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- 2021-06-16 发布
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1
专题 01 集合与常用逻辑用语
易错点 1 忽略集合中元素的互异性
设集合 2{ }, , , 1,{ , }A x x xy B x y ,若 A B ,则实数 ,x y 的值为
A. 1x
y
R
B. 1
0
x
y
C. 1
1
x
y
D. 1x
y
R
或 1
0
x
y
或 1
1
x
y
【错解】由 A B 得
2 1x
xy y
或
2
1
x y
xy
,解得 1x
y
R
或 1
0
x
y
或 1
1
x
y
,所以选 D.
【错因分析】在实际解答过程中,很多同学只是把答案算出来后就不算了,根本不考虑求解出来的答案
是不是合乎题目要求,有没有出现遗漏或增根.在实际解答中要根据元素的特征,结合题目要求和隐含
条件,加以重视.当 1x
y
R
时,A=B={1,1,y},不满足集合元素的互异性;当 1
1
x
y
时,A=B={1,1,1}
也不满足元素的互异性;当 1
0
x
y
时,A=B={1,−1,0},满足题意.
集合中元素的特性:
(1)确定性. 一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元素,
2
要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合;
(2)互异性. 集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特
性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素
(3)无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关,如 a,b,c 组成的集合与 b,c,a 组成的集合是相同的集
合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系
1.集合{x–1,x2–1,2}中的 x 不能取得值是
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】当 x=2 时,x–1=1,x2–1=3,满足集合元素的互异性,集合表示正确;当 x=3 时,x–1=2,集合
中元素重复,不满足互异性,集合表示错误;当 x=4 时,x–1=3,x2–1=15,满足集合元素的互异性,集
合表示正确;当 x=5 时,x–1=4,x2–1=24,满足集合元素的互异性,集合表示正确;故选 B.
【答案】B
易错点 2 误解集合间的关系致错
已知集合 { |0,1 }A B x x A , ,则下列关于集合 A 与 B 的关系正确的是
A. A B B. A B
C. B A D. A B
【错解】因为 x A ,所以 0 1{ 0,1 }B , , , ,所以 A B ,故选 B.
【试题解析】因为 x A ,所以 0 1{ 0,1 }B , , , ,则集合 0,1A 是集合 B 中的元素,所以
3
A B ,故选 D.
【参考答案】D
(1)元素与集合之间有且仅有“属于()”和“不属于()”两种关系,且两者必居其一.判断一个对象是
否为集合中的元素,关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
(2)包含、真包含关系是集合与集合之间的关系,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是
集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A B (或 B A );
如果集合 A B ,但存在元素 x B ,且 x A ,我们称集合 A是集合 B 的真子集,记作 A B (或
B A ).
2.若集合 , ,则有
A. B. M N
C. M N D.
【解析】 ,
,
故 M N .
故选 B.
【答案】B
易错点 3 忽视空集易漏解
已知集合 2{ | 3 10 0}A x x x= - - £ , { | 1 2 1}B x m x m= + # - ,若 A B A= ,则实数 m 的取值
范围是
4
A.[ 3,3] B.[2,3]
C. ( ,3] D.[2, )
【错因分析】空集不含任何元素,在解题过程中容易被忽略,特别是在隐含有空集参与的集合问题中,
往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知,对于任何一个集合 A,都有 A A ,所
以错解中忽略了 B 时的情况.
【试题解析】∵ A B A= ,∴ B A . 2{ | 3 10 0} { | 2 5}A x x x x x= - - � - # ,
①若 B = ,则 1 2 1m m+ > - ,即 2m < ,故 2m < 时, A B A= ;
②若 B ,如图所示,
则 1 2 1m m+ £ - ,即 2m ³ .
由 B A 得 2 1
2 1 5
m
m
,解得 3 3m .又∵ 2m ³ ,∴ 2 3m .
由①②知,当 3m 时, A B A= .
【参考答案】C
(1)对于任意集合 A,有 A ,A A ,所以如果 A B ,就要考虑集合 A B或 可能是;
如果 A B A ,就要考虑集合 B 可能是.
