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- 2021-06-15 发布
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§2.2
函数的单调性与最值
基础知识
自主学习
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
基础知识 自主学习
(1)
单调函数的定义
1.
函数的单调性
知识梳理
增函数
减函数
定义
一般地,设函数
f
(
x
)
的定义域为
I
,如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,
x
2
当
x
1
<
x
2
时,都
有
,
那么就说函数
f
(
x
)
在区间
D
上是增函数
当
x
1
<
x
2
时,都
有
,
那么就说函数
f
(
x
)
在区间
D
上是减函数
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)
图象描述
自
左向右看图象
是
_______
自
左向右看图象
是
_______
上升的
下降的
(2)
单调区间的定义
如果函数
y
=
f
(
x
)
在区间
D
上
是
或
,
那么就说函数
y
=
f
(
x
)
在这一区间具有
(
严格的
)
单调性
,
叫做
y
=
f
(
x
)
的单调区间
.
增函数
减函数
区间
D
2.
函数的最值
前提
设函数
y
=
f
(
x
)
的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足
条件
(1)
对于任意的
x
∈
I
,都
有
;
(2)
存在
x
0
∈
I
,
使得
_______
(3)
对于任意的
x
∈
I
,都
有
;
(4)
存在
x
0
∈
I
,
使得
________
结论
M
为最大值
M
为最小值
f
(
x
)
≤
M
f
(
x
0
)
=
M
f
(
x
)
≥
M
f
(
x
0
)
=
M
函数单调性的常用结论
知识
拓展
(3)
在区间
D
上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数
.
(4)
函数
f
(
g
(
x
))
的单调性与函数
y
=
f
(
u
)
和
u
=
g
(
x
)
的单调性的关系是
“
同增异减
”.
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(1)
若定义在
R
上的函数
f
(
x
)
,有
f
(
-
1)<
f
(3)
,则函数
f
(
x
)
在
R
上为增函数
.(
)
(2)
函数
y
=
f
(
x
)
在
[1
,+
∞
)
上是
增函数
,
则
函数的单调递增区间是
[
1
,
+
∞
).(
)
(3)
函数
y
=
的
单调递减区间是
(
-
∞
,
0)
∪
(0
,+
∞
).(
)
(4)
所有的单调函数都有最值
.(
)
(5)
如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数
.(
)
(6)
闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到
.(
)
思考辨析
×
×
×
×
×
√
1.(2016·
北京
)
下列函数中,在区间
(
-
1,1)
上为减函数的
是
A.
y
=
B.
y
=
cos
x
C.
y
=
ln(
x
+
1)
D.
y
=
2
-
x
考点自测
答案
解析
y
=
与
y
=
ln(
x
+
1)
在区间
(
-
1,1)
上为增函数;
y
=
cos
x
在区间
(
-
1,1)
上不是单调函数;
y
=
2
-
x
=
在
(
-
1,1)
上单调递减
.
2.
若函数
f
(
x
)
=
|2
x
+
a
|
的单调递增区间是
[3
,+
∞
)
,则
a
的值
为
A.
-
2
B.2 C
.
-
6
D.6
答案
解析
几何画板展示
3.(2016·
广州模拟
)
函数
y
=
x
2
+
2
x
-
3(
x
>0)
的单调增区间为
___________.
答案
解析
函数的对称轴为
x
=-
1
,
又
x
>0
,所以函数
f
(
x
)
的单调增区间为
(0
,+
∞
).
(0
,+
∞
)
4.(
教材改编
)
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
-
2
ax
-
3
在区间
[1,2]
上是增函数,则实数
a
的取值范围
为
_________.
答案
解析
(
-
∞
,
1]
函数
f
(
x
)
=
x
2
-
2
ax
-
3
的图象开口向上,对称轴为直线
x
=
a
,
画
出草图如图所示
.
