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- 2021-06-16 发布
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易错点 1 分类计数时考虑不全
有红、黄、蓝旗各 3 面,每次升 1 面、2 面、3 面在某一旗杆上纵向排列,表示不同的信号,顺序
不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号?
【错解】每次升一面旗可组成 3 种不同的信号;
每次升 2 面旗可组成 3×2=6 种不同的信号;
每次升 3 面旗可组成 3×2×1=6 种不同的信号,
根据分类加法计数原理知,共有不同的信号 3+6+6=15 种.
【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同,所以每次升起 2 面或 3 面旗时,颜色可以相同.
【试题解析】每次升 1 面旗可组成 3 种不同的信号;
每次升 2 面旗可组成 3×3=9 种不同的信号;
每次升 3 面旗可组成 3×3×3=27 种不同的信号.
根据分类加法计数原理得,共可组成:3+9+27=39 种不同的信号.
【参考答案】39 种.
1.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成 n 类;
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2.使用分类加法计数原理遵循的原则:
有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.
3.应用分类加法计数原理要注意的问题:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎样才算是完成这件事.
(2)完成这件事的 n 类方法是相互独立的,无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需
2
要再用到其他的方法.
(3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方
案的任意两种方法是不同的方法,也就是分类时必须既不重复也不遗漏.
1.在 3 名男教师和 3 名女教师中选取 3 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有 种不同的选取方
法(用数字作答).
【答案】18
【解析】由题意可知,有两种情况:
(1)1 名男教师与 2 名女教师,共有 种不同的选取方法;
(2)2 名男教师与 1 名女教师, 共有 种不同的选取方法.
所以根据分类加法计数原理可知,共有 9+9=18 种不的选取方法.
易错点 2 未选准分步依据
将 4 封信投入到 3 个信箱中,共有多少种不同的投法?
【错解】第 1 个信箱可能投 1 封信,2 封信,3 封信或 4 封信,共有 4 种投法;
同理,第 2 个信箱也有 4 种投法,第 3 个信箱也有 4 种投法.
根据分步乘法计数原理,共有 34 4 4 4 64 种不同的投法.
【错因分析】要完成的一件事是“将 4 封信投入到 3 个信箱中”,且 1 封信只能投入 1 个信箱,错解中会出现
1 封信同时投入 2 个信箱或 3 个信箱的情况,这是不可能发生的.因此,分步的依据应该是“信”,而不应该是
“信箱”.
【试题解析】第 1 封信可以投入 3 个信箱中的任意一个,有 3 种投法;
同理,第 2,3,4 封信各有 3 种投法.
根据分步乘法计数原理,共有 43 3 3 3 3 81 种投法.
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【参考答案】81 种.
对于一类元素允许重复选取的计数问题,可以用分步乘法计数原理来解决,求解的关键是明确要完成
的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时,哪类元素必须“用完”就以哪类元
素作为分步的依据.对于本题,若是将 3 封信投入到 4 个信箱中,则共有 34 4 4 4 64 种不同的投法.
1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可;
(2)完成每一步有若干方法;
(3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2.应用分步乘法计数原理要注意的问题:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这
件事的,也就是说必须要经过几步才能完成这件事.
(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步骤,这件
事都不可能完成.
(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步
骤之间既不能重复也不能遗漏.
2.5 名男生与 5 名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有 2 名女生,且女生不排在两端,这样的排列种
数为
A.5760 B.57600
C.2880 D.28800
【答案】B
【解析】先选 2 名女生放在男生甲与男生乙之间,并捆绑在一起看作一个复合元素,即 种排法,女
生不排在两端,则加上另外的 3 名男生共 4 个选择中选 2 个排在两端,即 种排法,剩下的元素全排列,
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即 种排法,故有 =57600.
故选:B.
易错点 3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件
解不等式 2
8 8A 6Ax x .
【错解】由排列数公式得 8! 8!6(8 )! (10 )!x x
,化简得 x2-19x+84<0,解之得 70,8≥x,导致
错误.
【试题解析】由 2
8 8A 6Ax x ,得 8! 8!6(8 )! (10 )!x x
,
化简得 x2-19x+84<0,解之得 70,
∴2
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