• 5.97 MB
  • 2021-06-15 发布

高科数学专题复习课件:高考专题突破五

  • 88页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
高考专题突破 五 高考 中的圆锥曲线问题 考点自测 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 考点自测 1.(2015· 课标全国 Ⅱ ) 已知 A , B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上, △ ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率 为 答案 解析 如图,设双曲线 E 的方程 为 = 1( a > 0 , b > 0) ,则 | AB | = 2 a ,由双曲线的对称性,可设点 M ( x 1 , y 1 ) 在 第一象限内,过 M 作 MN ⊥ x 轴于点 N ( x 1, 0) , ∵△ ABM 为等腰三角形,且 ∠ ABM = 120° , ∴ | BM | = | AB | = 2 a , ∠ MBN = 60° , ∴ y 1 = | MN | = | BM |sin ∠ MBN = 2 a sin 60° = a , 2. 如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O , F ( - 2 , 0) 为 C 的左焦点, P 为 C 上一点,满足 | OP | = | OF | ,且 | PF | = 4 ,则椭圆 C 的方程为 答案 解析 由 | OP | = | OF | = | OF ′ | 知, ∠ FPF ′ = 90° ,即 FP ⊥ PF ′ . 在 Rt △ PFF ′ 中,由勾股定理, 由椭圆定义,得 | PF | + | PF ′ | = 2 a = 4 + 8 = 12 , 3.(2017· 太原质 检 ) 已知 A , B 分别为椭圆+= 1( a > b >0) 的右顶点和上顶点,直线 y = kx ( k >0) 与椭圆交于 C , D 两点,若四边形 ACBD 的面积的最大值为 2 c 2 ,则椭圆的离心率为 答案 解析 设 C ( x 1 , y 1 )( x 1 >0) , D ( x 2 , y 2 ) , 即 2 c 4 = a 2 b 2 = a 2 ( a 2 - c 2 ) = a 4 - a 2 c 2, 2 c 4 + a 2 c 2 - a 4 = 0,2 e 4 + e 2 - 1 = 0 , 4.(2016· 北京 ) 双曲线 = 1( a > 0 , b > 0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA , OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2 ,则 a = ________. 答案 解析 2 设 B 为双曲线的右焦点,如图所示 . ∵ 四边形 OABC 为正方形且边长为 2 , 又 a 2 + b 2 = c 2 = 8 , ∴ a = 2. 答案 解析 题型分类 深度剖析 题型一 求圆锥曲线的标准方程 例 1   已知椭圆 E : = 1( a > b >0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的直线交 E 于 A 、 B 两点 . 若 AB 的中点坐标为 (1 ,- 1) ,则 E 的方程为 答案 解析 设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) , 联立直线与椭圆的方程得 ( a 2 + b 2 ) x 2 - 6 b 2 x + 9 b 2 - a 4 = 0 , 又因为 a 2 - b 2 = 9 ,解得 b 2 = 9 , a 2 = 18. 思维 升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质,解得标准方程中的参数,从而求得方程 . 跟踪训练 1   (2015· 天津 ) 已知 双曲线 = 1( a > 0 , b > 0 ) 的一个焦点为 F (2,0) ,且双曲线的渐近线与圆 ( x - 2) 2 + y 2 = 3 相切,则双曲线的方程为 答案 解析 则 a 2 + b 2 = 4 , ① 题型二 圆锥曲线的几何性质 例 2   (1)(2015· 湖南 ) 若 双曲线 = 1 的一条渐近线经过点 (3 ,- 4) ,则此双曲线的离心率为 答案 解析 即 3 b = 4 a , ∴ 9 b 2 = 16 a 2 , ∴ 9 c 2 - 9 a 2 = 16 a 2 , 答案 解析 思维 升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线渐近线,是常考题型,解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义,及相关参数间的联系 . 掌握一些常用的结论及变形技巧,有助于提高运算能力 . 跟踪训练 2   已知 椭圆 = 1( a > b >0) 与抛物线 y 2 = 2 px ( p >0) 有相同的焦点 F , P , Q 是椭圆与抛物线的交点,若 PQ 经过焦点 F ,则 椭圆 = 1( a > b >0) 的离心率为 ________. 答案 解析 | PF | = p , | EF | = p . 题型三 最值、范围问题 例 3   若直线 l : y = 过双曲线 = 1( a >0 , b >0) 的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行 . (1) 求双曲线的方程; 解 答 所以 a 2 = 3 b 2 ,且 a 2 + b 2 = c 2 = 4 , (2) 若过点 B (0 , b ) 且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M , N , MN 的垂直平分线为 m ,求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围 . 解答 几何画板展示 由 (1) 知 B (0,1) ,依题意可设过点 B 的直线方程为 y = kx + 1( k ≠ 0) , M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ). 