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- 2021-06-16 发布
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§1.1 习题课
课时目标1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系
与集合的基本运算．
1．若 A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则 A∩B 等于( )
A．{x|x>－1}B．{x|x<3}
C．{x|－15}，则 M∪N 等于( )
A．{x|x<－5 或 x>－3}B．{x|－55}
3．设集合 A＝{x|x≤ 13}，a＝ 11，那么( )
A．a AB．a∉A
C．{a}∉AD．{a} A
4．设全集 I＝{a，b，c，d，e}，集合 M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁
IM)∩(∁IN)等于( )
A．∅B．{d}
C．{b，e}D．{a，c}
5．设 A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合 A 与 B 的关
系为____________．
6．设 A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：
(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩(∁A(B∪C))．
一、选择题
1．设 P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则( )
A．P⊆QB．Q⊆P
C．P⊆∁RQD．Q⊆∁RP
2．符合条件{a} P⊆{a，b，c}的集合 P 的个数是( )
A．2B．3
C．4D．5
3．设 M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系
正确的是( )
A．M＝PB．M P
C．P MD．M 与 P 没有公共元素
4．如图所示，M，P，S 是 V 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪S
C．(M∩S)∩(∁SP) D．(M∩P)∪(∁VS)
5．已知集合 A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3a}，如果 A∪B＝R，那么 a 的取值范围是
________．
7．集合 A＝{1,2,3,5}，当 x∈A 时，若 x－1∉A，x＋1∉A，则称 x 为 A 的一个“孤
立元素”，则 A 中孤立元素的个数为____．
8．已知全集 U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁UA＝{5}，则 a＝________.
9．设 U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁UM)∪(∁UN)＝
________________.
三、解答题
10．已知集合 A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求 A∩B；
(2)若集合 C＝{x|2x＋a>0}，满足 B∪C＝C，求实数 a 的取值范围．
11．某班 50 名同学参加一次智力竞猜活动，对其中 A，B，C 三道知识题作答
情况如下：答错 A 者 17 人，答错 B 者 15 人，答错 C 者 11 人，答错 A，B 者
5 人，答错 A，C 者 3 人，答错 B，C 者 4 人，A，B，C 都答错的有 1 人，问
A，B，C 都答对的有多少人？
能力提升
12．对于 k∈A，如果 k－1∉A 且 k＋1∉A，那么 k 是 A 的一个“孤立元”，给
定 S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”
的集合共有几个？
13．设数集 M＝{x|m≤x≤m＋3
4}，N＝{x|n－1
3
≤x≤n}，且 M，N 都是集合 U
＝{x|0≤x≤1}的子集，定义 b－a 为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合 M∩N
的长度的最小值．
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能
将题目中符号语言准确转化为文字语言．
2．集合运算的法则可借助于 Venn 图理解，无限集的交集、并集和补集运算可
结合数轴，运用数形结合思想．
3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．
4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合
问题可变得更简单．
§1.1 习题课
双基演练
1．C [∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，
∴A∩B＝{x|－15 在数轴上表示出来，不难
看出 M∪N＝{x|x<－5 或 x>－3}．]
3．D
4．A [∵∁IM＝{d，e}，∁IN＝{a，c}，
∴(∁IM)∩(∁IN)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]
5．A＝B
解析 4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见 A＝B.
6．解 ∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}
(1)又∵B∩C＝{3}，
∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，
∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．
作业设计
1．B [Q＝{x|－2a－1，∴A≠∅.有 a－1≤3，
a＋2≥5.
解得 3≤a≤4.]
6．a≤2
解析 如图中的数轴所示，
要使 A∪B＝R，a≤2.
7．1
解析 当 x＝1 时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；
当 x＝2 时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当 x＝3 时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；
当 x＝5 时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；
综上可知，A 中只有一个孤立元素 5.
8．4
解析 ∵A∪(∁UA)＝U，
由∁UA＝{5}知，a2－2a－3＝5，
∴a＝－2，或 a＝4.
当 a＝－2 时，|a－7|＝9,9∉U，∴a≠－2.
a＝4 经验证，符合题意．
9．{x|x<1 或 x≥5}
解析 ∁UM＝{x|x<1}，∁UN＝{x|x<0 或 x≥5}，
故(∁UM)∪(∁UN)＝{x|x<1 或 x≥5}
或由 M∩N＝{x|1≤x<5}，(∁UM)∪(∁UN)＝∁U(M∩N)
＝{x|x<1 或 x≥5}．
10．解 (1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－a
2}，B∪C＝C⇔B⊆C，
∴－a
2<2，∴a>－4.
11.
解 由题意，设全班同学为全集 U，画出 Venn 图，A 表示答错 A 的集合，B
表示答错 B 的集合，C 表示答错 C 的集合，将其集合中元素数目填入图中，
自中心区域向四周的各区域数目分别为 1,2,3,4,10,7,5，因此 A∪B∪C 中元素数
目为 32，从而至少错一题的共 32 人，因此 A，B，C 全对的有 50－32＝18 人．
12．解 依题意可知，“孤立元”必须是没有与 k 相邻的元素，因而无“孤立
元”是指在集合中有与 k 相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，
{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共 6 个．
13．解 在数轴上表示出集合 M 与 N，可知当 m＝0 且 n＝1 或 n－1
3
＝0 且 m
＋3
4
＝1 时，M∩N 的“长度”最小．当 m＝0 且 n＝1 时，M∩N＝{x|2
3
≤x≤3
4}，
长度为3
4
－2
3
＝ 1
12
；当 n＝1
3
且 m＝1
4
时，M∩N＝{x|1
4
≤x≤1
3}，长度为1
3
－1
4
＝ 1
12.
综上，M∩N 的长度的最小值为 1
12.
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