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  • 2021-06-16 发布

高中数学(人教版必修5)配套练习:1-2应用举例第2课时

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第一章 1.2 第 2 课时 一、选择题 1.如图,从气球 A 测得济南全运会东荷、西柳个场馆 B、C 的俯角 分 别为α、β,此时气球的高度为 h,则两个场馆 B、C 间的距离为( ) A.hsinαsinβ sinα-β B.hsinβ-α sinαsinβ C. hsinα sinβsinα-β D. hsinβ sinαsinα-β [答案] B [解析] 在 Rt△ADC 中,AC= h sinβ ,在△ABC 中,由正弦定理,得 BC=ACsinβ-α sinα = hsinβ-α sinαsinβ . 2.某工程中要将一长为 100 m 倾斜角为 75°的斜坡,改造成倾斜角为 30°的斜坡,并保持 坡高不变,则坡底需加长( ) A.100 2m B.100 3m C.50( 2+ 6)m D.200m [答案] A [解析] 如图,由条件知, AD=100sin75°=100sin(45°+30°) =100(sin45°cos30°+cos45°sin30°) =25( 6+ 2), CD=100cos75°=25( 6- 2), BD= AD tan30° =25 6+ 2 3 3 =25(3 2+ 6). ∴BC=BD-CD=25(3 2+ 6)-25( 6- 2) =100 2(m). 3.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点 测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为 ( ) A.10 2m B.20m C.20 3m D.40m [答案] D [解析] 设 AB=xm,则 BC=xm,BD= 3xm,在△BCD 中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°, ∴x2-20x-800=0,∴x=40(m). 4.若甲船在 B 岛的正南方 A 处,AB=10km,甲船以 4km/h 的速度向正北航行,同时, 乙船自 B 岛出发以 6km/h 的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们 的航行时间是( ) A.150 7 min B.15 7 h C.21.5min D.2.15h [答案] A [解析] 当时间 t<2.5h 时,如图. ∠CBD=120°,BD=10-4t,BC=6t. 在△BCD 中,利用余弦定理,得 CD2=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos120°=28t2-20t+100. 当 t= 20 2×28 = 5 14(h),即 150 7 min 时,CD2 最小,即 CD 最小为 675 7 . 当 t≥2.5h 时,CF=15× 3 2 ,CF2=675 4 >CD2, 故距离最近时,t<2.5h,即 t=150 7 min. 5.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°,而且 两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距( ) A.10 3m B.100 3m C.20 30m D.30m [答案] D [解析] 设炮塔顶 A、底 D,两船 B、C,则∠ABD=45°,∠ACD=30°,∠BDC=30°, AD=30,∴DB=30,DC=30 3,BC2=DB2+DC2-2DB·DC·cos30°=900, ∴BC=30. 6.如图所示,在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为 30°的山坡向山顶 走 1 000m 到达 S 点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高 BC 为( ) A.500 2m B.200m C.1 000 2m D.1 000m [答案] D [解析] ∵∠SAB=45°-30°=15°, ∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°, 在△ABS 中,AB=AS·sin135° sin30° = 1 000× 2 2 1 2 =1 000 2, ∴BC=AB·sin45°=1 000 2× 2 2 =1 000(m). 二、填空题 7.某海岛周围 38n mile 有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东 60°方向,航 行 30n mile 后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁危险(填“有”或 “无”). [答案] 无 [解析] 如图所示,由题意在△ABC 中,AB=30, ∠BAC=30°, ∠ABC=135°,∴∠ACB=15°, 由正弦定理,得 BC=ABsin∠BAC sin∠ACB =30sin30° sin15° = 15 6- 2 4 =15( 6+ 2). 在 Rt△BDC 中,CD= 2 2 BC=15( 3+1)>38. ∴此船无触礁的危险. 8.甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60°的 B 处,乙船正以 a n mile/h 的速度向北行驶.已知 甲船的速度是 3a n mile/h,问甲船应沿着________方向前进,才能最快与乙船相遇? [答案] 北偏东 30° [解析] 如图,设经过 t h 两船在 C 点相遇, 则在△ABC 中, BC=at,AC= 3at,B=180°-60°=120°, 由 BC sin∠CAB = AC sinB , 得 sin∠CAB=BCsinB AC =at·sin120° 3at =1 2. ∵0°<∠CAB<90°, ∴∠CAB=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°. 即甲船应沿北偏东 30°的方向前进,才能最快与乙船相遇. 三、解答题 9.如图所示,两点 C、D 与烟囱底部在同一水平直线上,在点 C1、 D1,利用高为 1.5 m 的测角仪器,测得烟囱的仰角分别是α=45°和β= 60°,C、D 间的距离是 12 m,计算烟囱的高 AB.(精确到 0.01 m) [解析] 在△BC1D1 中,∠BD1C1 =120°,∠C1BD1 =15°.由正弦定理 C1D1 sin∠C1BD1 = BC1 sin∠BD1C1 , ∴BC1=12sin120° sin15° =18 2+6 6,∴A1B= 2 2 BC1=18+6 3,则 AB=A1B+AA1≈29.89(m). 10.在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 处 2n mile 的 C 处 的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向 能最快追上走私船? [解析] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船.在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=( 3-1)2+22-2×( 3-1)×2×cos120°=6,∴BC = 6. 