高科数学专题复习课件：第四章 4_6正弦定理、余弦定理 64页

§4.6 　 正弦定理、余弦定理 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 在 △ ABC 中，若角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， R 为 △ ABC 外接圆半径，则 1. 正弦定理、余弦定理 知识梳理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝ ＝ ＝ 2 R a 2 ＝ ； b 2 ＝ ； c 2 ＝ _______________ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C 变形 (1) a ＝ 2 R sin A ， b ＝ ， c ＝ ； ( 2)sin A ＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝ ； (3) a ∶ b ∶ c ＝ ； (4) a sin B ＝ b sin A ， b sin C ＝ c sin B ， a sin C ＝ c sin A cos A ＝ ； cos B ＝ ； cos C ＝ ____________ 2 R sin B 2 R sin C sin A ∶ sin B ∶ sin C 2. 在 △ ABC 中，已知 a 、 b 和 A 时，解的情况如下：   A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3. 三角形常用面积公式 (1) S ＝ a · h a ( h a 表示边 a 上的高 ) ； (2) S ＝ ab sin C ＝ ＝ ； (3) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形内切圆半径 ). ac sin B bc sin A 1. 三角形内角和 定理 在 △ ABC 中， A ＋ B ＋ C ＝ π ； 知识 拓展 2. 三角形中的三角函数关系 (1)sin( A ＋ B ) ＝ sin C ； (2)cos( A ＋ B ) ＝－ cos C ； 3. 三角形中的射影定理 在 △ ABC 中， a ＝ b cos C ＋ c cos B ； b ＝ a cos C ＋ c cos A ； c ＝ b cos A ＋ a cos B . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 .( 　　 ) (2) 在 △ ABC 中，若 sin A ＞ sin B ，则 A ＞ B .( 　　 ) (3) 在 △ ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素 .( 　　 ) (4) 当 b 2 ＋ c 2 － a 2 >0 时，三角形 ABC 为锐角三角形 .( 　　 ) ( 5) 在 △ ABC 中 ， .( 　　 ) (6) 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积 .( 　　 ) 思考辨析 × √ × × √ √ 1.(2016· 天津 ) 在 △ ABC 中，若 AB ＝ ， BC ＝ 3 ， C ＝ 120° ，则 AC 等于 A.1 B.2 C.3 D.4 考点自测 答案 解析 由余弦定理得 AB 2 ＝ AC 2 ＋ BC 2 － 2 AC · BC ·cos C ， 即 13 ＝ AC 2 ＋ 9 － 2 AC × 3 × cos 120° ， 化简得 AC 2 ＋ 3 AC － 4 ＝ 0 ，解得 AC ＝ 1 或 AC ＝－ 4( 舍去 ). 故选 A. 2.( 教材改编 ) 在 △ ABC 中， A ＝ 60° ， B ＝ 75° ， a ＝ 10 ，则 c 等于 答案 解析 由 A ＋ B ＋ C ＝ 180° ，知 C ＝ 45° ， 3. 在 △ ABC 中，若 sin B ·sin C ＝ cos 2 ， 且 sin 2 B ＋ sin 2 C ＝ sin 2 A ，则 △ ABC 是 A. 等边三角形 B . 直角三角形 C. 等腰三角形 D . 等腰直角三角形 答案 解析 ∴ 2sin B ·sin C ＝ 1 ＋ cos A ＝ 1 － cos( B ＋ C ) ， ∴ cos( B － C ) ＝ 1 ， ∵ B 、 C 为三角形的内角， ∴ B ＝ C ， 又 sin 2 B ＋ sin 2 C ＝ sin 2 A ， ∴ b 2 ＋ c 2 ＝ a 2 ， 综上， △ ABC 为等腰直角三角形 . 4.(2016· 辽宁五校联考 ) 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，若 b ＋ c ＝ 2 a, 3sin A ＝ 5sin B ，则角 C ＝ . 答案 解析 因为 3sin A ＝ 5sin B ，所以 由正弦定理可得 3 a ＝ 5 b . 令 a ＝ 5 ， b ＝ 3 ， c ＝ 7 ， 则由余弦定理 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ， 得 49 ＝ 25 ＋ 9 － 2 × 3 × 5cos C ， 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 答案 解析 1 ① 证明： sin A sin B ＝ sin C ； 证明 则 a ＝ k sin A ， b ＝ k sin B ， c ＝ k sin C ， sin A sin B ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ＝ sin( A ＋ B ). 在 △ ABC 中，由 A ＋ B ＋ C ＝ π ，有 sin( A ＋ B ) ＝ sin(π － C ) ＝ sin C . 所以 sin A sin B ＝ sin C . 解 答 由 (1) 知， sin A sin B ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ， 思维 升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (3) 已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解 . (4) 灵活利用式子的特点转化：如出现 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝ λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理 . 