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  • 2021-06-16 发布

专题01 集合与常用逻辑用语-备战2021年高考数学(文)之纠错笔记系列(原卷版)

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1 专题 01 集合与常用逻辑用语 易错点 1 忽略集合中元素的互异性 设集合 2{ }, , , 1,{ , }A x x xy B x y  ,若 A B ,则实数 ,x y 的值为 A. 1x y    R B. 1 0 x y     C. 1 1 x y    D. 1x y    R 或 1 0 x y     或 1 1 x y    【错解】由 A B 得 2 1x xy y     或 2 1 x y xy     ,解得 1x y    R 或 1 0 x y     或 1 1 x y    ,所以选 D. 【错因分析】在实际解答过程中,很多同学只是把答案算出来后就不算了,根本不考虑求解出来的答案 是不是合乎题目要求,有没有出现遗漏或增根.在实际解答中要根据元素的特征,结合题目要求和隐含 条件,加以重视.当 1x y    R 时,A=B={1,1,y},不满足集合元素的互异性;当 1 1 x y    时,A=B={1,1,1} 也不满足元素的互异性;当 1 0 x y     时,A=B={1,−1,0},满足题意. 集合中元素的特性: (1)确定性. 一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元素, 2 要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合; (2)互异性. 集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特 性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素 (3)无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关,如 a,b,c 组成的集合与 b,c,a 组成的集合是相同的集 合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系 1.集合{x–1,x2–1,2}中的 x 不能取得值是 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】当 x=2 时,x–1=1,x2–1=3,满足集合元素的互异性,集合表示正确;当 x=3 时,x–1=2,集合 中元素重复,不满足互异性,集合表示错误;当 x=4 时,x–1=3,x2–1=15,满足集合元素的互异性,集 合表示正确;当 x=5 时,x–1=4,x2–1=24,满足集合元素的互异性,集合表示正确;故选 B. 【答案】B 易错点 2 误解集合间的关系致错 已知集合   { |0,1 }A B x x A  , ,则下列关于集合 A 与 B 的关系正确的是 A. A B B. A  B C. B  A D. A B 【错解】因为 x A ,所以      0 1{ 0,1 }B  , , , ,所以 A  B ,故选 B. 【试题解析】因为 x A ,所以      0 1{ 0,1 }B  , , , ,则集合  0,1A  是集合 B 中的元素,所以 3 A B ,故选 D. 【参考答案】D (1)元素与集合之间有且仅有“属于()”和“不属于()”两种关系,且两者必居其一.判断一个对象是 否为集合中的元素,关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征. (2)包含、真包含关系是集合与集合之间的关系,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是 集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A B (或 B A ); 如果集合 A B ,但存在元素 x B ,且 x A ,我们称集合 A是集合 B 的真子集,记作 A B (或 B A ). 2.若集合 , ,则有 A. B. M  N C. M N D. 【解析】 , , 故 M  N . 故选 B. 【答案】B 易错点 3 忽视空集易漏解 已知集合 2{ | 3 10 0}A x x x= - - £ , { | 1 2 1}B x m x m= + # - ,若 A B A= ,则实数 m 的取值 范围是 4 A.[ 3,3] B.[2,3] C. ( ,3] D.[2, ) 【错因分析】空集不含任何元素,在解题过程中容易被忽略,特别是在隐含有空集参与的集合问题中, 往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知,对于任何一个集合 A,都有 A A  ,所 以错解中忽略了 B   时的情况. 【试题解析】∵ A B A= ,∴ B A . 2{ | 3 10 0} { | 2 5}A x x x x x= - - � - # , ①若 B =  ,则 1 2 1m m+ > - ,即 2m < ,故 2m < 时, A B A= ; ②若 B   ,如图所示, 则 1 2 1m m+ £ - ,即 2m ³ . 由 B A 得 2 1 2 1 5 m m       ,解得 3 3m   .又∵ 2m ³ ,∴ 2 3m  . 由①②知,当 3m  时, A B A= . 【参考答案】C (1)对于任意集合 A,有 A    ,A A  ,所以如果 A B   ,就要考虑集合 A B或 可能是; 如果 A B A ,就要考虑集合 B 可能是. (2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,即 A  , ( )B B   . 5 3.集合 ,若 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【解析】当 时,集合 ,满足题意;当 时, ,若 ,则 ,∴ , 所以 ,故选 B. 