设 MN 的中点为 Q ( x 0 , y 0 ) , 故直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为 ( - ∞ ,- 4) ∪ (4 ,+ ∞ ). 思维 升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值与范围 . 跟踪训练 3   如图,曲线 Γ 由两个椭圆 T 1 : = 1 ( a > b >0) 和椭圆 T 2 : = 1( b > c >0) 组成,当 a , b , c 成等比数列时,称曲线 Γ 为 “ 猫眼 ”. ∴ a = 2 , c = 1 , 解答 (2) 对于 (1) 中的 “ 猫眼曲线 ” Γ ,任作斜率为 k ( k ≠ 0) 且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆 T 1 所得弦的中点为 M ,交椭圆 T 2 所得弦的中点为 N ,求证 : 为 与 k 无关的定值; 证明 几何画板展示 设斜率为 k 的直线交椭圆 T 1 于点 C ( x 1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) , 线段 CD 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) , ∵ k 存在且 k ≠ 0 , ∴ x 1 ≠ x 2 且 x 0 ≠ 0 , (3) 若斜率 为 的 直线 l 为椭圆 T 2 的切线,且交椭圆 T 1 于点 A , B , N 为椭圆 T 1 上的任意一点 ( 点 N 与点 A , B 不重合 ) ,求 △ ABN 面积的最大值 . 解答 几何画板展示 由 Δ = 0 化简得 m 2 = b 2 + 2 c 2 , 由 Δ = 0 得 m 2 = b 2 + 2 a 2 , l 1 , l 2 两平行线间距离 题型四 定值、定点问题 例 4   (2016· 全国乙卷 ) 设圆 x 2 + y 2 + 2 x - 15 = 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (1) 证明 | EA | + | EB | 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; 解 答 因为 | AD | = | AC | , EB ∥ AC ,故 ∠ EBD = ∠ ACD = ∠ ADC , 所以 | EB | = | ED | ,故 | EA | + | EB | = | EA | + | ED | = | AD |. 又圆 A 的标准方程为 ( x + 1) 2 + y 2 = 16 ,从而 | AD | = 4 ,所以 | EA | + | EB | = 4. 由题设得 A ( - 1,0) , B (1,0) , | AB | = 2 , 几何画板展示 (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ,直线 l 交 C 1 于 M , N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P , Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 解答 几何画板展示 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y = k ( x - 1)( k ≠ 0) , M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ). 故四边形 MPNQ 的面积 当 l 与 x 轴垂直时 ,其 方程为 x = 1 , | MN | = 3 , | PQ | = 8 ,四边形 MPNQ 的面积为 12. 思维 升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1) 从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关 . (2) 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值 . 跟踪训练 4   (2016· 北京 ) 已知椭圆 C : = 1( a > b > 0) 的离心率 为 , A ( a, 0) , B (0 , b ) , O (0,0) , △ OAB 的面积为 1. (1) 求椭圆 C 的方程; 解答 (2) 设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N . 求证: | AN |·| BM | 为定值 . 证明 几何画板展示 由 (1) 知, A (2,0) , B (0,1). 当 x 0 = 0 时, y 0 =- 1 , | BM | = 2 , | AN | = 2 , ∴ | AN |·| BM | = 4. 故 | AN |·| BM | 为定值 . 题型五 探索性问题 例 5   (2015· 广东 ) 已知过原点的动直线 l 与圆 C 1 : x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A , B . (1) 求圆 C 1 的圆心坐标; 解 答 圆 C 1 : x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 化为 ( x - 3) 2 + y 2 = 4 , ∴ 圆 C 1 的圆心坐标为 (3,0). (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; 解答 几何画板展示 设 M ( x , y ) , ∵ A , B 为过原点的直线 l 与圆 C 1 的交点,且 M 为 AB 的中点, ∴ 由圆的性质知 MC 1 ⊥ MO , ∴ 由向量的数量积公式得 x 2 - 3 x + y 2 = 0. 易知直线 l 的斜率存在, ∴ 设直线 l 的方程为 y = mx , 把相切时直线 l 的方程代入圆 C 1 的方程, 当直线 l 经过圆 C 1 的圆心时, M 的坐标为 (3,0). 又 ∵ 直线 l 与圆 C 1 交于 A , B 两点, M 为 AB 的中点, (3) 是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由 . 