高中数学（人教版必修5）配套练习：1-2应用举例第2课时 9页

第一章 1.2 第 2 课时 一、选择题 1．如图，从气球 A 测得济南全运会东荷、西柳个场馆 B、C 的俯角 分 别为α、β，此时气球的高度为 h，则两个场馆 B、C 间的距离为( ) A．hsinαsinβ sinα－β B．hsinβ－α sinαsinβ C． hsinα sinβsinα－β D． hsinβ sinαsinα－β [答案] B [解析] 在 Rt△ADC 中，AC＝ h sinβ ，在△ABC 中，由正弦定理，得 BC＝ACsinβ－α sinα ＝ hsinβ－α sinαsinβ . 2．某工程中要将一长为 100 m 倾斜角为 75°的斜坡，改造成倾斜角为 30°的斜坡，并保持 坡高不变，则坡底需加长( ) A．100 2m B．100 3m C．50( 2＋ 6)m D．200m [答案] A [解析] 如图，由条件知， AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°) ＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°) ＝25( 6＋ 2)， CD＝100cos75°＝25( 6－ 2)， BD＝ AD tan30° ＝25 6＋ 2 3 3 ＝25(3 2＋ 6)． ∴BC＝BD－CD＝25(3 2＋ 6)－25( 6－ 2) ＝100 2(m)． 3．要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点 测得塔顶 A 的仰角是 30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为 ( ) A．10 2m B．20m C．20 3m D．40m [答案] D [解析] 设 AB＝xm，则 BC＝xm，BD＝ 3xm，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°， ∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)． 4．若甲船在 B 岛的正南方 A 处，AB＝10km，甲船以 4km/h 的速度向正北航行，同时， 乙船自 B 岛出发以 6km/h 的速度向北偏东 60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们 的航行时间是( ) A．150 7 min B．15 7 h C．21.5min D．2.15h [答案] A [解析] 当时间 t<2.5h 时，如图． ∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t. 在△BCD 中，利用余弦定理，得 CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100. 当 t＝ 20 2×28 ＝ 5 14(h)，即 150 7 min 时，CD2 最小，即 CD 最小为 675 7 . 当 t≥2.5h 时，CF＝15× 3 2 ，CF2＝675 4 >CD2， 故距离最近时，t<2.5h，即 t＝150 7 min. 5．江岸边有一炮台高 30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，而且 两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距( ) A．10 3m B．100 3m C．20 30m D．30m [答案] D [解析] 设炮塔顶 A、底 D，两船 B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°， AD＝30，∴DB＝30，DC＝30 3，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900， ∴BC＝30. 6．如图所示，在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为 30°的山坡向山顶 走 1 000m 到达 S 点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高 BC 为( ) A．500 2m B．200m C．1 000 2m D．1 000m [答案] D [解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°， ∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB＝AS·sin135° sin30° ＝ 1 000× 2 2 1 2 ＝1 000 2， ∴BC＝AB·sin45°＝1 000 2× 2 2 ＝1 000(m)． 二、填空题 7．某海岛周围 38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东 60°方向，航 行 30n mile 后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险(填“有”或 “无”)． [答案] 无 [解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，AB＝30， ∠BAC＝30°， ∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°， 由正弦定理，得 BC＝ABsin∠BAC sin∠ACB ＝30sin30° sin15° ＝ 15 6－ 2 4 ＝15( 6＋ 2)． 在 Rt△BDC 中，CD＝ 2 2 BC＝15( 3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险． 8．甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60°的 B 处，乙船正以 a n mile/h 的速度向北行驶．已知 甲船的速度是 3a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？ [答案] 北偏东 30° [解析] 如图，设经过 t h 两船在 C 点相遇， 则在△ABC 中， BC＝at，AC＝ 3at，B＝180°－60°＝120°， 由 BC sin∠CAB ＝ AC sinB ， 得 sin∠CAB＝BCsinB AC ＝at·sin120° 3at ＝1 2. ∵0°<∠CAB<90°， ∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°. 即甲船应沿北偏东 30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 三、解答题 9．如图所示，两点 C、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点 C1、 D1，利用高为 1.5 m 的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝ 60°，C、D 间的距离是 12 m，计算烟囱的高 AB.(精确到 0.01 m) [解析] 在△BC1D1 中，∠BD1C1 ＝120°，∠C1BD1 ＝15°.由正弦定理 C1D1 sin∠C1BD1 ＝ BC1 sin∠BD1C1 ， ∴BC1＝12sin120° sin15° ＝18 2＋6 6，∴A1B＝ 2 2 BC1＝18＋6 3，则 AB＝A1B＋AA1≈29.89(m)． 10．在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2n mile 的 C 处 的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向 能最快追上走私船？ [解析] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝ 6. 