【答案】B 易错点 4 A 是 B 的充分条件与 A 的充分条件是 B 的区别 设 ,a bR ,则“ 4ba ”是“ 2,2  ba 且 ”的] A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【错解】选 A. 【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错. 【试题解析】若 2, 2a b 且 ,则 4a b  ,但当 4, 1a b  时也有 4a b  ,故本题选 B. 【参考答案】B (1)“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B,即 B ⇒ A 且 A /Þ B; (2)“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A,即 A ⇒ B 且 B /Þ A . 4.已知 a , bR ,若 2 2 1a b  的一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m  ,则实数 m 的取值范围是 A. 1, 2      B. , 2  C. 1 ,02     D. 2,0 6 【解析】由基本不等式得, 2 2 12 1 2a b ab ab     ,由 10 2ab ab    ,又因为 2 2 1a b  的 一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m  ,则 1 2m   ,故选 A. 【答案】A 易错点 5 命题的否定与否命题的区别 命题“  * *n f n  N N, 且  f n n ”的否定形式是 A.  * * ( )n f n f n n   N N, 且 B. * *( ) ( )n f n f n n   N N, 或 C. * * 0 0 0 0)( ) (n f n f n n   N N, 且 D. * * 0 0 0 0( ) ( )n f n f n n   N N, 或 【错因分析】错解 1 对命题的结论否定错误,没有注意逻辑联结词; 对于错解 2,除上述错误外,还没有否定量词; 错解 3 的结论否定正确,但忽略了对量词的否定而造成错选. 【试题解析】全称命题的否定为特称命题,因此命题“  * *n f n  N N, 且  f n n ”的否定形式是 “    * * 0 0 0 0n f n f n n   N N, 或 ”.故选 D. 【参考答案】D 1.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其 结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. 7 2.命题的否定 (1)对“若 p,则 q”形式命题的否定; (2)对含有逻辑联结词命题的否定; (3)对全称命题和特称命题的否定.学!科网 (4)全称(或存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全称(或存在性)命题的否定是将 其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论 即可.从命题形式上看,全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题. 5.已知 2| | 1: 5 2 3, : 04 5p x q x x     ,则¬p 是¬q A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】∵ : 3| 5 |2p x   ,∴5x−2>3 或 5x−2<−3, ∴x>1 或 1 5x   ,∴¬p: 1 15 x   . ∵ 2 1: 04 5q x x   ,∴x2+4x−5>0, ∴x>1 或 x<−5,∴¬q:−5≤x≤1, ∴¬p ⇒ ¬q,但¬q /¬p,故¬p 是¬q 的充分不必要条件. 【答案】A 将命题 2 1: 04 5q x x   的否定形式错误地认为: 2 1: 04 5q x x    ,∴x2+4x−5<0 导致错误. 一、集合 1.元素与集合的关系: a A a A    属于,记为 不属于,记为 . 2.集合中元素的特征: 8 (1)确定性:一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元 素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合. (2)互异性:集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个 特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素. (3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如 a,b,c 组成的集合与 b,c,a 组成的集合是相同的 集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系. 3.常用数集及其记法: 集合 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N 或 +N Z Q R C 4.集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本 基本 关系 子集 集合 A 中任意一个元素都是集 合 B 的元素 A B (或 B A ) 真子集 集合 A 是集合 B 的子集,且集 合 B 中至少有一个元素不在集 合 A 中 A B (或 B A ) 相等 集合 A,B 中元素相同或集合 A,B 互为子集 A B 空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集 A  , ( )B B   (1)若集合 A 中含有 n 个元素,则有 2n 个子集,有 2 1n  个非空子集,有 2 1n  个真子集,有 2 2n  个非 空真子集. (2)子集关系的传递性,即 ,A B B C A C    . (3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况, 9 否则会造成漏解. 