(2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,即 A , ( )B B .
5
3.集合 ,若 ,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
【解析】当 时,集合 ,满足题意;当 时, ,若 ,则 ,∴ ,
所以 ,故选 B.
【答案】B
易错点 4 A 是 B 的充分条件与 A 的充分条件是 B 的区别
设 ,a bR ,则“ 4ba ”是“ 2,2 ba 且 ”的]
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【错解】选 A.
【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.
【试题解析】若 2, 2a b 且 ,则 4a b ,但当 4, 1a b 时也有 4a b ,故本题选 B.
【参考答案】B
(1)“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B,即 B
⇒
A 且 A /Þ B;
(2)“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A,即 A
⇒
B 且 B /Þ A .
4.已知 a , bR ,若 2 2 1a b 的一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m ,则实数 m 的取值范围是
A. 1, 2
B. , 2
C. 1 ,02
D. 2,0
6
【解析】由基本不等式得, 2 2 12 1 2a b ab ab ,由 10 2ab ab ,又因为 2 2 1a b 的
一个充分不必要条件是 ab m ( 0)m ,则 1
2m ,故选 A.
【答案】A
易错点 5 命题的否定与否命题的区别
命题“ * *n f n N N, 且 f n n ”的否定形式是
A. * * ( )n f n f n n N N, 且 B. * *( ) ( )n f n f n n N N, 或
C. * *
0 0 0 0)( ) (n f n f n n N N, 且 D. * *
0 0 0 0( ) ( )n f n f n n N N, 或
【错因分析】错解 1 对命题的结论否定错误,没有注意逻辑联结词;
对于错解 2,除上述错误外,还没有否定量词;
错解 3 的结论否定正确,但忽略了对量词的否定而造成错选.
【试题解析】全称命题的否定为特称命题,因此命题“ * *n f n N N, 且 f n n ”的否定形式是
“ * *
0 0 0 0n f n f n n N N, 或 ”.故选 D.
【参考答案】D
1.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其
结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论.
7
2.命题的否定
(1)对“若 p,则 q”形式命题的否定;
(2)对含有逻辑联结词命题的否定;
(3)对全称命题和特称命题的否定.学!科网
(4)全称(或存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全称(或存在性)命题的否定是将
其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论
即可.从命题形式上看,全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.
5.已知 2| | 1: 5 2 3, : 04 5p x q x x
,则¬p 是¬q
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】∵ : 3| 5 |2p x ,∴5x−2>3 或 5x−2<−3,
∴x>1 或 1
5x ,∴¬p: 1 15 x .
∵ 2
1: 04 5q x x
,∴x2+4x−5>0,
∴x>1 或 x<−5,∴¬q:−5≤x≤1,
∴¬p
⇒
¬q,但¬q /¬p,故¬p 是¬q 的充分不必要条件.
【答案】A
将命题 2
1: 04 5q x x
的否定形式错误地认为: 2
1: 04 5q x x
,∴x2+4x−5<0 导致错误.
一、集合
1.元素与集合的关系: a A
a A
属于,记为
不属于,记为 .
2.集合中元素的特征:
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(1)确定性:一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元
素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.
(2)互异性:集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素.
(3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如 a,b,c 组成的集合与 b,c,a 组成的集合是相同的
集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.
3.常用数集及其记法:
集合
非负整数集
(自然数集)
正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N N 或 +N Z Q R C
4.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言 符号语言 图示
基
本
基本
关系
子集
集合 A 中任意一个元素都是集
合 B 的元素
A B (或
B A )
真子集
集合 A 是集合 B 的子集,且集
合 B 中至少有一个元素不在集
合 A 中
A B (或
B A )
相等
集合 A,B 中元素相同或集合
A,B 互为子集 A B
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真
子集
A ,
( )B B
(1)若集合 A 中含有 n 个元素,则有 2n 个子集,有 2 1n 个非空子集,有 2 1n 个真子集,有 2 2n 个非
空真子集.