由图象可知函数
f
(
x
)
的单调递增区间是
[
a
,+
∞
)
,
由
[
1,2]
⊆
[
a
,+
∞
)
,可得
a
≤
1
.
几何画板展示
5.(
教材改编
)
已知函数
f
(
x
)
=
,
x
∈
[
2,6
]
,则
f
(
x
)
的最大值为
____
,
最小值为
________.
答案
解析
2
题型分类 深度剖析
题型一 确定函数的单调性
(
区间
)
命题点
1
给出具体解析式的函数的
单调性
答案
解析
例
1
(1)
函数
的
单调递增区间
是
A.(0
,+
∞
)
B.(
-
∞
,
0)
C.(2
,+
∞
)
D
.(
-
∞
,-
2
)
因为
t
>0
在定义域上是减函数
,
所以求原函数的单调递增区间
,
即求函数
t
=
x
2
-
4
的单调递减区间,
结合函数的定义域,可知所求区间为
(
-
∞
,-
2
).
(2)
y
=-
x
2
+
2|
x
|
+
3
的
单调
递
增
区间为
________________.
答案
解析
由题意知,当
x
≥
0
时,
y
=-
x
2
+
2
x
+
3
=-
(
x
-
1)
2
+
4
;
当
x
<0
时,
y
=-
x
2
-
2
x
+
3
=-
(
x
+
1)
2
+
4
,
二次函数的图象如图
.
由图象可知
,
函数
y
=-
x
2
+
2|
x
|
+
3
在
(
-
∞
,-
1]
,
[0,1]
上是增函数
.
(
-
∞
,-
1]
,
[0,1]
例
2
已知函数
f
(
x
)
=
(
a
>0)
,用定义法判断函数
f
(
x
)
在
(
-
1,1)
上的
单调性
.
命题点
2
解析式含参数的函数的单调性
解答
设-
1<
x
1
<
x
2
<1
,
∵
-
1<
x
1
<
x
2
<1
,
又
∵
a
>0
,
∴
f
(
x
1
)
-
f
(
x
2
)>0
,
∴
函数
f
(
x
)
在
(
-
1,1)
上为减函数
.
几何画板展示
引申探究
如何用导数法求解例
2?
解答
∵
a
>0
,
∴
f
′
(
x
)<0
在
(
-
1,1)
上恒成立,
故函数
f
(
x
)
在
(
-
1,1)
上为减函数
.
思维
升华
确定函数单调性的方法
:
(
1)
定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法
;
(
2)
复合函数法,复合函数单调性的规律是
“
同增异减
”
;
(
3)
图象法,图象不连续的单调区间不能用
“∪”
连接
.
跟踪训练
1
(1)
已知函数
f
(
x
)
=
,
则该函数的单调递增区间
为
A.(
-
∞
,
1]
B
.[3
,+
∞
)
C.(
-
∞
,-
1]
D
.[1
,+
∞
)
答案
解析
设
t
=
x
2
-
2
x
-
3
,则
t
≥
0
,即
x
2
-
2
x
-
3
≥
0
,解得
x
≤
-
1
或
x
≥
3.
所以函数的定义域为
(
-
∞
,-
1]
∪
[3
,+
∞
).
因为函数
t
=
x
2
-
2
x
-
3
的图象的对称轴为
x
=
1
,
所以函数
t
在
(
-
∞
,-
1]
上单调递减,
在
[3
,+
∞
)
上单调递增
.
所以函数
f
(
x
)
的单调递增区间为
[3
,+
∞
).
(2)
已知函数
f
(
x
)
=
ln
x
+
mx
2
(
m
∈
R
)
,求函数
f
(
x
)
的单调区间
.
解答
(
导数法
)
依题意知
f
(
x
)
的定义域为
(0
,+
∞
).
当
m
≥
0
时,
f
′
(
x
)>0
,
f
(
x
)
在
(0
,+
∞
)
上单调递增
.
