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  • 2021-06-16 发布

高中数学第8章圆锥曲线方程(第3课时)椭圆及其标准方程(3)

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课 题:8.1椭圆及其标准方程(三)‎ 教学目的:‎ ‎1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 ‎2.使学生掌握转移法(也称代换法,中间变量法,相关点法)求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决 教学重点:运用中间变量法求动点的轨迹 教学难点:运用中间变量法求动点的轨迹 授课类型:新授课 ‎ 课时安排:1课时 ‎ 教 具:多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ ‎1 椭圆定义:‎ 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ‎ 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方:(1)两个定点---两点间距离确定(2)绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁(线段)两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆(圆)椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)‎ ‎2.椭圆标准方程:‎ ‎(1)‎ 它所表示的椭圆的焦点在轴上,焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程 其中 ‎(2)‎ 它所表示的椭圆的焦点在轴上,焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程 其中 在与这两个标准方程中,都有的要求,如方程就不能肯定焦点在哪个轴上;分清两种形式的标准方程,可与直线截距式类比,如中,由于,所以在轴上的“截距”更大,因而焦点在轴上(即看分母的大小) ‎ 二、讲解范例:‎ 例1 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ,求线段PPˊ的中点M的轨迹(若M分 PPˊ之比为,求点M的轨迹)‎ 解:(1)当M是线段PPˊ的中点时,设动点的坐标为,则的坐标为 ‎ 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上,‎ 所以有 ,即 ‎ 所以点的轨迹是椭圆,方程是 ‎ ‎(2)当M分 PPˊ之比为时,设动点的坐标为,则的坐标为 ‎ 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上,‎ 所以有 ,即 ‎ 所以点的轨迹是椭圆,方程是 ‎ 例2 已知轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆上的动点,求AQ中点M的轨迹方程 解:设动点的坐标为,则的坐标为 ‎ 因为点为椭圆上的点,‎ 所以有 ,即 所以点的轨迹方程是 ‎ 例3 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动,点M分AB的比为,求点M的轨迹方程 解:设动点的坐标为,则的坐标为 的坐标为 ‎ 因为,‎ 所以有 ,即 所以点的轨迹方程是 ‎ 例4 已知定圆,动圆M和已知圆内切且过点P(-3,0),求圆心M的轨迹及其方程 ‎ ‎ 分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形,用数学符号表示此结论: ‎ ‎ 上式可以变形为,又因为,所以圆心M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆 ‎ ‎ 解 已知圆可化为:‎ 圆心Q(3,0),,所以P在定圆内 设动圆圆心为,则为半径 又圆M和圆Q内切,所以,‎ 即 ,故M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,且PQ中点为原点,所以,,故动圆圆心M的轨迹方程是: ‎ 三、课堂练习:‎ ‎(1)已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离是 ( ) A.2 B.3 C.5 D.7 答案:D ‎(2)已知椭圆方程为,那么它的焦距是 ( ) A.6 B.3 C.3 D. 答案:A ‎(3)如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 ‎ A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1) 答案:D ‎(4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1(-2,0),F2(2,0),并且经过点P(),则椭圆标准方程是_____ 答案:‎ ‎(5)过点A(-1,-2)且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是____ 答案:‎ ‎(6)过点P(,-2),Q(-2,1)两点的椭圆标准方程是______‎ 答案:‎ 四、小结 :用转移法求轨迹方程的方法 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动,而另一个点又在有规律的曲线上运动,这种情况下才能应用的,运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 ‎ 五、课后作业:‎ ‎1.已知圆=1,从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PP′,求线段PP′的中点M的轨迹.‎ 选题意图:训练相关点法求轨迹方程的方法,考查“通过方程,研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.‎ 解:设点M的坐标为,则点P的坐标为.‎ ‎∵P在圆上,∴,即.‎ ‎∴点M的轨迹是一个椭圆 ‎2.△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),另两边AB、AC的斜率的乘积是-,求顶点A的轨迹方程. 选题意图:巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,训练根据条件对一些点进行取舍.‎ 解:设顶点A的坐标为.‎ 依题意得 ,‎ ‎∴顶点A的轨迹方程为 .‎ 说明:方程对应的椭圆与轴有两个交点,而此两交点为(0,-6)与(0,6)应舍去.‎ ‎3.已知椭圆的焦点是,P为椭圆上一点,且||是||和||的等差中项.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若点P在第三象限,且∠=120°,求. 选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.‎ 解:(1)由题设||+||=2||=4‎ ‎∴, 2c=2, ∴b=‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设∠,则∠=60°-θ 由正弦定理得:‎ 由等比定理得:‎ 整理得: 故 ‎.‎ 说明:曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形,与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质,借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来,再去解三角形作答 六、板书设计(略)‎ 七、课后记: ‎