(2)子集关系的传递性,即 ,A B B C A C .
(3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,
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否则会造成漏解.
5.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
交集
由属于集合 A 且属于
集合 B 的所有元素组
成的集合
{ | }A B x x A x B 且
并集
由所有属于集合 A 或
属于集合 B 的元素组
成的集合
| }{A B x x A x B 或
补集
由全集 U 中不属于集
合 A 的所有元素组成
的集合
{ | }U A x x U x A 且ð
(1)集合运算的相关结论
交集 A B A A B B A A A A A B B A
并集 A B A A B B A A A A A A B B A
补集 ( )U U A A UU ð U U ð ( )U A A ð ( )U A A Uð
(2) ( .)U U UA B A B A A B B A B A B
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题
命题 表述形式
原命题 若 p,则 q
逆命题 若 q,则 p
否命题 若 p ,则 q
逆否命
题
若 q ,则 p
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2.四种命题间的关系
(1)常见的否定词语
正面词语 = >(<) 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有 1(n)个 至少有 1 个
否定词
( ) 不是 不都是 某个 某两个 至少有 2(n+1)个 1 个也没有
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件的概念
(1)若 p
⇒
q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;
(2)若 p
⇒
q 且 q / p,则 p 是 q 的充分不必要条件;
(3)若 p / q 且 q
⇒
p,则 p 是 q 的必要不充分条件;
(4) 若 p
⇔
q,则 p 是 q 的充要条件;
(5) 若 p / q 且 q / p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p 是 q 的充分不必要条件 q 是 p 的充分不必要条件;
②p 是 q 的必要不充分条件 q 是 p 的必要不充分条件;
③p 是 q 的充要条件 q 是 p 的充要条件;
11
④p 是 q 的既不充分也不必要条件 q 是 p 的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若 p 以集合 A 的形式出现,q 以集合 B 的形式出现,即 p:A={x|p(x) },q:B={x|q(x) },则
①若 A B ,则 p 是 q 的充分条件;
②若 B A ,则 p 是 q 的必要条件;
③若 A B ,则 p 是 q 的充分不必要条件;
④若 B A ,则 p 是 q 的必要不充分条件;
⑤若 A B ,则 p 是 q 的充要条件;
⑥若 A B 且 B A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
三、逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.常见的逻辑联结词:或、且、非
一般地,用联结词“且”把命题 p 和 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q ,读作“p 且 q”;
用联结词“或”把命题 p 和 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q ,读作“p 或 q”;
对一个命题 p 的结论进行否定,得到一个新命题,记作 p ,读作“非 p”.
2.复合命题的真假判断
“p 且 q”“p 或 q”“非 p”形式的命题的真假性可以用下面的表(真值表)来确定:
p q p q p q p q
真 真 假 假 真 真
真 假 假 真 真 假
假 真 真 假 真 假
假 假 真 真 假 假
3.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
4.含有一个量词的命题的否定
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全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,如下所示:
命题 命题的否定
, ( )x M p x 0 0, ( )x M p x
0 0, ( )x M p x , ( )x M p x
含有逻辑联结词的命题的真假判断:
(1) p q 中一假则假,全真才真.
(2) p q 中一真则真,全假才假.
(3)p 与 p 真假性相反.学科网
注意:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆
这两者的概念.