题型二 函数的最值
例
3
(1)
函数
f
(
x
)
=
的
最大值为
________.
答案
解析
当
x
≥
1
时,函数
f
(
x
)
=
为
减函数,
所以
f
(
x
)
在
x
=
1
处取得最大值,为
f
(1)
=
1
;
当
x
<1
时,易知函数
f
(
x
)
=-
x
2
+
2
在
x
=
0
处取得最大值,为
f
(0)
=
2.
故函数
f
(
x
)
的最大值为
2.
2
解
答
即
f
(
x
)
在
[1
,+
∞
)
上是增函数,
几何画板展示
②
若对任意
x
∈
[1
,+
∞
)
,
f
(
x
)>0
恒成立,试求实数
a
的取值范围
.
解
答
(
ⅰ
)
当
a
≤
0
时,
f
(
x
)
在
[1
,+
∞
)
内为增函数
.
最小值为
f
(1)
=
a
+
3.
要使
f
(
x
)>0
在
x
∈
[1
,+
∞
)
上恒成立,只需
a
+
3>0
,
所以-
3<
a
≤
0.
因为
x
∈
[1
,+
∞
)
,所以
f
′
(
x
)
≥
0
,即
f
(
x
)
在
[1
,+
∞
)
上为增函数,
所以
f
(
x
)
min
=
f
(1)
=
a
+
3
,即
a
+
3>0
,
a
>
-
3
,所以
0<
a
≤
1.
综上所述,
f
(
x
)
在
[1
,+
∞
)
上恒大于零时,
a
的取值范围是
(
-
3,1].
思维
升华
求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)
单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值
.
(2)
图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值
.
(3)
基本不等式法:先对解析式变形,使之具备
“
一正二定三相等
”
的条件后用基本不等式求出最值
.
(4)
导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值
.
(5)
换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值
.
跟踪训练
2
(1)
函数
y
=
x
+
的
最小值为
________.
答案
解析
易知函数
y
=
x
+
在
[1
,+
∞
)
上为增函数,
∴
x
=
1
时,
y
min
=
1.(
本题也可用换元法求解
)
1
(2)
函数
f
(
x
)
=
(
x
>1)
的最小值为
________.
答案
解析
8
令
f
′
(
x
)
=
0
,得
x
=
4
或
x
=-
2(
舍去
).
当
1<
x
<4
时,
f
′
(
x
)<0
,
f
(
x
)
在
(1,4)
上是递减的;
当
x
>4
时,
f
′
(
x
)>0
,
f
(
x
)
在
(4
,+
∞
)
上是递增的,
所以
f
(
x
)
在
x
=
4
处取到极小值也是最小值
,即
f
(
x
)
min
=
f
(4)
=
8.
题型三 函数单调性的应用
命题点
1
比较大小
例
4
已知函数
f
(
x
)
的图象向左平移
1
个单位后关于
y
轴对称,当
x
2
>
x
1
>1
时,
[
f
(
x
2
)
-
f
(
x
1
)
]
·(
x
2
-
x
1
)<0
恒成立,设
a
=
f
(
-
)
,
b
=
f
(2)
,
c
=
f
(3)
,则
a
,
b
,
c
的大小关系
为
A.
c
>
a
>
b
B.
c
>
b
>
a
C.
a
>
c
>
b
D.
b
>
a
>
c
答案
解析
根据已知可得函数
f
(
x
)
的图象关于直线
x
=
1
对称
,
且
在
(1
,+
∞
)
上是减函数,
命题点
2
解函数不等式
例
5
(
2017·
珠海
月考
)
定义在
R
上的奇函数
y
=
f
(
x
)
在
(0
,+
∞
)
上递增,且
f
( )
=
0
,则
满足
的
x
的集合为
________________.
由
得
或
答案
解析
命题
点
3
求参数
范围
例
6
(1)
如果函数
f
(
x
)
=
ax
2
+
2
x
-
3
在区间
(
-
∞
,
4)
上是单调递增的,则实数
a
的取值范围
是
答案
解析
几何画板展示
当
a
=
0
时,
f
(
x
)
=
2
x
-
3
,在定义域
R
上是单调递增的
,
故
在
(
-
∞
,
4)
上单调递增;
当
a
≠
0
时,二次函数
f
(
x
)
的对称轴为
x
=-
,
因为
f
(
x
)
在
(
-
∞
,
4)
上单调递增,
答案
解析
由已知条件得
f
(
x
)
为增函数,
几何画板展示
思维
升华
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)
比较大小
.
