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- 2021-06-16 发布
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第75课 不等式的证明
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
不等式的证明(比较法、综合法、分析法)
√
算术—几何平均不等式与柯西不等式
√
利用不等式求最大(小)值
√
1.不等式证明的方法
(1)比较法:
①作差比较法:
知道a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b只要证明a-b>0即可,这种方法称为作差比较法.
②作商比较法:
由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时,要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为作商比较法.
(2)综合法:
从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,最终推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫综合法,即“由因导果”的方法.
(3)分析法:
从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.
(4)反证法和放缩法:
①
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫作反证法.
②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小,此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.
(5)数学归纳法:
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
①证明当n=n0时命题成立;
②假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
2.几个常用基本不等式
(1)柯西不等式:
①柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立).
②柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,等号当且仅当α,β共线时成立.
③柯西不等式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则+≥.
④柯西不等式的一般形式:设n为大于1的自然数,ai,bi(i=1,2,…,n)为实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,等号当且仅当==…=时成立(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n).
(2)算术—几何平均不等式:
若a1,a2,…,an为正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论.( )
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )
(4)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(教材改编)若a>b>1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是________.
x>y [x-y=a+-
=a-b+=.
由a>b>1得ab>1,a-b>0,
所以>0,即x-y>0,所以x>y.]
3.(教材改编)已知a≥b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,则M,N的大小关系为________.
M≥N [2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,故2a3-b3≥2ab2-a2b.]
4.已知a>0,b>0且ln(a+b)=0,则+的最小值是________.
4 [由题意得,a+b=1,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=2++
≥2+2=4,
当且仅当a=b=时等号成立.]
5.已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
[证明] 因为x>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.
比较法证明不等式
已知a>0,b>0,求证:+≥+. 【导学号:62172386】
[证明] 法一:-(+)
=+=+
==≥0,
∴+≥+.
法二:由于=
==-1≥-1=1.
又a>0,b>0,>0,∴+≥+.
[规律方法] 1.在法一中,采用局部通分,优化了解题过程;在法二中,利用不等式的性质,把证明a>b转化为证明>1(b>0).
2.作差(商)证明不等式,关键是对差(商)式进行合理的变形,特别注意作商证明不等式,不等式的两边应同号.
提醒:在使用作商比较法时,要注意说明分母的符号.
[变式训练1] 设a,b是非负实数,
求证:a2+b2≥(a+b).
[证明] 因为a2+b2-(a+b)
=(a2-a)+(b2-b)
=a(-)+b(-)
=(-)(a-b)
=.
因为a≥0,b≥0,所以不论a≥b≥0,还是0≤a≤b,都有a-b与同号,所以(a-b)≥0,
所以a2+b2≥(a+b).
综合法证明不等式
(2017·苏州模拟)(1)已知x,y均为正数,且x>y.求证:2x+≥2y+3;
(2)设a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥.
[证明] (1)因为x>0,y>0,x-y>0,
2x+-2y
=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+≥
3=3,
所以2x+≥2y+3.
(2)因为a,b,c>0,
所以要证a+b+c≥,
只需证明(a+b+c)2≥3.
即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,
而ab+bc+ca=1,
故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).
即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
而ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)成立.
所以原不等式成立.
[规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果,其证明的逻辑关系是:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理,B为要证结论),它的常见书面表达式是“∵,∴”或“⇒”.
2.综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
[变式训练2] 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1. 【导学号:62172387】
[证明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
则++≥a+b+c,所以++≥1.
柯西不等式的应用
已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x--b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值.
[解] (1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b.
所以f(x)的最小值为a+b+c.
又已知f(x)的最小值为4,
所以a+b+c=4.
(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得(4+9+1)
≥2=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥.
当且仅当==,即a=,b=,c=时等号成立.
故a2+b2+c2的最小值为.
[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.
2.利用柯西不等式求最值的一般结构为(a+a+…+a)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.
[变式训练3] 已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.
[解] (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,
所以f(x)的最小值等于3,即a=3.
