函数 f(x)＝x＋12＋sinx x2＋1 ，其导函数记为 f′(x)，则 f(2 017) ＋f′(2 017)＋f(－2 017)－f′(－2 017)＝( A ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：由已知得 f(x)＝1＋2x＋sinx x2＋1 ，则 f′(x)＝2＋cosxx2＋1－2x＋sinx·2x x2＋12 ，显然为偶函数．令 g(x) ＝f(x)－1＝2x＋sinx x2＋1 ，显然 g(x)为奇函数，又 f′(x)为偶函数，所以 f′(2 017)－f′(－2 017)＝0，f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋1＋g(－2 017) ＋1＝2，所以 f(2 017)＋f′(2 017)＋f(－2 017)－f′(－2 017)＝2. 7．下列图象中，有一个是函数 f(x)＝1 3x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R， a≠0)的导函数 f′(x)的图象，则 f(－1)＝( B ) A.1 3 B．－1 3 C.7 3 D．－1 3 或5 3 解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数 f′(x)的图象开口 向上．又 a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于 y 轴对称，∴f′(x) 的图象必为第三个图．由图象特征，知 f′(0)＝0，∴a2－1＝0，且－ a>0，∴a＝－1，∴f(x)＝1 3x3－x2＋1，∴f(－1)＝－1 3 －1＋1＝－1 3. 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 8．已知函数 f(x)＝－x2 在点 P 处的切线的斜率为－2，则点 P 的 坐标为(1，－1)． 解析：f′(x0)＝－2x0＝－2，x0＝1，y0＝－1. ∴P 的坐标为(1，－1)． 9．如图，y＝f(x)是可导函数，若直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x) 在 x＝3 处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝ 0. 解析：∵直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，∴f(3) ＝1.∵点(3,1)在直线 l 上，∴3k＋2＝1，从而 k＝－1 3 ，∴f′(3)＝k＝ －1 3.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则 g′(3)＝f(3)＋3f′(3) ＝1＋3× －1 3 ＝0. 10．在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋b x(a，b 为常数) 过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行， 则 a＋b 的值是－3. 解析：本题主要考查导数的几何意义．由曲线 y＝ax2＋b x 过点 P(2， －5)可得－5＝4a＋b 2 (1)．又 y′＝2ax－b x2，所以在点 P 处的切线斜 率 4a－b 4 ＝－7 2 (2)．由(1)(2)解得 a＝－1，b＝－2，所以 a＋b＝－ 3. 11．已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝ f(x)在点(1,2)处的切线方程是 y＝2x. 解析：当 x>0 时，－x<0，则 f(－x)＝ex－1＋x.又 f(x)为偶函数，所 以 f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以当 x>0 时，f′(x)＝ex－1＋1，则曲线 y ＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为 f′(1)＝2，所以切线方程为 y－2＝ 2(x－1)，即 y＝2x. 三、解答题(共 45 分) 12．(15 分)求下列函数的导数： (1)y＝x x2＋1 x ＋1 x3 ； (2)y＝( x＋1) 1 x －1 ； (3)y＝x－sinx 2cosx 2 ； (4)y＝3lnx＋ax(a>0，且 a≠1)． 解：(1)∵y＝x x2＋1 x ＋1 x3 ＝x3＋1＋1 x2， ∴y′＝3x2－2 x3. (2)∵y＝( x＋1) 1 x －1 ＝ x· 1 x － x＋ 1 x －1 ＝－ x＋ 1 x ， ∴y′＝ － x＋ 1 x ′＝－ 1 2 x ＋ － 1 2 x x ＝－ 1 2 x 1＋1 x . (3)y′＝ x－sinx 2cosx 2 ′＝ x－1 2sinx ′＝1－1 2cosx. (4)y′＝(3lnx＋ax)′＝3 x ＋axlna(a>0，且 a≠1)． 13．(15 分)求满足下列条件的函数 f(x)的解析式． (1)f(x)是三次函数，且 f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2) ＝0； (2)f′(x)是一次函数，且∀x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. 解：(1)设 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由 f(0)＝3，得 d＝3. 由 f′(0)＝0，得 c＝0. 由 f′(1)＝－3，f′(2)＝0，可得 3a＋2b＝－3 12a＋4b＝0 ，解得 a＝1 b＝－3 . 所以 f(x)＝x3－3x2＋3. (2)由 f′(x)为一次函数，可知 f(x)是二次函数， 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 把 f(x)，f′(x)代入方程，得 x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0. 要使对∀x∈R 方程都成立，则需 a＝b，b＝2c，c＝1， 解得 a＝2，b＝2，c＝1， 所以 f(x)＝2x2＋2x＋1. 14．(15 分)已知函数 f(x)＝ ax x2＋b ，且 f(x)的图象在 x＝1 处与直线 y＝2 相切． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 P(x0，y0)为 f(x)图象上的任意一点，直线 l 与 f(x)的图象切 于 P 点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝ax2＋b－ax·2x x2＋b2 ＝ab－ax2 x2＋b2. ∵f(x)的图象在 x＝1 处与直线 y＝2 相切， ∴ f′1＝0 f1＝2 ，即 ab－a＝0 1＋b≠0 a 1＋b ＝2 ，∴a＝4，b＝1，∴f(x)＝ 4x x2＋1. (2)∵f′(x)＝ 4－4x2 x2＋12 ，∴直线 l 的斜率 k＝f′(x0)＝ 4－4x20 x20＋12 ＝4 2 x20＋12 － 1 x20＋1 ， 令 t＝ 1 x20＋1 ，则 t∈(0,1]， ∵k＝4(2t2－t)＝8 t－1 4 2－1 2 ，∴k∈ －1 2 ，4 ， 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 －1 2 ，4 .