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠ABC=AC BCsin∠BAC= 2 2 , ∴∠ABC=45°,∴BC 与正北方向垂直. ∴∠CBD=120°.在△BCD 中,由正弦定理,得 CD sin∠CBD = BD sin∠BCD , ∴ 10 3t sin120° = 10t sin∠BCD , ∴sin∠BCD=1 2 ,∴∠BCD=30°. 故缉私船沿北偏东 60°的方向能最快追上走私船. 一、选择题 1.飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 的俯角为 30°,向前飞行 10 000m 到达 B 处,此时测得正前下方目标 C 的俯角为 75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( ) A.2 500( 3-1)m B.5 000 2m C.4 000m D.4 000 2m [答案] A [解析] 示意图如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°, ∴∠ACB=45°,AB=10 000. 由正弦定理,得10 000 sin45° = BC sin30° ,又 cos75°=BD BC , ∴BD=10 000·sin30° sin45° ·cos75°=2 500( 3-1)(m). 2.渡轮以 15km/h 的速度沿与水流方向成 120°角的方向行驶,水流速度为 4km/h,则渡 轮实际航行的速度为(精确到 0.1km/h)( ) A.14.5km/h B.15.6km/h C.13.5km/h D.11.3km/h [答案] C [解析] 由物理学知识, 画出示意图,如图.AB=15,AD=4, ∠BAD=120°.在▱ABCD 中,D=60°, 在△ADC 中,由余弦定理,得 AC= AD2+CD2-2AD×CD×cosD = 16+225-4×15= 181≈13.5(km/h). 故选 C. 3.在地面上点 D 处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为 60°和 30°,已知建筑物底部高出地面 D 点 20m,则建筑物高度为( ) A.20m B.30m C.40m D.60m [答案] C [解析] 设 O 为塔顶在地面的射影,在 Rt△BOD 中,∠ODB=30°, OB=20,BD=40,OD=20 3, 在 Rt△AOD 中,OA=OD·tan60°=60, ∴AB=OA-OB=40. 4.如图所示,在地面上共线的三点 A,B,C 处测得一建筑物的仰角分 别为 30°,45°,60°,且 AB=BC=60 m,则建筑物的高度为( ) A.15 6m B.20 6m C.25 6m D.30 6m [答案] D [解析] 设建筑物的高度为 h,由题图知,PA=2h,PB= 2h,PC=2 3 3 h, ∴在△PBA 和△PBC 中,分别由余弦定理,得 cos∠PBA=602+2h2-4h2 2×60× 2h ,① cos∠PBC= 602+2h2-4 3h2 2×60× 2h .② ∵∠PBA+∠PBC=180°, ∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③,解得 h=30 6或 h=-30 6(舍去), 即建筑物的高度为 30 6m. 二、填空题 5.学校里有一棵树,甲同学在 A 地测得树尖的仰角为 45°,乙同学在 B 地测得树尖的仰 角为 30°,量得 AB=AC=10m 树根部为 C(A、B、C 在同一水平面上),则∠ACB=________. [答案] 30° [解析] 如图,AC=10,∠DAC=45°,∴DC=10, ∵∠DBC=30°,∴BC=10 3, cos∠ACB=102+10 32-102 2×10×10 3 = 3 2 , ∴∠ACB=30°. 6.(2014·新课标Ⅰ文,16)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观 测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN=________m . [答案] 150m [解析] 本题考查解三角形中的应用举例. 如图, 在 Rt△ABC 中,BC=100,∠CAB=45°, ∴AC=100 2. 在△AMC 中,∠CAM=75°,∠ACM=60°, ∴∠AMC=45°. 由正弦定理知 AM sin60° =100 2 sin45° , ∴AM=100 3. 在 Rt△AMN 中,∠NAM=60°, ∴MN=AM·sin60°=100 3× 3 2 =150(m). 三、解答题 7.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12n mile,渔船乙以 10n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航 行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用 2h 追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sinα的值. [解析] (1)在△ABC 中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BAC =α. 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784. 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为BC 2 =14n mile/h. (2)在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α, 由正弦定理,得 AB sinα = BC sin120°. 即 sinα=ABsin120° BC = 12× 3 2 28 =3 3 14 . 8.据气象台预报,在 S 岛正东距 S 岛 300 km 的 A 处有一台风中心形成,并以每小时 30 km 的速度向北偏西 30°的方向移动,在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响. 问:S 岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风的影响? 持续时间多久?说明理由. [分析] 设 B 为台风中心,则 B 为 AB 边上动点,SB 也随之变化.S 岛是否受台风影响可 转化为 SB≤270 这一不等式是否有解的判断,则需表示 SB,可设台风中心经过 th 到达 B 点, 则在△ABS 中,由余弦定理可求 SB. [解析] 如图,设台风中心经过 th 到达 B 点,由题意: ∠SAB=90°-30°=60°, 在△SAB 中,SA=300,AB=30t,∠SAB=60°, 由余弦定理得: SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB =3002+(30t)2-2·300·30tcos60°. 若 S 岛受到台风影响,则应满足条件 |SB|≤270 即 SB2≤2702, 化简整理得 t2-10t+19≤0, 解之得 5- 6≤t≤5+ 6, 所以从现在起,经过(5- 6)h S 岛开始受到影响,(5+ 6)小时后影响结束,持续时间: (5+ 6)-(5- 6)=2 6(h). 答:S 岛从现在起经过(5- 6)h 受到台风影响,且持续时间为 2 6h.