答案 解析 ( 边化角 ) (2) 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝ b ，且 sin( A － C ) ＝ 2cos A sin C ，则 b 等于 A.6 B.4 C.2 D.1 答案 解析 ( 角化边 ) 由题意，得 sin A cos C － cos A sin C ＝ 2cos A sin C ， 即 sin A cos C ＝ 3cos A sin C ， 由正弦、余弦定理，得 整理得 2( a 2 － c 2 ) ＝ b 2 ， ① 又 a 2 － c 2 ＝ b ， ② 联立 ①② 得 b ＝ 2 ，故选 C. 题型二　和三角形面积有关的问题 例 2 　 (2016· 浙江 ) 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 已知 b ＋ c ＝ 2 a cos B . (1) 证明： A ＝ 2 B ； 证明 由正弦定理得 sin B ＋ sin C ＝ 2sin A cos B ， 故 2sin A cos B ＝ sin B ＋ sin( A ＋ B ) ＝ sin B ＋ sin A cos B ＋ cos A sin B ， 于是 sin B ＝ sin( A － B ). 又 A ， B ∈ (0 ， π) ，故 0 ＜ A － B ＜ π ， 所以 B ＝ π － ( A － B ) 或 B ＝ A － B ， 因此 A ＝ π( 舍去 ) 或 A ＝ 2 B ，所以 A ＝ 2 B . 解答 由 sin B ≠ 0 ，得 sin C ＝ cos B . 思维 升华 (2) 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 . 跟踪训练 2 　在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c . 若 c 2 ＝ ( a － b ) 2 ＋ 6 ， C ＝ ， 则 △ ABC 的面积是 答案 解析 ∵ c 2 ＝ ( a － b ) 2 ＋ 6 ， ∴ c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab ＋ 6 . ① 由 ①② 得－ ab ＋ 6 ＝ 0 ，即 ab ＝ 6. 题型三　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点 1 　判断三角形的形状 例 3 　 (1) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 若 < cos A ，则 △ ABC 为 A. 钝角三角形 B . 直角三角形 C. 锐角三角形 D . 等边三角形 答案 解析 即 sin( A ＋ B )0 ，所以 cos B <0 ， 即 B 为钝角，所以 △ ABC 为钝角三角形 . (2) 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 b cos C ＋ c cos B ＝ a sin A ，则 △ ABC 的形状为 A. 锐角三角形 B . 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 不确定 答案 解析 由正弦定理得 sin B cos C ＋ sin C cos B ＝ sin 2 A ， ∴ sin( B ＋ C ) ＝ sin 2 A ， 即 sin(π － A ) ＝ sin 2 A ， sin A ＝ sin 2 A . ∵ A ∈ (0 ， π) ， ∴ sin A >0 ， ∴ sin A ＝ 1 ， 即 A ＝ ， ∴△ ABC 为直角三角形 . 引申探究 1. 例 3(2) 中，若将条件变为 2sin A cos B ＝ sin C ，判断 △ ABC 的形状 . 解答 ∵ 2sin A cos B ＝ sin C ＝ sin( A ＋ B ) ， ∴ 2sin A cos B ＝ sin A cos B ＋ cos B sin A ， ∴ sin( A － B ) ＝ 0 ， 又 A ， B 为 △ ABC 的内角 . ∴ A ＝ B ， ∴△ ABC 为等腰三角形 . 2. 例 3(2) 中，若将条件变为 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝ ab ，且 2cos A sin B ＝ sin C ，判断 △ ABC 的形状 . 解答 又由 2cos A sin B ＝ sin C 得 sin( B － A ) ＝ 0 ， ∴ A ＝ B ， 故 △ ABC 为等边三角形 . 命题点 2 　求解几何计算问题 解答 例 4 　 (2015· 课标全国 Ⅱ ) 如图，在 △ ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 ∠ BAC ， △ ABD 面积是 △ ADC 面积的 2 倍 . 因为 S △ ABD ＝ 2 S △ ADC ， ∠ BAD ＝ ∠ CAD ， 所以 AB ＝ 2 AC . (2) 若 AD ＝ 1 ， DC ＝ ， 求 BD 和 AC 的长 . 解答 在 △ ABD 和 △ ADC 中，由余弦定理，知 AB 2 ＝ AD 2 ＋ BD 2 － 2 AD · BD cos ∠ ADB ， AC 2 ＝ AD 2 ＋ DC 2 － 2 AD · DC cos ∠ ADC . 故 AB 2 ＋ 2 AC 2 ＝ 3 AD 2 ＋ BD 2 ＋ 2 DC 2 ＝ 6 ， 又由 (1) 知 AB ＝ 2 AC ，所以解得 AC ＝ 1. 思维 升华 (1) 判断三角形形状的方法 ① 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状 . ② 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝ π 这个结论 . (2) 求解几何计算问题要注意 ① 根据已知的边角画出图形并在图中标示； ② 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 . 跟踪训练 3 　 (1) 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边长分别是 a ， b ， c ，若 c － a cos B ＝ (2 a － b )cos A ，则 △ ABC 的形状为 A. 