解答 几何画板展示 由题意知直线 L 表示过定点 (4,0) ,斜率为 k 的直线,把直线 L 的方程代入轨迹 C 的方程 x 2 - 3 x + y 2 = 0 , 其中 < x ≤ 3 , 化 简得 ( k 2 + 1) x 2 - (3 + 8 k 2 ) x + 16 k 2 = 0 , 其中 < x ≤ 3 , 记 f ( x ) = ( k 2 + 1) x 2 - (3 + 8 k 2 ) x + 16 k 2 , 其中 < x ≤ 3. 若直线 L 与曲线 C 只有一个交点,令 f ( x ) = 0. 此时方程可化为 25 x 2 - 120 x + 144 = 0 ,即 (5 x - 12) 2 = 0 , 当 Δ >0 时 , 思维 升华 (1) 探索性问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ,将不确定性问题明朗化 . 其步骤为假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在;否则,元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . (2) 反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 . 跟踪训练 5   已知抛物线 C : y 2 = 2 px ( p >0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 | FA | = | FD |. 当点 A 的横坐标为 3 时, △ ADF 为正三角形 . (1) 求 C 的方程; 解答 因为 | FA | = | FD | , 解得 t = 3 + p 或 t =- 3( 舍去 ). 所以抛物线 C 的方程为 y 2 = 4 x . (2) 若直线 l 1 ∥ l ,且 l 1 和 C 有且只有一个公共点 E , ① 证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标 . 证明 由 (1) 知 F (1,0). 设 A ( x 0 , y 0 )( x 0 y 0 ≠ 0) , D ( x D, 0)( x D >0). 因为 | FA | = | FD | ,则 | x D - 1| = x 0 + 1 , 由 x D >0 ,得 x D = x 0 + 2 ,故 D ( x 0 + 2,0) , 因为直线 l 1 和直线 AB 平行, 直线 AE 恒过点 F (1,0). 所以直线 AE 过定点 F (1,0). ②△ ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由 . 解答 几何画板展示 由 ① 知直线 AE 过焦点 F (1,0) , 所以 △ ABE 的面积的最小值为 16. 课时作业 (1) 求椭圆 E 的方程; 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件 . 故可设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,直线 l 的方程为 y = k ( x - 2) + 1 , 代入椭圆方程得 (3 + 4 k 2 ) x 2 - 8 k (2 k - 1) x + 16 k 2 - 16 k - 8 = 0 , 即 4 [ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) + ( y 1 - 1)( y 2 - 1) ] = 5 , 1 2 3 4 ∴ 4( x 1 - 2)( x 2 - 2)(1 + k 2 ) = 5 , 即 4 [ x 1 x 2 - 2( x 1 + x 2 ) + 4 ] (1 + k 2 ) = 5 , 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 (1) 求椭圆 E 的方程; 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 设 A ( x 1 , y 1 ) ,则 B ( - x 1 ,- y 1 ) , 1 2 3 4 1 2 3 4 3.(2016· 北京顺义尖子生素质展示 ) 已知 椭圆 = 1 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 B , C 两点 . 解答 1 2 3 4 (1) 求该椭圆的离心率; (2) 设直线 AB 和 AC 分别与直线 x = 4 交于点 M , N ,问: x 轴上是否存在定点 P 使得 MP ⊥ NP ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由 . 解答 1 2 3 4 依题意,直线 BC 的斜率不为 0 , 设其方程为 x = ty + 1. 设 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , 1 2 3 4 假设 x 轴上存在定点 P ( p, 0) 使得 MP ⊥ NP , 将 x 1 = ty 1 + 1 , x 2 = ty 2 + 1 代入上式,整理得 1 2 3 4 即 ( p - 4) 2 - 9 = 0 ,解得 p = 1 或 p = 7. 所以 x 轴上存在定点 P (1,0) 或 P (7,0) , 使得 MP ⊥ NP . 1 2 3 4 *4. 已知 椭圆 = 1( a > b >0) 的离心率 为 , 且经过点 P (1 , ) ,过它的左,右焦点 F 1 , F 2 分别作直线 l 1 与 l 2 , l 1 交椭圆于 A , B 两点, l 2 交椭圆于 C , D 两点,且 l 1 ⊥ l 2 (如图所示) . 1 2 3 4 (1) 求椭圆的标准方程; 解答 将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c 2 = 1 , (2) 求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围 . 解答 1 2 3 4 若 l 1 与 l 2 中有一条直线的斜率不存在, 则另一条直线的斜率为 0 ,此时四边形的面积 S = 6. 若 l 1 与 l 2 的斜率都存在,设 l 1 的斜率为 k , 则直线 l 1 的方程为 y = k ( x + 1). 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 1 2 3 4 消去 y 并整理得 (4 k 2 + 3) x 2 + 8 k 2 x + 4 k 2 - 12 = 0 . ① 注意到方程 ① 的结构特征和图形的对称性, 1 2 3 4 令 k 2 = t ∈ (0 ,+ ∞ ) , 1 2 3 4