比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决
.
(2)
解不等式
.
在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将
“
f
”
符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解
.
此时应特别注意函数的定义域
.
(3)
利用单调性求参数
.
①
视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
②
需注意若函数在区间
[
a
,
b
]
上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
③
分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值
.
跟踪训练
3
(1)(2016·
太原模拟
)
已知函数
f
(
x
)
=
x
(e
x
-
)
,若
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
,
则
答案
解析
A.
x
1
>
x
2
B.
x
1
+
x
2
=
0
C.
x
1
<
x
2
D.
f
(
-
x
)
=-
x
(
-
e
x
)
=
f
(
x
)
,
∴
f
(
x
)
在
R
上为偶函数,
∴
x
>0
时,
f
′
(
x
)>0
,
∴
f
(
x
)
在
[0
,+
∞
)
上为增函数,
由
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
,得
f
(|
x
1
|)<
f
(|
x
2
|)
,
∴
|
x
1
|<|
x
2
|
,
(2)(2016·
西安模拟
)
要使函数
y
=
与
y
=
log
3
(
x
-
2)
在
(3
,+
∞
)
上具有相同的单调性,则实数
k
的取值范围是
_____
___
___.
答案
解析
(
-
∞
,-
4)
由于
y
=
log
3
(
x
-
2)
的定义域为
(2
,+
∞
)
,且为增函数,
故函数
y
=
log
3
(
x
-
2)
在
(3
,+
∞
)
上是增函数
.
因
其
在
(3
,+
∞
)
上是增函数,故
4
+
k
<0
,得
k
<
-
4.
典例
(12
分
)
函数
f
(
x
)
对任意的
m
、
n
∈
R
,都有
f
(
m
+
n
)
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
-
1
,并且
x
>0
时,恒有
f
(
x
)>1.
(1)
求证:
f
(
x
)
在
R
上是增函数;
(2)
若
f
(3)
=
4
,解不等式
f
(
a
2
+
a
-
5)<2.
解
抽象函数不等式
答题
模板
系列
1
(1)
对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义
.
应该构造出
f
(
x
2
)
-
f
(
x
1
)
并与
0
比较大小
.
(2)
将函数不等式中的抽象函数符号
“
f
”
运用单调性
“
去掉
”
是本题的切入点
.
要构造出
f
(
M
)<
f
(
N
)
的形式
.
思维
点拨
规范解答
答题模板
(
1)
证明
设
x
1
,
x
2
∈
R
且
x
1
<
x
2
,
则
x
2
-
x
1
>0
,
∵
当
x
>0
时,
f
(
x
)>1
,
∴
f
(
x
2
-
x
1
)>1
.
[
2
分
]
f
(
x
2
)
=
f
[
(
x
2
-
x
1
)
+
x
1
]
=
f
(
x
2
-
x
1
)
+
f
(
x
1
)
-
1
,
[
4
分
]
∴
f
(
x
2
)
-
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
-
x
1
)
-
1>0
⇒
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
,
∴
f
(
x
)
在
R
上为增函数
.