5.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于 集合 B 的所有元素组 成的集合 { | }A B x x A x B   且 并集 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素组 成的集合 | }{A B x x A x B   或 补集 由全集 U 中不属于集 合 A 的所有元素组成 的集合 { | }U A x x U x A  且ð (1)集合运算的相关结论 交集 A B A A B B A A A A    A B B A  并集 A B A A B B A A A A A  A B B A  补集 ( )U U A A UU  ð U U ð ( )U A A  ð ( )U A A Uð (2) ( .)U U UA B A B A A B B A B A B           二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1.四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p,则 q 逆命题 若 q,则 p 否命题 若 p ,则 q 逆否命 题 若 q ,则 p 10 2.四种命题间的关系 (1)常见的否定词语 正面词语 = >(<) 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有 1(n)个 至少有 1 个 否定词   (  ) 不是 不都是 某个 某两个 至少有 2(n+1)个 1 个也没有 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件的概念 (1)若 p ⇒ q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)若 p ⇒ q 且 q / p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)若 p / q 且 q ⇒ p,则 p 是 q 的必要不充分条件; (4) 若 p ⇔ q,则 p 是 q 的充要条件; (5) 若 p / q 且 q / p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ①p 是 q 的充分不必要条件  q 是 p 的充分不必要条件; ②p 是 q 的必要不充分条件  q 是 p 的必要不充分条件; ③p 是 q 的充要条件  q 是 p 的充要条件; 11 ④p 是 q 的既不充分也不必要条件  q 是 p 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现,q 以集合 B 的形式出现,即 p:A={x|p(x) },q:B={x|q(x) },则 ①若 A B ,则 p 是 q 的充分条件; ②若 B A ,则 p 是 q 的必要条件; ③若 A B ,则 p 是 q 的充分不必要条件; ④若 B A ,则 p 是 q 的必要不充分条件; ⑤若 A B ,则 p 是 q 的充要条件; ⑥若 A B 且 B A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1.常见的逻辑联结词:或、且、非 一般地,用联结词“且”把命题 p 和 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q ,读作“p 且 q”; 用联结词“或”把命题 p 和 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q ,读作“p 或 q”; 对一个命题 p 的结论进行否定,得到一个新命题,记作 p ,读作“非 p”. 2.复合命题的真假判断 “p 且 q”“p 或 q”“非 p”形式的命题的真假性可以用下面的表(真值表)来确定: p q p q p q p q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等  存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等  4.含有一个量词的命题的否定 12 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,如下所示: 命题 命题的否定 , ( )x M p x  0 0, ( )x M p x   0 0, ( )x M p x  , ( )x M p x   含有逻辑联结词的命题的真假判断: (1) p q 中一假则假,全真才真. (2) p q 中一真则真,全假才假. (3)p 与 p 真假性相反.学科网 注意:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆 这两者的概念. 1.(2018 浙江)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},则 =U Að A.  B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 2.(2018 新课标全国Ⅰ文科)已知集合  0 2A  , ,  2 1 0 1 2B   , , , , ,则 A B  A. 0 2, B. 1 2, C. 0 D. 2 1 0 1 2 , , , , 3.(2018 新课标全国Ⅲ文科)已知集合 { | 1 0}A x x   , {0,1,2}B  ,则 A B  A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 4.(2018 天津文科)设集合 {1,2,3,4}A  , { 1,0,2,3}B   , { | 1 2}C x x    R ,则 ( )A B C   A.