上海市崇明区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析 16页

www.ks5u.com ‎2020届上海市崇明区高三数学二模试卷 一、填空题 ‎1.行列式的值等于____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据行列式定义直接计算得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.‎ ‎2.设集合，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：因为集合，，则 ‎3.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=____________‎ ‎【答案】1-2i ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.已知函数，其反函数为，则____________‎ ‎【答案】1‎ - 16 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取，解得，得到答案.‎ ‎【详解】，取，解得，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性质的灵活运用.‎ ‎5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据体积公式直接计算得到答案.‎ ‎【详解】由于正视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的高为，底面半径为1，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎6.的展开式中含项的系数是____________（用数字作答）‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】展开式的通项为：，‎ 取得到项的系数是.‎ 故答案为：.‎ - 16 -‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎7.若，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，故，再计算极限得到答案.‎ ‎【详解】，，解得，，‎ 故，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.‎ ‎9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________‎ - 16 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，不妨取，，，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，，不妨取，，‎ 取，故，即 故，最小值为，故当时，的最小值是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎10.已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设，则，依次验证得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，，‎ 不妨设，则，‎ 当时，，，‎ 则必有一个数为，验证知无解，故不成立；‎ 当时，，，‎ 取，，满足条件.‎ - 16 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎11.在中，，则面积的最大值是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时等号成立.此时，即时，满足题意.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎12.对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 16 -‎ 考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.‎ ‎【详解】当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；‎ 当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；‎ 当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.‎ 二、选择题 ‎13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据系数矩阵的定义得到答案.‎ ‎【详解】矩阵是线性方程组的系数矩阵，则.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.‎ ‎14.若抛物线焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 16 -‎ ‎【分析】‎ 计算抛物线焦点为，计算得到答案.‎ ‎【详解】抛物线的焦点，故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.‎ ‎15.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（ ）‎ A. 是等差数列 B. 或是等差数列 C. 和都是等差数列 D. 和都是等差数列，且公差相同 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，为等差数列，‎ 故为定值，故为定值.‎ 则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.‎ ‎16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 16 -‎ ‎【分析】‎ 设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.‎ ‎【详解】都不是空集，设，则；，则.‎ 当时：方程的解为 此时，满足；‎ 当时：的解为或 ‎ ‎，则或 ‎，则无解， ‎ 综上所述：，‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.‎ 三、解答题 ‎17.如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.‎ ‎（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；‎ ‎（2）求点C到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定为直线BE与平面ABCD所成的角，计算得到答案.‎ - 16 -‎ ‎（2）根据平行得到点C到平面的距离等于到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）如图所示：连接，正方体，故平面，‎ 故为直线BE与平面ABCD所成的角，，‎ 故直线BE与平面ABCD所成的角的大小为.‎ ‎（2），故平面，‎ 故点C到平面的距离等于到平面的距离，‎ ‎，‎ 中：，，，‎ 根据余弦定理：，故，‎ ‎，故，‎ 故点C到平面的距离为.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎18.已知函数 ‎（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；‎ - 16 -‎ ‎（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）在其定义域上是增函数，证明见解析 （2）当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，计算，得到答案.‎ ‎（2）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.‎ ‎【详解】（1）函数单调递增，‎ 设，则，‎ 易知，，故，，函数单调递增.‎ ‎（2），，‎ 当时，，函数为奇函数；‎ 当时，，函数不是奇函数，‎ ‎，，，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.‎ 综上所述：当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ ‎19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.‎ - 16 -‎ ‎（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；‎ ‎（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）‎ ‎【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，根据正弦定理计算得到答案.‎ ‎（2）设，根据正弦定理得到，计算得到 答案.‎ ‎【详解】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，‎ 在中：，故.‎ ‎（2）设，则，‎ 故，，‎ ‎，‎ 当时，等号成立，故至多需要.‎ - 16 -‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.‎ ‎（1）当时，求线段AF的长；‎ ‎（2）求证：点P在椭圆上；‎ ‎（3）求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，得到距离 ‎（2）计算：，：，消去得到，得到证明 ‎（3）设点、，设直线的方程为，联立方程得到，，，设，根据函数单调性得到答案.‎ - 16 -‎ ‎【详解】（1），代入椭圆方程得到，，故.‎ ‎（2）计算得到，，‎ 故：，：，消去得到，‎ 代入方程得到：，化简得到，故点P在椭圆上.‎ ‎（3）设点、，设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 由韦达定理得，，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 函数在上单调递减，则.‎ 当时，等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.‎ ‎21.在无穷数列中，，且，记的前n项和为.‎ ‎（1）若，求的值；‎ - 16 -‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）证明：中必有一项为1或3.‎ ‎【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.‎ ‎（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.‎ ‎（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），故，故.‎ ‎（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；‎ 当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；‎ 当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；‎ 当为奇数，为奇数时，，无整数解；‎ 综上所述：.‎ ‎（3）设中最小的奇数为，则，，‎ 若为奇数，则，解得；‎ 若为偶数，则，，为奇数，解得；‎ 又，∴中必有一项为1或3.‎ 综上所述：，故中必有一项为1或3.‎ ‎【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ - 16 -‎ - 16 -‎ - 16 -‎