2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：2-2 周练卷3 6页

周练卷(三) 一、选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分) 1．已知椭圆的方程为y2 9 ＋x2 16 ＝1，则此椭圆的长轴长为( D ) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：a2＝16，a＝4，∴2a＝8. 2．椭圆 25x2＋16y2＝1 的焦点坐标为( D ) A．(±3,0) B. ±1 3 ，0 C. ± 3 20 ，0 D. 0，± 3 20 3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆 的方程为( A ) A.x2 4 ＋y2 3 ＝1 B.x2 4 ＋y2＝1 C.y2 4 ＋x2 3 ＝1 D.y2 4 ＋x2＝1 4．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于1 2 ， 则 C 的方程是( D ) A.x2 3 ＋y2 4 ＝1 B.x2 4 ＋ y2 3 ＝1 C.x2 4 ＋y2 2 ＝1 D.x2 4 ＋y2 3 ＝1 5．椭圆x2 4 ＋y2＝1 的两个焦点分别为 F1，F2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为 P，则|PF2|等于( C ) A. 3 2 B. 3 C.7 2 D．4 解析：由题可知 F1 的坐标为( 3，0)，设 P 点坐标为(x0，y0)，∵ PF1 与 x 轴垂直，∴|x0|＝ 3.把|x0|＝ 3代入椭圆方程x2 4 ＋y2＝1，得 y20＝ 1 4.则|PF1|＝1 2 ，于是|PF2|＝4－|PF1|＝7 2. 6．如果 AB 是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的任意一条与 x 轴不垂直的 弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为 AB 的中点，则 kAB·kOM 的值为( C ) A．e－1 B．1－e C．e2－1 D．1－e2 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 又x21 a2＋y21 b2＝1， ① x22 a2＋y22 b2＝1， ② ①－②并整理可得y1－y2 x1－x2 ＝－b2 a2·x0 y0 ，即 kAB＝－b2 a2·x0 y0 ， 又 kOM＝y0 x0 ，所以 kAB·kOM＝－b2 a2， 又 e＝ 1－b2 a2，所以－b2 a2＝e2－1， 即 kAB·kOM＝e2－1.故选 C. 7．已知 F1，F2 分别是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 是 以 F1F2 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则 这个椭圆的离心率是( A ) A. 3－1 B．2－ 3 C. 3－1 2 D.2－ 3 2 解析：依题意知，∠F1PF2＝90°，又∠PF1F2＝2∠PF2F1， 所以∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°， 所以|PF1|＝c，|PF2|＝ 3c，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝( 3＋1)c，所以 e＝c a ＝ 2 3＋1 ＝ 3－1.故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 8．椭圆x2 m2＋y2 n2＝1(m>0，n>0)的一个焦点坐标是(2,0)，且椭圆的 离心率 e＝1 2 ，则椭圆的标准方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1. 解析：∵e＝1 2 ＝c a ，∴a＝2c＝4，∴a2＝16，b2＝12，a2 即 m2， b2 即 n2. 9．椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，短轴长为 4，则椭圆的 方程为x2 16 ＋y2 4 ＝1. 10．设 P 是椭圆x2 16 ＋y2 12 ＝1 上一点，点 P 到两焦点 F1，F2 的距 离之差为 2，则△PF1F2 的形状是直角三角形． 解析：由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8. 假设|PF1|>|PF2|，又|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝5，|PF2|＝3. 又|F1F2|＝2c＝2 16－12＝4， ∴△PF1F2 为直角三角形． 11．椭圆x2 5a ＋ y2 4a2＋1 ＝1 的焦点在 x 轴上，则它的离心率 e 的取 值范围为 0， 5 5 . 解析：由题意知 5a>4a2＋1，∴1 4b>0)的两焦点为 F1(0，－c)，F2(0， c)(c>0)，离心率 e＝ 3 2 ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2－ 3，求椭 圆的方程． 解：∵焦点到椭圆上点的最短距离为 2－ 3， ∴a－c＝2－ 3.① 又已知c a ＝ 3 2 ，② 由①②解得 a＝2，c＝ 3，∴b2＝a2－c2＝1. ∴椭圆的方程为y2 4 ＋x2＝1. 13．(15 分)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1，F2， 斜率为 k 的直线 l 过左焦点 F1 且与椭圆的交点为 A，B，与 y 轴的交 点为 C，且 B 为线段 CF1 的中点，若|k|≤ 14 2 ，求椭圆离心率 e 的取 值范围． 解：依题意 F1(－c,0)，则直线 l：y＝k(x＋c)，则 C(0，kc)． ∵点 B 为 CF1 的中点，∴B －c 2 ，kc 2 . 又已知点 B 在椭圆上，∴ －c 2 2 a2 ＋ kc 2 2 b2 ＝1， 即 c2 4a2＋ k2c2 4a2－c2 ＝1， ∴e2 4 ＋ k2e2 41－e2 ＝1，∴k2＝4－e21－e2 e2 . 由已知，|k|≤ 14 2 ，∴k2≤7 2 ，即4－e21－e2 e2 ≤7 2 ， ∴2e4－17e2＋8≤0.解得1 2 ≤e2≤8. 又 0b>0)，四点 P1(1,1)，P2(0,1)， P3 －1， 3 2 ，P4 1， 3 2 中恰有三点在椭圆 C 上． (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 解：(1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 P3， P4 两点． 又由 1 a2＋ 1 b2> 1 a2＋ 3 4b2知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上． 因此 1 b2＝1， 1 a2＋ 3 4b2＝1， 解得 a2＝4， b2＝1. 故 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|<2，可得 A，B 的坐标分 别为 t， 4－t2 2 ， t，－ 4－t2 2 . 则 k1＋k2＝ 4－t2－2 2t － 4－t2＋2 2t ＝－1，得 t＝2，不符合题设． 从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入x2 4 ＋y2＝1 得(4k2 ＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8km 4k2＋1 ，x1x2＝4m2－4 4k2＋1. 而 k1＋k2＝y1－1 x1 ＋y2－1 x2 ＝kx1＋m－1 x1 ＋kx2＋m－1 x2 ＝ 2kx1x2＋m－1x1＋x2 x1x2 . 由题设 k1＋k2＝－1， 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·4m2－4 4k2＋1 ＋(m－1)· －8km 4k2＋1 ＝0. 解得 k＝－m＋1 2 . 当且仅当 m>－1 时，Δ>0，于是 l：y＝－m＋1 2 x＋m， 即 y＋1＝－m＋1 2 (x－2)， 所以 l 过定点(2，－1)．