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠ABC＝AC BCsin∠BAC＝ 2 2 ， ∴∠ABC＝45°，∴BC 与正北方向垂直． ∴∠CBD＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得 CD sin∠CBD ＝ BD sin∠BCD ， ∴ 10 3t sin120° ＝ 10t sin∠BCD ， ∴sin∠BCD＝1 2 ，∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东 60°的方向能最快追上走私船. 一、选择题 1．飞机沿水平方向飞行，在 A 处测得正前下方地面目标 C 的俯角为 30°，向前飞行 10 000m 到达 B 处，此时测得正前下方目标 C 的俯角为 75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A．2 500( 3－1)m B．5 000 2m C．4 000m D．4 000 2m [答案] A [解析] 示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°， ∴∠ACB＝45°，AB＝10 000. 由正弦定理，得10 000 sin45° ＝ BC sin30° ，又 cos75°＝BD BC ， ∴BD＝10 000·sin30° sin45° ·cos75°＝2 500( 3－1)(m)． 2．渡轮以 15km/h 的速度沿与水流方向成 120°角的方向行驶，水流速度为 4km/h，则渡 轮实际航行的速度为(精确到 0.1km/h)( ) A．14.5km/h B．15.6km/h C．13.5km/h D．11.3km/h [答案] C [解析] 由物理学知识， 画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4， ∠BAD＝120°.在▱ABCD 中，D＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理，得 AC＝ AD2＋CD2－2AD×CD×cosD ＝ 16＋225－4×15＝ 181≈13.5(km/h)． 故选 C． 3．在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为 60°和 30°，已知建筑物底部高出地面 D 点 20m，则建筑物高度为( ) A．20m B．30m C．40m D．60m [答案] C [解析] 设 O 为塔顶在地面的射影，在 Rt△BOD 中，∠ODB＝30°， OB＝20，BD＝40，OD＝20 3， 在 Rt△AOD 中，OA＝OD·tan60°＝60， ∴AB＝OA－OB＝40. 4.如图所示，在地面上共线的三点 A，B，C 处测得一建筑物的仰角分 别为 30°，45°，60°，且 AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( ) A．15 6m B．20 6m C．25 6m D．30 6m [答案] D [解析] 设建筑物的高度为 h，由题图知，PA＝2h，PB＝ 2h，PC＝2 3 3 h， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得 cos∠PBA＝602＋2h2－4h2 2×60× 2h ，① cos∠PBC＝ 602＋2h2－4 3h2 2×60× 2h .② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得 h＝30 6或 h＝－30 6(舍去)， 即建筑物的高度为 30 6m. 二、填空题 5．学校里有一棵树，甲同学在 A 地测得树尖的仰角为 45°，乙同学在 B 地测得树尖的仰 角为 30°，量得 AB＝AC＝10m 树根部为 C(A、B、C 在同一水平面上)，则∠ACB＝________. [答案] 30° [解析] 如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10， ∵∠DBC＝30°，∴BC＝10 3， cos∠ACB＝102＋10 32－102 2×10×10 3 ＝ 3 2 ， ∴∠ACB＝30°. 6．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观 测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100m，则山高 MN＝________m . [答案] 150m [解析] 本题考查解三角形中的应用举例． 如图， 在 Rt△ABC 中，BC＝100，∠CAB＝45°， ∴AC＝100 2. 在△AMC 中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°， ∴∠AMC＝45°. 由正弦定理知 AM sin60° ＝100 2 sin45° ， ∴AM＝100 3. 在 Rt△AMN 中，∠NAM＝60°， ∴MN＝AM·sin60°＝100 3× 3 2 ＝150(m)． 三、解答题 7.如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12n mile，渔船乙以 10n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航 行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用 2h 追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求 sinα的值． [解析] (1)在△ABC 中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BAC ＝α. 由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784. 解得 BC＝28. 所以渔船甲的速度为BC 2 ＝14n mile/h. (2)在△ABC 中，因为 AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得 AB sinα ＝ BC sin120°. 即 sinα＝ABsin120° BC ＝ 12× 3 2 28 ＝3 3 14 . 8．据气象台预报，在 S 岛正东距 S 岛 300 km 的 A 处有一台风中心形成，并以每小时 30 km 的速度向北偏西 30°的方向移动，在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响． 问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响？ 持续时间多久？说明理由． [分析] 设 B 为台风中心，则 B 为 AB 边上动点，SB 也随之变化．S 岛是否受台风影响可 转化为 SB≤270 这一不等式是否有解的判断，则需表示 SB，可设台风中心经过 th 到达 B 点， 则在△ABS 中，由余弦定理可求 SB. [解析] 如图，设台风中心经过 th 到达 B 点，由题意： ∠SAB＝90°－30°＝60°， 在△SAB 中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°， 由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB ＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°. 若 S 岛受到台风影响，则应满足条件 |SB|≤270 即 SB2≤2702， 化简整理得 t2－10t＋19≤0， 解之得 5－ 6≤t≤5＋ 6， 所以从现在起，经过(5－ 6)h S 岛开始受到影响，(5＋ 6)小时后影响结束，持续时间： (5＋ 6)－(5－ 6)＝2 6(h)． 答：S 岛从现在起经过(5－ 6)h 受到台风影响，且持续时间为 2 6h.