高科数学专题复习课件：高考专题突破五 88页

高考专题突破 五 高考 中的圆锥曲线问题 考点自测 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 考点自测 1.(2015· 课标全国 Ⅱ ) 已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， △ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120° ，则 E 的离心率 为 答案 解析 如图，设双曲线 E 的方程 为 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) ，则 | AB | ＝ 2 a ，由双曲线的对称性，可设点 M ( x 1 ， y 1 ) 在 第一象限内，过 M 作 MN ⊥ x 轴于点 N ( x 1, 0) ， ∵△ ABM 为等腰三角形，且 ∠ ABM ＝ 120° ， ∴ | BM | ＝ | AB | ＝ 2 a ， ∠ MBN ＝ 60° ， ∴ y 1 ＝ | MN | ＝ | BM |sin ∠ MBN ＝ 2 a sin 60° ＝ a ， 2. 如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O ， F ( － 2 ， 0) 为 C 的左焦点， P 为 C 上一点，满足 | OP | ＝ | OF | ，且 | PF | ＝ 4 ，则椭圆 C 的方程为 答案 解析 由 | OP | ＝ | OF | ＝ | OF ′ | 知， ∠ FPF ′ ＝ 90° ，即 FP ⊥ PF ′ . 在 Rt △ PFF ′ 中，由勾股定理， 由椭圆定义，得 | PF | ＋ | PF ′ | ＝ 2 a ＝ 4 ＋ 8 ＝ 12 ， 3.(2017· 太原质 检 ) 已知 A ， B 分别为椭圆＋＝ 1( a > b >0) 的右顶点和上顶点，直线 y ＝ kx ( k >0) 与椭圆交于 C ， D 两点，若四边形 ACBD 的面积的最大值为 2 c 2 ，则椭圆的离心率为 答案 解析 设 C ( x 1 ， y 1 )( x 1 >0) ， D ( x 2 ， y 2 ) ， 即 2 c 4 ＝ a 2 b 2 ＝ a 2 ( a 2 － c 2 ) ＝ a 4 － a 2 c 2, 2 c 4 ＋ a 2 c 2 － a 4 ＝ 0,2 e 4 ＋ e 2 － 1 ＝ 0 ， 4.(2016· 北京 ) 双曲线 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA ， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2 ，则 a ＝ ________. 答案 解析 2 设 B 为双曲线的右焦点，如图所示 . ∵ 四边形 OABC 为正方形且边长为 2 ， 又 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ＝ 8 ， ∴ a ＝ 2. 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　求圆锥曲线的标准方程 例 1 　 已知椭圆 E ： ＝ 1( a > b >0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交 E 于 A 、 B 两点 . 若 AB 的中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则 E 的方程为 答案 解析 设 A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ， 联立直线与椭圆的方程得 ( a 2 ＋ b 2 ) x 2 － 6 b 2 x ＋ 9 b 2 － a 4 ＝ 0 ， 又因为 a 2 － b 2 ＝ 9 ，解得 b 2 ＝ 9 ， a 2 ＝ 18. 思维 升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程 . 跟踪训练 1 　 (2015· 天津 ) 已知 双曲线 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0 ) 的一个焦点为 F (2,0) ，且双曲线的渐近线与圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 3 相切，则双曲线的方程为 答案 解析 则 a 2 ＋ b 2 ＝ 4 ， ① 题型二　圆锥曲线的几何性质 例 2 　 (1)(2015· 湖南 ) 若 双曲线 ＝ 1 的一条渐近线经过点 (3 ，－ 4) ，则此双曲线的离心率为 答案 解析 即 3 b ＝ 4 a ， ∴ 9 b 2 ＝ 16 a 2 ， ∴ 9 c 2 － 9 a 2 ＝ 16 a 2 ， 答案 解析 思维 升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系 . 掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力 . 跟踪训练 2 　 已知 椭圆 ＝ 1( a > b >0) 与抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 有相同的焦点 F ， P ， Q 是椭圆与抛物线的交点，若 PQ 经过焦点 F ，则 椭圆 ＝ 1( a > b >0) 的离心率为 ________. 答案 解析 | PF | ＝ p ， | EF | ＝ p . 题型三　最值、范围问题 例 3 　 若直线 l ： y ＝ 过双曲线 ＝ 1( a >0 ， b >0) 的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行 . (1) 求双曲线的方程； 解 答 所以 a 2 ＝ 3 b 2 ，且 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ＝ 4 ， (2) 若过点 B (0 ， b ) 且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M ， N ， MN 的垂直平分线为 m ，求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围 . 解答 几何画板展示 由 (1) 知 B (0,1) ，依题意可设过点 B 的直线方程为 y ＝ kx ＋ 1( k ≠ 0) ， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ). 