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- 2021-06-16 发布
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第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.(2010·全国改编)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为______________.
2.y=x2cos x的导数为__________________.
3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
4.(2010·全国Ⅱ改编)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a,b的值分别为____________.
5.(2010·连云港模拟)已知直线y=kx+1与曲线y=f(x)=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值为________.
6.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值为________.
7.(2010·常州联考)曲线y=x2在(1,1)处的切线方程为________________.
8.若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.
9.已知直线y=kx与曲线y=ln x有公共点,则k的最大值为________.
二、解答题(本大题共3小题,共46分)
10.(14分)求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.
11.(16分)(2010·无锡模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,求a的值.
12.(16分)如图所示,已知A(-1,2)为抛物线C:y=2x2上的点,直线l1过点A,且与抛物线C相切,直线l2:x=a (a<-1)交抛物线C于点B,交直线l1于点D.
(1)求直线l1的方程;
(2)求△ABD的面积S1.
答案
1.x-y-1=0 2.y′=2xcos x-x2sin x 3. 4.1,1
5.3 6. 7.2x-y-1=0. 8.(-∞,0) 9.
10.解 f′(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为k.
(1)当切点是原点时k=f′(0)=2,f(0)=0,
所以所求曲线的切线方程为y=2x.
(2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),
则有y0=x-3x+2x0,k=f′(x0)=3x-6x0+2,①
又k==x-3x0+2,②
由①②得x0=,k==-.
∴所求曲线的切线方程为y=-x.
11.解 设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x),
所以切线方程为y-x=3x(x-x0),
即y=3xx-2x,
又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.
当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,
当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,
所以a=-1或-.
12.解 (1)由条件知点A(-1,2)为直线l1与抛物线C的切点,∵y′=4x,
∴直线l1的斜率k=-4,
所以直线l1的方程为y-2=-4(x+1),
即4x+y+2=0.
(2)点A的坐标为(-1,2),
由条件可求得点B的坐标为(a,2a2),
点D的坐标为(a,-4a-2),∴△ABD的面积为
S1=×|2a2-(-4a-2)|×|-1-a|
=|(a+1)3|=-(a+1)3.