[
6
分
]
(2)
解
∵
m
,
n
∈
R
,不妨设
m
=
n
=
1
,
∴
f
(1
+
1)
=
f
(1)
+
f
(1)
-
1
⇒
f
(2)
=
2
f
(1)
-
1
,
[
8
分
]
f
(3)
=
4
⇒
f
(2
+
1)
=
4
⇒
f
(2)
+
f
(1)
-
1
=
4
⇒
3
f
(1)
-
2
=
4
,
∴
f
(1)
=
2
,
∴
f
(
a
2
+
a
-
5)<2
=
f
(1)
,
[10
分
]
∵
f
(
x
)
在
R
上为增函数,
∴
a
2
+
a
-
5<1
⇒
-
3<
a
<2
,
即
a
∈
(
-
3,2
).
[
12
分
]
返回
解函数不等式问题的一般步骤:
第一步:
(
定性
)
确定函数
f
(
x
)
在给定区间上的单调性;
第二步:
(
转化
)
将函数不等式转化为
f
(
M
)<
f
(
N
)
的形式;
第三步:
(
去
f
)
运用函数的单调性
“
去掉
”
函数的抽象符号
“
f
”
,
转化
成
一般的不等式或不等式组;
第四步:
(
求解
)
解不等式或不等式组确定解集;
第五步:
(
反思
)
反思回顾
.
查看关键点,易错点及解题规范
.
返回
课时作业
1.(2016·
北京东城区模拟
)
下列函数中,在区间
(1
,+
∞
)
上是增函数的
是
A.
y
=-
x
+
1
B.
y
=
C.
y
=-
(
x
-
1)
2
D.
y
=
3
1
-
x
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
解析
A
中,函数在
(1
,+
∞
)
上为减函数,
C
中,函数在
(1
,+
∞
)
上为减函数,
D
中,函数在
(1
,+
∞
)
上为减函数
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2.
函数
f
(
x
)
=
|
x
-
2|
x
的单调减区间
是
A.
[1,2]
B
.
[
-
1,0]
C.(0,2]
D
.[2
,+
∞
)
√
答案
解析
当
x
≥
2
时,
f
(
x
)
为增函数,
当
x
<2
时,
(
-
∞
,
1]
是函数
f
(
x
)
的增区间;
[1,2]
是函数
f
(
x
)
的减区间
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.
已知函数
y
=
log
2
(
ax
-
1)
在
(1,2)
上单调递增,则实数
a
的取值范围
是
A.(0,1]
B.
[1,2]
C.[1
,+
∞
)
D
.[2
,+
∞
)
√
答案
解析
要使
y
=
log
2
(
ax
-
1)
在
(1,2)
上单调递增,
则
a
>0
且
a
-
1
≥
0
,
即
a
≥
1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.
已知
f
(
x
)
=
是
R
上的单调递增函数,则实数
a
的取值范围
是
A.(1
,+
∞
)
B
.[4,8)
C.(4,8)
D.(1,8)
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
*5.
函数
f
(
x
)
的定义域为
D
,若对于任意
x
1
,
x
2
∈
D
,当
x
1
<
x
2
时,都有
f
(
x
1
)
≤
f
(
x
2
)
,则称函数
f
(
x
)
在
D
上为非减函数,设函数
f
(
x
)
在
[0,1]
上为非减函数,且满足以下三个条件:
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由
③
,令
x
=
0
,可得
f
(1)
=
1
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.
定义新运算
:当
a
≥
b
时,
a
b
=
a
;当
a
<
b
时,
a
b
=
b
2
,则函数
f
(
x
)
=
(1
x
)
x
-
(2
x
)
,
x
∈
[
-
2,2]
的最大值
等于
A.
-
1
B.1 C.6 D.12
√
答案
解析
由已知得,当-
2
≤
x
≤
1
时,
f
(
x
)
=
x
-
2
,
当
1<
x
≤
2
时,
f
(
x
)
=
x
3
-
2.
∵
f
(
x
)
=
x
-
2
,
f
(
x
)
=
x
3
-
2
在定义域内都为增函数,
∴
f
(
x
)
的最大值为
f
(2)
=
2
3
-
2
=
6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7.