设 MN 的中点为 Q ( x 0 ， y 0 ) ， 故直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为 ( － ∞ ，－ 4) ∪ (4 ，＋ ∞ ). 思维 升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围 . 跟踪训练 3 　 如图，曲线 Γ 由两个椭圆 T 1 ： ＝ 1 ( a > b >0) 和椭圆 T 2 ： ＝ 1( b > c >0) 组成，当 a ， b ， c 成等比数列时，称曲线 Γ 为 “ 猫眼 ”. ∴ a ＝ 2 ， c ＝ 1 ， 解答 (2) 对于 (1) 中的 “ 猫眼曲线 ” Γ ，任作斜率为 k ( k ≠ 0) 且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆 T 1 所得弦的中点为 M ，交椭圆 T 2 所得弦的中点为 N ，求证 ： 为 与 k 无关的定值； 证明 几何画板展示 设斜率为 k 的直线交椭圆 T 1 于点 C ( x 1 ， y 1 ) ， D ( x 2 ， y 2 ) ， 线段 CD 的中点为 M ( x 0 ， y 0 ) ， ∵ k 存在且 k ≠ 0 ， ∴ x 1 ≠ x 2 且 x 0 ≠ 0 ， (3) 若斜率 为 的 直线 l 为椭圆 T 2 的切线，且交椭圆 T 1 于点 A ， B ， N 为椭圆 T 1 上的任意一点 ( 点 N 与点 A ， B 不重合 ) ，求 △ ABN 面积的最大值 . 解答 几何画板展示 由 Δ ＝ 0 化简得 m 2 ＝ b 2 ＋ 2 c 2 ， 由 Δ ＝ 0 得 m 2 ＝ b 2 ＋ 2 a 2 ， l 1 ， l 2 两平行线间距离 题型四　定值、定点问题 例 4 　 (2016· 全国乙卷 ) 设圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 15 ＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (1) 证明 | EA | ＋ | EB | 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； 解 答 因为 | AD | ＝ | AC | ， EB ∥ AC ，故 ∠ EBD ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ADC ， 所以 | EB | ＝ | ED | ，故 | EA | ＋ | EB | ＝ | EA | ＋ | ED | ＝ | AD |. 又圆 A 的标准方程为 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 ，从而 | AD | ＝ 4 ，所以 | EA | ＋ | EB | ＝ 4. 由题设得 A ( － 1,0) ， B (1,0) ， | AB | ＝ 2 ， 几何画板展示 (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M ， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 解答 几何画板展示 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1)( k ≠ 0) ， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ). 故四边形 MPNQ 的面积 当 l 与 x 轴垂直时 ，其 方程为 x ＝ 1 ， | MN | ＝ 3 ， | PQ | ＝ 8 ，四边形 MPNQ 的面积为 12. 思维 升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 . (2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 . 跟踪训练 4 　 (2016· 北京 ) 已知椭圆 C ： ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的离心率 为 ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ， O (0,0) ， △ OAB 的面积为 1. (1) 求椭圆 C 的方程； 解答 (2) 设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N . 求证： | AN |·| BM | 为定值 . 证明 几何画板展示 由 (1) 知， A (2,0) ， B (0,1). 当 x 0 ＝ 0 时， y 0 ＝－ 1 ， | BM | ＝ 2 ， | AN | ＝ 2 ， ∴ | AN |·| BM | ＝ 4. 故 | AN |·| BM | 为定值 . 题型五　探索性问题 例 5 　 (2015· 广东 ) 已知过原点的动直线 l 与圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0 相交于不同的两点 A ， B . (1) 求圆 C 1 的圆心坐标； 解 答 圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0 化为 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， ∴ 圆 C 1 的圆心坐标为 (3,0). (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； 解答 几何画板展示 设 M ( x ， y ) ， ∵ A ， B 为过原点的直线 l 与圆 C 1 的交点，且 M 为 AB 的中点， ∴ 由圆的性质知 MC 1 ⊥ MO ， ∴ 由向量的数量积公式得 x 2 － 3 x ＋ y 2 ＝ 0. 易知直线 l 的斜率存在， ∴ 设直线 l 的方程为 y ＝ mx ， 把相切时直线 l 的方程代入圆 C 1 的方程， 当直线 l 经过圆 C 1 的圆心时， M 的坐标为 (3,0). 又 ∵ 直线 l 与圆 C 1 交于 A ， B 两点， M 为 AB 的中点， (3) 是否存在实数 k ，使得直线 L ： y ＝ k ( x － 4) 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 . 解答 几何画板展示 由题意知直线 L 表示过定点 (4,0) ，斜率为 k 的直线，把直线 L 的方程代入轨迹 C 的方程 x 2 － 3 x ＋ y 2 ＝ 0 ， 其中 < x ≤ 3 ， 化 简得 ( k 2 ＋ 1) x 2 － (3 ＋ 8 k 2 ) x ＋ 16 k 2 ＝ 0 ， 其中 < x ≤ 3 ， 记 f ( x ) ＝ ( k 2 ＋ 1) x 2 － (3 ＋ 8 k 2 ) x ＋ 16 k 2 ， 其中 < x ≤ 3. 