高中数学第8章圆锥曲线方程（第3课时）椭圆及其标准方程(3) 6页

课 题：8．1椭圆及其标准方程（三）‎ 教学目的：‎ ‎1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 ‎2.使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决 教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹 教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1 椭圆定义：‎ 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ‎ 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)‎ ‎2.椭圆标准方程：‎ ‎（1）‎ 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 ‎（2）‎ 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程 其中 在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小) ‎ 二、讲解范例：‎ 例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）‎ 解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为 ‎ 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，‎ 所以有 ，即 ‎ 所以点的轨迹是椭圆，方程是 ‎ ‎（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为 ‎ 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，‎ 所以有 ，即 ‎ 所以点的轨迹是椭圆，方程是 ‎ 例2 已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程 解：设动点的坐标为，则的坐标为 ‎ 因为点为椭圆上的点，‎ 所以有 ，即 所以点的轨迹方程是 ‎ 例3 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程 解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为 ‎ 因为，‎ 所以有 ，即 所以点的轨迹方程是 ‎ 例4 已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 ‎ ‎ 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论： ‎ ‎ 上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 ‎ ‎ 解 已知圆可化为：‎ 圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，‎ 即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是： ‎ 三、课堂练习：‎ ‎（1）已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是 （ ） A.2 B.3 C.5 D.7 答案：D ‎（2）已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. 答案：A ‎（3）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ‎ A.（0，+∞） B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1) 答案：D ‎(4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是_____ 答案：‎ ‎（5）过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是____ 答案：‎ ‎（6）过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是______‎ 答案：‎ 四、小结 ：用转移法求轨迹方程的方法 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 ‎ 五、课后作业：‎ ‎1．已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹.‎ 选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.‎ 解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.‎ ‎∵P在圆上，∴，即.‎ ‎∴点M的轨迹是一个椭圆 ‎2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程. 选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.‎ 解：设顶点A的坐标为.‎ 依题意得 ，‎ ‎∴顶点A的轨迹方程为 .‎ 说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.‎ ‎3．已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且｜｜是｜｜和｜｜的等差中项.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若点P在第三象限，且∠＝120°，求. 选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.‎ 解：(1)由题设｜｜＋｜｜＝２｜｜＝4‎ ‎∴， 2c=2， ∴ｂ＝‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（２）设∠，则∠＝60°－θ 由正弦定理得：‎ 由等比定理得：‎ 整理得： 故 ‎.‎ 说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答 六、板书设计（略）‎ 七、课后记： ‎