(2)证明:由(1)知p+q+r=3,
又因为p,q,r是正实数,
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.
[思想与方法]
1.比较法:作差比较法主要判断差值与0的大小,作商比较法关键在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0).
2.分析法:B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论).
(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).
3.综合法:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知).
(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).
[易错与防范]
1.使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件.
2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学问题成立.
课时分层训练(十九)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
1.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
[证明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0,得00,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
[解] (1)由=+≥,得ab≥2,当且仅当a=b=时等号成立.
故a3+b3≥2≥4,当且仅当a=b=时等号成立.
所以a3+b3的最小值为4.
(2)由(1)知,2a+3b≥2·≥4.
由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
3.设a、b、c是正实数,且a+b+c=9,求++的最小值.
[解] ∵(a+b+c)=[()2+()2+()2]≥2=18,
∴++≥2,当且仅当a=b=c=3时取等号.
∴++的最小值为2.
4.(2017·如皋市高三调研一)已知数列{an}满足a1=3,且an+1=a-nan-n(n∈N+).
(1)计算a2,a3,a4的值,由此猜想数列{an}的通项公式(不必证明);
(2)求证:当n≥2时,a≥4nn. 【导学号:62172388】
[解] (1)n=1时,a2=4;n=2时,a3=5,n=3时 ,a4=6;n=4时,a5=7;
猜想:an=n+2.
(2)要证a≥4nn(n≥2)成立,
只要证(n+2)n≥4nn(n≥2),
只要证(x+2)x≥4xx(x≥2),
只要证xln(x+2)≥ln 4+xln x(x≥2),
即证xln(x+2)-ln 4-xln x≥0(x≥2),
f(x)=xln( x+2)-ln 4-xln x(x≥2).
f′(x)=ln(x+2)+-ln x-1=ln +-1
令t==1+(10,
所以y=ln t+-1在(1,2]上单调递增,所以y>0,即f′(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)单调递增,所以f(x)≥f(2)=0得证.
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;
(2)已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.
[证明] (1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.
因为a,b都是正数,所以a+b>0.
又因为a≠b,所以(a-b)2>0.
于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,
所以a3+b3>a2b+ab2.
(2)因为b2+c2≥2bc,a2>0,所以a2(b2+c2)≥2a2bc.①
同理,b2(a2+c2)≥2ab2c.②
c2(a2+b2)≥2abc2.③
①②③相加得
2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,
从而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
由a,b,c都是正数,得a+b+c>0,
因此≥abc.
2.已知a,b为实数,且a>0,b>0.
(1)求证:≥9;
(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值. 【导学号:62172389】
[解] (1)证明:因为a>0,b>0,所以a+b+≥3=3>0,①
同理可证:a2++≥3>0.②
由①②及不等式的性质得
=3×3=9.
(2)[(5-2a)2+4b2+(a-b)2][12+12+22]≥[(5-2a)×1+2b×1+(a-b)×2]2.
所以(5-2a)2+4b2+(a-b)2≥.
当且仅当==时取等号,
即a=,b=.
所以当a=,b=时,(5-2a)2+4b2+(a-b)2取最小值.
3.已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3.
[解] (1)当x<-1时,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x>3;
当-1≤x<2时,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);
当x≥2时,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x≥6.
综上,f(x)的最小值m=3.
(2)证明:a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,
因为+++(a+b+c)
=++
≥2=2(a+b+c).
(当且仅当a=b=c=1时取“=”)
所以++≥a+b+c,即++≥3.
4.已知函数f(x)=|x+1|.
(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;
(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b).
[解] (1)①当x≤-1时,原不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;
②当-1<x<-时,原不等式可化为x+1<-2x-2,解得x<-1,此时原不等式无解;
③当x≥-时,原不等式可化为x+1<2x,解得x>1.
综上,M={x|x<-1或x>1}.
(2)证明:因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,
所以,要证f(ab)>f(a)-f(-b),只需证|ab+1|>|a+b|,
即证|ab+1|2>|a+b|2,
即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,
即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.
因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,
所以原不等式成立.