等腰三角形 B . 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D . 等腰或直角三角形 答案 解析 ∵ c － a cos B ＝ (2 a － b )cos A ， C ＝ π － ( A ＋ B ) ， ∴ 由正弦定理得 sin C － sin A cos B ＝ 2sin A cos A － sin B cos A ， ∴ sin A cos B ＋ cos A sin B － sin A cos B ＝ 2sin A cos A － sin B cos A ， ∴ cos A (sin B － sin A ) ＝ 0 ， ∴ cos A ＝ 0 或 sin B ＝ sin A ， ∴ A ＝ 或 B ＝ A 或 B ＝ π － A ( 舍去 ) ， ∴△ ABC 为等腰或直角三角形 . (2)(2015· 课标全国 Ⅰ ) 在平面四边形 ABCD 中， ∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ＝ 75° ， BC ＝ 2 ，则 AB 的取值范围是 . 答案 解析 如 图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E ， 过 点 C 作 CF ∥ AD 交 AB 于点 F ，则 BF < AB < BE . 在等腰三角形 CBF 中， ∠ FCB ＝ 30° ， CF ＝ BC ＝ 2 ， 在等腰三角形 ECB 中， ∠ CEB ＝ 30° ， ∠ ECB ＝ 75° ， 二审 结论会转换 审题路线图系列 (1) 求 cos A 的值； 规范解答 审题路线图 返回 返回 课时作业 A.135° B.105° C.45 ° D.75° 答案 解析 √ 又由题知， BC < AB ， ∴ A ＝ 45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 3.(2016· 西安模拟 ) 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 b cos C ＋ c cos B ＝ a sin A ，且 sin 2 B ＝ sin 2 C ，则 △ ABC 的形状为 A. 等腰三角形 B . 锐角三角形 C. 直角三角形 D . 等腰直角三角形 √ 答案 解析 由 b cos C ＋ c cos B ＝ a sin A ，得 sin B cos C ＋ sin C cos B ＝ sin 2 A ， ∴ sin( B ＋ C ) ＝ sin 2 A ， 即 sin A ＝ sin 2 A ，在三角形中 sin A ≠ 0 ， ∴ sin A ＝ 1 ， ∴ A ＝ 90° ， 由 sin 2 B ＝ sin 2 C ，知 b ＝ c ， 综上可知 △ ABC 为等腰直角三角形 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 在 △ ABC 中，已知 b ＝ 40 ， c ＝ 20 ， C ＝ 60° ，则此三角形的解的情况是 A. 有一解 B . 有两解 C. 无解 D . 有解但解的个数不确定 √ 答案 解析 ∴ 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 即 a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ ac ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 若 ( a 2 ＋ c 2 － b 2 )tan B ＝ ac ，则角 B 的值为 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 8 又 b － c ＝ 2 ， ∴ b 2 － 2 bc ＋ c 2 ＝ 4 ， b 2 ＋ c 2 ＝ 52 ， ∴ a ＝ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 a sin B ＝ b cos A . 若 a ＝ 4 ，则 △ ABC 周长的最大值为 . 答案 解析 12 由余弦定理得 a 2 ＝ 16 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A 则 ( b ＋ c ) 2 ≤ 64 ，即 b ＋ c ≤ 8( 当且仅当 b ＝ c ＝ 4 时等号成立 ) ， ∴△ ABC 周长＝ a ＋ b ＋ c ＝ 4 ＋ b ＋ c ≤ 12 ，即最大值为 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(2015· 湖南 ) 设 △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a ， b ， c ， a ＝ b tan A . (1) 证明： sin B ＝ cos A ； 证明 又 ∵ A ∈ (0 ， π) ， ∴ sin A ＞ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 sin C － sin A cos B ＝ ， 且 B 为钝角，求 A ， B ， C . 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.(2015· 陕西 ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 向量 m ＝ ( a ， ) 与 n ＝ (cos A ， sin B ) 平行 . (1) 求 A ； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 方法一 　由余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， 得 7 ＝ 4 ＋ c 2 － 2 c ，即 c 2 － 2 c － 3 ＝ 0 ， 因为 c ＞ 0 ，所以 c ＝ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求角 A 和角 B 的大小； 解答 即 sin B ＝ 1 ＋ cos C ，则 cos C ＜ 0 ，即 C 为钝角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求 △ ABC 的面积 . 解答 由 (1) 知， a ＝ b ， 解得 b ＝ 2 ，