函数
f
(
x
)
=
-
log
2
(
x
+
2)
在区间
[
-
1,1
]
上的最大值为
_____.
答案
解析
3
由于
y
=
在
R
上递减,
y
=
log
2
(
x
+
2)
在
[
-
1
,
1
]
上递增,
所以
f
(
x
)
在
[
-
1,1
]
上单调递减,
故
f
(
x
)
在
[
-
1,1
]
上的最大值为
f
(
-
1)
=
3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8.
设
函数
g
(
x
)
=
x
2
f
(
x
-
1)
,则函数
g
(
x
)
的递减区间是
______.
[0,1)
答案
解析
函数的图象如图所示,其递减区间为
[0,1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.
若函数
f
(
x
)
=
|2
x
+
a
|
的单调递增区间是
[3
,+
∞
)
,则
a
=
________.
答案
解析
-
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
*10.(2016·
北京顺义区模拟
)
已知
f
(
x
)
=
不等式
f
(
x
+
a
)>
f
(2
a
-
x
)
在
[
a
,
a
+
1
]
上恒成立,则实数
a
的取值范围是
_____
___
___.
答案
解析
(
-
∞
,-
2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
二次函数
y
1
=
x
2
-
4
x
+
3
的对称轴是
x
=
2
,
∴
该函数在
(
-
∞
,
0]
上单调递减,
∴
x
2
-
4
x
+
3
≥
3
,同样可知函数
y
2
=-
x
2
-
2
x
+
3
在
(0
,+
∞
)
上单调递减,
∴
-
x
2
-
2
x
+
3<3
,
∴
f
(
x
)
在
R
上单调递减,
∴
由
f
(
x
+
a
)>
f
(2
a
-
x
)
得到
x
+
a
<2
a
-
x
,
即
2
x
<
a
,
∴
2
x
<
a
在
[
a
,
a
+
1
]
上恒成立,
∴
2(
a
+
1)<
a
,
∴
a
<
-
2
,
∴
实数
a
的取值范围是
(
-
∞
,-
2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(1)
求证:
f
(
x
)
在
(0
,+
∞
)
上是增函数;
证明
任取
x
1
>
x
2
>0
,
∵
x
1
>
x
2
>0
,
∴
x
1
-
x
2
>0
,
x
1
x
2
>0
,
∴
f
(
x
1
)
-
f
(
x
2
)>0
,即
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)
,
∴
f
(
x
)
在
(0
,+
∞
)
上是增函数
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.
函数
f
(
x
)
=
4
x
2
-
4
ax
+
a
2
-
2
a
+
2
在区间
[0,2]
上有最小值
3
,求
a
的值
.
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∴
f
(
x
)
min
=
f
(0)
=
a
2
-
2
a
+
2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
f
(
x
)
min
=
f
(2)
=
a
2
-
10
a
+
18.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
*13.
已知函数
f
(
x
)
=
lg(
x
+
-
2)
,其中
a
是大于
0
的常数
.
(1)
求函数
f
(
x
)
的定义域;
解答
当
a
>1
时,
x
2
-
2
x
+
a
>0
恒成立,
定义域为
(0
,+
∞
)
;
当
a
=
1
时,定义域为
{
x
|
x
>0
且
x
≠
1}
;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)
当
a
∈
(1,4)
时,求函数
f
(
x
)
在
[2
,+
∞
)
上的最小值;
解答
当
a
∈
(1,4)
,
x
∈
[2
,+
∞
)
时,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(3)
若对任意
x
∈
[2
,+
∞
)
恒有
f
(
x
)>0
,试确定
a
的取值范围
.
解答
对任意
x
∈
[2
,+
∞
)
恒有
f
(
x
)>0
,
即
x
+
-
2>1
对
x
∈
[2
,+
∞
)
恒成立
.
所以
a
>3
x
-
x
2
,
令
h
(
x
)
=
3
x
-
x
2
,
所以
h
(
x
)
max
=
h
(2)
=
2
,
所以
a
>2.
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