黑龙江省齐齐哈尔市2020届高三二模考试数学（理）试题 Word版含解析 24页

www.ks5u.com 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，.则集合等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出集合，再与集合B求交集即可.‎ ‎【详解】因为或.所以，又因为.‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.‎ ‎2.设复数满足为虚数单位)，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.‎ ‎【详解】由已知，，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ - 24 -‎ ‎3.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.‎ ‎【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.‎ ‎4.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）‎ A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省 B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长 C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位省份有2个 D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度 - 24 -‎ 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.‎ 故D项不正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.‎ ‎5.已知为锐角，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，再利用计算即可.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.‎ ‎6.已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】由余弦定理，得，由，解得，‎ 所以，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎7.设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定义在R上的奇函数的性质，可得，求出，于是可得在时的解析式，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数在上单调递增，再由为定义在上的奇函数，可知在上单调递增，注意到，利用函数单调性即可解决．‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增，由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．‎ - 24 -‎ ‎8.如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，将,代入化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.‎ ‎9.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移 - 24 -‎ 个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.‎ ‎【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.‎ ‎，又.‎ ‎.‎ ‎∴平移后曲线为.‎ 曲线的一个对称中心为.‎ ‎.‎ ‎，注意到 故的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.‎ - 24 -‎ ‎10.半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，‎ 在中，，化为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，此时.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.‎ - 24 -‎ ‎11.已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.‎ ‎【详解】过作与准线垂直，垂足为，，‎ 则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，‎ 易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，‎ 则.则，‎ 则直线的方程为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.‎ - 24 -‎ ‎12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.‎ ‎【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，‎ 如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；‎ 当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，‎ 则，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ - 24 -‎ ‎13.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.‎ ‎【详解】由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆 柱组合而成，其体积为.‎ 故答案为：20.‎ ‎【点睛】本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎14.展开式中的系数为________.‎ ‎【答案】80.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需找到展开式中的项的系数即可.‎ ‎【详解】展开式的通项为，令，‎ - 24 -‎ 则，故的展开式中的系数为80.‎ 故答案为：80.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.‎ ‎15.已知，则________(填“>”或“=”或“<”).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 注意到，故只需比较与1的大小即可.‎ ‎【详解】由已知，，故有.又由，‎ 故有.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎16.已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得 - 24 -‎ ‎，再求的值域即可.‎ ‎【详解】如图，‎ 设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，‎ 故.‎ 在中，‎ 由双曲线的定义可得 ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答，‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ - 24 -‎ ‎17.如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明平面，只需证明，即可：‎ ‎（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.‎ ‎【详解】（1）∵底面为菱形，‎ ‎∵直棱柱平面.‎ ‎∵平面.‎ ‎.‎ 平面；‎ - 24 -‎ ‎（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：‎ ‎，‎ 点，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，‎ 有，令，‎ 得 又，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 所以 故直线与平面所成的角的正弦值为.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.‎ ‎18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：‎ 分组 频数 ‎（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？‎ ‎（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1），乙公司影响度高；（2）见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；‎ ‎（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）由直方图知，，解得，‎ 由频数分布表中知：，解得 所以，甲公司的导游优秀率为：，‎ 乙公司的导游优秀率为：，‎ 由于，所以乙公司影响度高.‎ ‎（2）甲公司旅游总收入在中的有人，‎ 乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：‎ ‎，;‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.‎ ‎19.已知数列，满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）分别求数列，的前项和，.‎ ‎【答案】（1）（2）；‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），，可得为公比为2的等比数列，可得为公差为1的等差数列，再算出，的通项公式，解方程组即可；‎ ‎（2）利用分组求和法解决.‎ ‎【详解】（1）依题意有 又.‎ 可得数列为公比为2的等比数列，为公差为1的等差数列，‎ 由，得 解得 故数列，的通项公式分别为.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线 - 24 -‎ 相交于点.‎ ‎（1）求证：.‎ ‎（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.‎ 附：多项式因式分解公式：‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；‎ ‎（2），分，两种情况讨论即可.‎ ‎【详解】（1）证明：点的坐标为.‎ 联立方程，消去后整理为 有，可得，，.‎ 可得点的坐标为.‎ 当时，可求得点的坐标为，‎ ‎，.‎ - 24 -‎ 有,‎ 故有.‎ ‎（2）若点在轴上方，因为，所以有，‎ 由（1）知 ‎①因为时.由（1）知，‎ 由函数单调递增，可得此时.‎ ‎②当时，由（1）知 令 由 ‎，故当时，‎ ‎，此时函数单调递增：当时，，此时函数单 调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时 ‎，可求得.‎ 由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明，只需证明即可；‎ ‎（2）有3个根，可转化为有3个根，即与有3个不同交点，利用导数作出图象即可.‎ ‎【详解】（1）令，则，当时，，‎ 故在上单调递增，所以，‎ 即，所以.‎ ‎（2）由已知，，‎ 依题意，有3个零点，即有3个根，显然0不是其根，所以 有3个根，令，则，当时，，当 时，，当时，，故在单调递减，在，上 单调递增，作出的图象，易得.‎ 故实数的取值范围为.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角 ‎（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；‎ ‎（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.‎ ‎【答案】（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；‎ ‎（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.‎ ‎【详解】（1）曲线C：(为参数，)‎ ‎，‎ 将代入，解得，‎ - 24 -‎ 即曲线的极坐标方程为，‎ 点的极坐标为.‎ ‎（2)由（1），得点的极坐标为，‎ 由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）零点分段法分，，三种情况讨论即可；‎ ‎（2）只需找到的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）由.‎ 若时，，解得；‎ 若时，，解得；‎ 若时，，解得；‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）由，有，得，‎ - 24 -‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