若直线 L 与曲线 C 只有一个交点，令 f ( x ) ＝ 0. 此时方程可化为 25 x 2 － 120 x ＋ 144 ＝ 0 ，即 (5 x － 12) 2 ＝ 0 ， 当 Δ >0 时 ， 思维 升华 (1) 探索性问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ，将不确定性问题明朗化 . 其步骤为假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在；否则，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . (2) 反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 . 跟踪训练 5 　 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点为 F ， A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D ，且有 | FA | ＝ | FD |. 当点 A 的横坐标为 3 时， △ ADF 为正三角形 . (1) 求 C 的方程； 解答 因为 | FA | ＝ | FD | ， 解得 t ＝ 3 ＋ p 或 t ＝－ 3( 舍去 ). 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ＝ 4 x . (2) 若直线 l 1 ∥ l ，且 l 1 和 C 有且只有一个公共点 E ， ① 证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标 . 证明 由 (1) 知 F (1,0). 设 A ( x 0 ， y 0 )( x 0 y 0 ≠ 0) ， D ( x D, 0)( x D >0). 因为 | FA | ＝ | FD | ，则 | x D － 1| ＝ x 0 ＋ 1 ， 由 x D >0 ，得 x D ＝ x 0 ＋ 2 ，故 D ( x 0 ＋ 2,0) ， 因为直线 l 1 和直线 AB 平行， 直线 AE 恒过点 F (1,0). 所以直线 AE 过定点 F (1,0). ②△ ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 . 解答 几何画板展示 由 ① 知直线 AE 过焦点 F (1,0) ， 所以 △ ABE 的面积的最小值为 16. 课时作业 (1) 求椭圆 E 的方程； 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件 . 故可设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 2) ＋ 1 ， 代入椭圆方程得 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 － 8 k (2 k － 1) x ＋ 16 k 2 － 16 k － 8 ＝ 0 ， 即 4 [ ( x 1 － 2)( x 2 － 2) ＋ ( y 1 － 1)( y 2 － 1) ] ＝ 5 ， 1 2 3 4 ∴ 4( x 1 － 2)( x 2 － 2)(1 ＋ k 2 ) ＝ 5 ， 即 4 [ x 1 x 2 － 2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 ] (1 ＋ k 2 ) ＝ 5 ， 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 (1) 求椭圆 E 的方程； 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 设 A ( x 1 ， y 1 ) ，则 B ( － x 1 ，－ y 1 ) ， 1 2 3 4 1 2 3 4 3.(2016· 北京顺义尖子生素质展示 ) 已知 椭圆 ＝ 1 的左顶点为 A ，右焦点为 F ，过点 F 的直线交椭圆于 B ， C 两点 . 解答 1 2 3 4 (1) 求该椭圆的离心率； (2) 设直线 AB 和 AC 分别与直线 x ＝ 4 交于点 M ， N ，问： x 轴上是否存在定点 P 使得 MP ⊥ NP ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 . 解答 1 2 3 4 依题意，直线 BC 的斜率不为 0 ， 设其方程为 x ＝ ty ＋ 1. 设 B ( x 1 ， y 1 ) ， C ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 3 4 假设 x 轴上存在定点 P ( p, 0) 使得 MP ⊥ NP ， 将 x 1 ＝ ty 1 ＋ 1 ， x 2 ＝ ty 2 ＋ 1 代入上式，整理得 1 2 3 4 即 ( p － 4) 2 － 9 ＝ 0 ，解得 p ＝ 1 或 p ＝ 7. 所以 x 轴上存在定点 P (1,0) 或 P (7,0) ， 使得 MP ⊥ NP . 1 2 3 4 *4. 已知 椭圆 ＝ 1( a > b >0) 的离心率 为 ， 且经过点 P (1 ， ) ，过它的左，右焦点 F 1 ， F 2 分别作直线 l 1 与 l 2 ， l 1 交椭圆于 A ， B 两点， l 2 交椭圆于 C ， D 两点，且 l 1 ⊥ l 2 （如图所示） . 1 2 3 4 (1) 求椭圆的标准方程； 解答 将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c 2 ＝ 1 ， (2) 求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围 . 解答 1 2 3 4 若 l 1 与 l 2 中有一条直线的斜率不存在， 则另一条直线的斜率为 0 ，此时四边形的面积 S ＝ 6. 若 l 1 与 l 2 的斜率都存在，设 l 1 的斜率为 k ， 则直线 l 1 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 1). 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 3 4 消去 y 并整理得 (4 k 2 ＋ 3) x 2 ＋ 8 k 2 x ＋ 4 k 2 － 12 ＝ 0 . ① 注意到方程 ① 的结构特征和图形的对称性， 1 2 3 4 令 k 2 ＝ t ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 1 2 3 4