{ 1,1} B.{0,1} 13 C.{ 1,0,1} D.{2,3,4} 5.(2018 浙江)已知平面α,直线 m,n 满足 m  α,n  α,则“m∥n”是“m∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2018 天津文科)设 xR ,则“ 3 8x  ”是“| | 2x  ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2018 北京文科)设 a,b,c,d 是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2017 新课标全国Ⅰ文科)已知集合 A= | 2x x  ,B= |3 2 0x x  ,则 A.A  B= 3| 2x x    B.A  B   C.A  B 3| 2x x     D.A  B=R 9.(2017 新课标全国Ⅱ文科)设集合 {1,2,3}, {2,3,4}A B  ,则 A B  A. 1 2 3,4,, B. 1 2 3,, C. 2 3 4,, D. 13 4,, 10.(2017 北京文科)已知全集U  R ,集合 { | 2 2}A x x x   或 ,则 U A ð A. ( 2,2) B. ( , 2) (2, )   C.[ 2,2] D. ( , 2] [2, )   11.(2017 北京文科)设 m,n 为非零向量,则“存在负数  ,使得 m n ”是“ 0<m n ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(2016 四川文科)设 p:实数 x,y 满足 1x  且 1y  ,q: 实数 x,y 满足 2x y  ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14 13.已知集合  | 0 0{ } ,1x x ax   ,则实数 a 的值为 A.−1 B.0 C.1 D.2 14.已知集合 , ,则 P Q R ð A. B. C. D. 15.设命题 p: 1, lnx x x   ,则 p 为 A. 0 0 01, lnx x x   B. 0 0 01, lnx x x   C. 0 0 01, lnx x x   D. 1, lnx x x   16.“若 1 2a  ,则 0x  ,都有   0f x  成立”的逆否命题是 A. 0x  ,有   0f x  成立,则 1 2a  B. 0x  ,有   0f x  成立,则 1 2a  C. 0x  ,有   0f x  成立,则 1 2a  D. 0x  ,有   0f x  成立,则 1 2a  17.已知集合  { , | 1,0 1}A x y y x x     ,集合  { , | 2 ,0 10}B x y y x x    ,则集合 A B  A. 1,2 B. 1, 2x y  C.   1,2 D. 1, 2x x  18.已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 19.“ 1m  ”是“函数   3 3 3x mf x   在区间 1, 无零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15 20.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 a b a b 成立的充分条件是 A.  a b B. ∥a b C. 2a b D. ∥a b 且 a b 21.已知命题 p :对任意 xR ,总有 2 0; : 1x q x  是 2x  的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 A. p q  B. p q   C. p q  D. p q 22.已知命题 p :“关于 x 的方程 2 4 0x x a   有实根”,若 p 为真命题的充分不必要条件为 3 1a m  , 则实数 m 的取值范围是 A. 1, B. 1, C. ,1 D. ,1 23.在射击训练中,某战士射击了两次,设命题 p 是“第一次射击击中目标”,命题 q 是“第二次射击击中目 标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 A.   p q   为真命题 B.  p q  为真命题 C.   p q   为真命题 D. p q 为真命题 24.(2018 北京)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成立,则 f(x)在[0,2]上是增函数” 为假命题的一个函数是__________. 25.已知集合  1,2,2 1A m   ,集合  22,B m ,若 B A ,则实数 m =________. 26.若命题“ 2 0 0 0, 2 0x x x m    R ”是假命题,则 m 的取值范围是__________. 27.已知条件  2:log 1 0p x  ,条件 :q x a ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 ______. 28.下列有关命题的说法一定正确的是________.(填序号) ①命题“ x R , sin 1x  ”的否定是“ 0x R , 0sin 1x  ” ②若向量 ∥a b ,则存在唯一的实数  使得 a b ③若函数  f x 在 R 上可导,则  0 0f x  是 0x 为函数极值点的必要不充分条件 16 ④若“ p q ”为真命题,则“  p q  ”也为真命题 29.命题 p :若 0x  ,则 x a ;命题 q :若 2m a  ,则  sinm x x R 恒成立.若 p 的逆命题, q 的 逆否命题都是真命题,则实数 a 的取值范围是__________. ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________