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- 2021-06-16 发布
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第45课 圆的方程
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
圆的标准方程与一般方程
√
1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心(a,b),半径r
一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
(D2+E2-4F>0)
圆心,
半径
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( )
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.( )
(4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F>0.( )
[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系,知(1)(3)(4)正确.
(2)中,当t≠0时,表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆,不正确.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.(教材改编)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是________.
-2<a< [由题意知a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,
解得-2<a<.]
3.(2016·全国卷Ⅱ改编)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=________.
- [圆x2+y2-2x-8y+13=0,得圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1,解得a=-.]
4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.
x2+(y-1)2=1 [根据题意,圆C的圆心为(0,1),半径为1,则标准方程为x2+(y-1)2=1.]
5.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则MN=________.
4 [设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0得y=-2+2或y=-2-2.
∴M(0,-2+2),N(0,-2-2).
∴MN=4.]
求圆的方程
(1)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________.
(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.
(1) (2)(x-2)2+y2=9 [(1)法一:在坐标系中画出△ABC(如图),利用两点间的距离公式可得AB=AC=BC=2(也可以借助图形直接观察得出),所以△ABC为等边三角形.设BC的中点为D,点E为外心,同时也是重心.所以AE=AD=,从而OE===.
法二:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以△ABC外接圆的圆心为.
因此圆心到原点的距离d==.
(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,
所以圆心到直线2x-y=0的距离d==,
解得a=2,
所以圆C的半径r=CM==3,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.]
[规律方法] 1.直接法求圆的方程,根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
2.待定系数法求圆的方程:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
温馨提醒:解答圆的方程问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
[变式训练1] 经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________.
x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10) [法一:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).
设所求圆的圆心为C(a,b),则有
解得a=2,且b=1.
因此圆心坐标C(2,1),半径r=|AC|=.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
法二:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则
解得D=-4,E=-2,F=-5,
∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.]
与圆有关的最值问题
已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求MQ的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值. 【导学号:62172245】
[解] (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又QC==4,
∴MQmax=4+2=6,
MQmin=4-2=2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有交点,所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
∴的最大值为2+,最小值为2-.
[迁移探究1] (变化结论)在本例的条件下,求y-x的最大值和最小值.
[解] 设y-x=b,则x-y+b=0.
当直线y=x+b与圆C相切时,截距b取到最值,
∴=2,∴b=9或b=1.
因此y-x的最大值为9,最小值为1.
[迁移探究2] (变换条件结论)若本例中条件“点Q(-2,3)”改为“点Q是直线3x+4y+1=0上的动点”,其它条件不变,试求MQ的最小值.
[解] ∵圆心C(2,7)到直线3x+4y+1=0上动点Q的最小值为点C到直线3x+4y+1=0的距离,
∴QCmin=d==7.
又圆C的半径r=2,
∴MQ的最小值为7-2.
[规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,数形结合求解.
2.某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值.
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的.
[变式训练2] 设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,求四边形PACB的面积的最小值.
[解] 圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
圆心为C(1,1),半径为r=1.
根据对称性可知,四边形PACB的面积为
2S△APC=2×PAr=PA=.
要使四边形PACB的面积最小,则只需PC最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离
d===2.
所以四边形PACB面积的最小值为
==.
与圆有关的轨迹问题
设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹. 【导学号:62172246】
[解] 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,
故=,=.
从而
又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况).
[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程求解.
(2)定义法:根据圆的定义列方程求解.
(3)几何法:利用圆的几何性质得出方程求解.
(4)代入法(相关点法):找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解.
[变式训练3] 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
[解] (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).
因为P点在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),连结BN(图略).
在Rt△PBQ中,PN=BN.
设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ,
所以OP2=ON2+PN2=ON2+BN2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
[思想与方法]
1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件,“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法.
2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.
[易错与防范]
1.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一前提条件.
2.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.
课时分层训练(四十五)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、填空题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________.
(x-1)2+(y-1)2=2 [圆的半径r==,∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.]
2.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为________.
【导学号:62172247】
(x-2)2+(y-1)2=1 [(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]
3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为________.
[圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=2,则圆心坐标为(1,-2).
故圆心到直线x-y-1=0的距离d==.]
4.已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为________.
2x+y-3=0 [易知圆心坐标为(2,-1).
由于直线x-2y+3=0的斜率为,
∴该直径所在直线的斜率k=-2.
故所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.]
5.若圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是________.
(x+5)2+y2=5 [设圆心为(a,0)(a<0),
则r==,解得a=-5,
所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.]
6.经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是________. 【导学号:62172248】
(x-1)2+(y+1)2=2 [设所求圆的圆心为(a,b).
依题意(a-2)2+b2=a2+b2, ①
=1, ②
解①②得a=1,b=-1,
则半径r==,
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.]
7.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则PQ的最小值为________.
4 [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为MQ=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]
8.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
(-2,-4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得2+(y+1)2=-<0,不表示圆;
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5.]
9.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
x+y-1=0 [圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),
则kCM==1.
∵过点M的最短弦与CM垂直,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.]
10.(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.
(x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d==,所以半径最大时的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]
二、解答题
11.已知直线l:y=x+m,m∈R,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程. 【导学号:62172249】
[解] 法一:依题意,点P的坐标为(0,m),
因为MP⊥l,所以×1=-1,
解得m=2,即点P的坐标为(0,2),
圆的半径r=MP==2,
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
法二:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2,
依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),
则
解得
所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
12.(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
[解] (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,
所以圆C1的圆心坐标为(3,0).
(2)设M(x,y),依题意·=0,
所以(x-3,y)·(x,y)=0,则x2-3x+y2=0,
所以2+y2=.
又原点O(0,0)在圆C1外,
因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧.
由消去y2得x=,
因此<x≤3.
所以线段AB的中点M的轨迹方程为2+y2=.
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2
的最大值为________.
36 [(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d==5.
则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.]
2.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程.
[解] 法一:(代数法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0),设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则有解得
故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.
法二:(几何法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).
故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当OP=OM时,求l的方程及△POM的面积.
[解] (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).
由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.
由于OP=OM,故O在线段PM的垂直平分线上.
又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,
故l的方程为y=-x+.
又OM=OP=2,O到l的距离为,PM=,所以△POM的面积为.
4.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
[解] (1)设圆心C(a,b),
由已知得M(-2,-2),
则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,
·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
令x=cos θ,y=sin θ,
所以·=x+y-2
=(sin θ+cos θ)-2
=2sin-2,
所以·的最小值为-4.