1.(2018 浙江)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},则 =U Að
A. B.{1,3}
C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}
2.(2018 新课标全国Ⅰ文科)已知集合 0 2A , , 2 1 0 1 2B , , , , ,则 A B
A. 0 2, B. 1 2,
C. 0 D. 2 1 0 1 2 , , , ,
3.(2018 新课标全国Ⅲ文科)已知集合 { | 1 0}A x x , {0,1,2}B ,则 A B
A.{0} B.{1}
C.{1,2} D.{0,1,2}
4.(2018 天津文科)设集合 {1,2,3,4}A , { 1,0,2,3}B , { | 1 2}C x x R ,则 ( )A B C
A.{ 1,1} B.{0,1}
13
C.{ 1,0,1} D.{2,3,4}
5.(2018 浙江)已知平面α,直线 m,n 满足 m α,n α,则“m∥n”是“m∥α”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.(2018 天津文科)设 xR ,则“ 3 8x ”是“| | 2x ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(2018 北京文科)设 a,b,c,d 是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(2017 新课标全国Ⅰ文科)已知集合 A= | 2x x ,B= |3 2 0x x ,则
A.A B= 3| 2x x B.A B
C.A B 3| 2x x D.A B=R
9.(2017 新课标全国Ⅱ文科)设集合 {1,2,3}, {2,3,4}A B ,则 A B
A. 1 2 3,4,, B. 1 2 3,,
C. 2 3 4,, D. 13 4,,
10.(2017 北京文科)已知全集U R ,集合 { | 2 2}A x x x 或 ,则 U A ð
A. ( 2,2) B. ( , 2) (2, )
C.[ 2,2] D. ( , 2] [2, )
11.(2017 北京文科)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ,使得 m n ”是“ 0<m n ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12.(2016 四川文科)设 p:实数 x,y 满足 1x 且 1y ,q: 实数 x,y 满足 2x y ,则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14
13.已知集合 | 0 0{ } ,1x x ax ,则实数 a 的值为
A.−1 B.0
C.1 D.2
14.已知集合 , ,则 P Q R ð
A. B.
C. D.
15.设命题 p: 1, lnx x x ,则 p 为
A. 0 0 01, lnx x x B. 0 0 01, lnx x x
C. 0 0 01, lnx x x D. 1, lnx x x
16.“若 1
2a ,则 0x ,都有 0f x 成立”的逆否命题是
A. 0x ,有 0f x 成立,则 1
2a
B. 0x ,有 0f x 成立,则 1
2a
C. 0x ,有 0f x 成立,则 1
2a
D. 0x ,有 0f x 成立,则 1
2a
17.已知集合 { , | 1,0 1}A x y y x x ,集合 { , | 2 ,0 10}B x y y x x ,则集合 A B
A. 1,2 B. 1, 2x y
C. 1,2 D. 1, 2x x
18.已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
19.“ 1m ”是“函数 3 3 3x mf x 在区间 1, 无零点”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15
20.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 a b
a b
成立的充分条件是
A. a b B. ∥a b
C. 2a b D. ∥a b 且 a b
21.已知命题 p :对任意 xR ,总有 2 0; : 1x q x 是 2x 的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是
A. p q B. p q
C. p q D. p q
22.已知命题 p :“关于 x 的方程 2 4 0x x a 有实根”,若 p 为真命题的充分不必要条件为 3 1a m ,
则实数 m 的取值范围是
A. 1, B. 1,
C. ,1 D. ,1
23.在射击训练中,某战士射击了两次,设命题 p 是“第一次射击击中目标”,命题 q 是“第二次射击击中目
标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是
A. p q 为真命题 B. p q 为真命题
C. p q 为真命题 D. p q 为真命题
24.(2018 北京)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成立,则 f(x)在[0,2]上是增函数”
为假命题的一个函数是__________.
25.已知集合 1,2,2 1A m ,集合 22,B m ,若 B A ,则实数 m =________.
26.若命题“ 2
0 0 0, 2 0x x x m R ”是假命题,则 m 的取值范围是__________.
27.已知条件 2:log 1 0p x ,条件 :q x a ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是
______.
28.下列有关命题的说法一定正确的是________.(填序号)
①命题“ x R , sin 1x ”的否定是“ 0x R , 0sin 1x ”
②若向量 ∥a b ,则存在唯一的实数 使得 a b
③若函数 f x 在 R 上可导,则 0 0f x 是 0x 为函数极值点的必要不充分条件
16
④若“ p q ”为真命题,则“ p q ”也为真命题
29.命题 p :若 0x ,则 x a ;命题 q :若 2m a ,则 sinm x x R 恒成立.若 p 的逆命题, q 的
逆否命题都是真命题,则实数 a 的取值范围是__________.
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