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  • 2021-06-16 发布

高考理科数学复习练习作业69

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专题层级快练(六十九)‎ ‎1.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值是(  )‎ A.8           B.2 C.10 D.4 答案 A 解析 由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|≤()2=8(当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号),选A.‎ ‎2.(2017·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P在椭圆上的任意一点,则·的最大值为(  )‎ A. B.6‎ C.8 D.12‎ 答案 B 解析 由题意得F(-1,0),设P(x,y),则·=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2,又点P在椭圆上,故+=1,所以x2+x+3-x2=x2+x+3=(x+2)2+2,又-2≤x≤2,所以当x=2时,(x+2)2+2取得最大值6,即·的最大值为6.‎ ‎3.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为(  )‎ A.9,12 B.8,11‎ C.8,12 D.10,12‎ 答案 C 解析 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,‎ 连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,‎ 最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.‎ ‎4.(2017·温州十校联考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴端点到直线y=a2x的距离为1,则双曲线的离心率的最小值为(  )‎ A.3 B.2‎ C. D. 答案 C 解析 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴端点(0,b)或(0,-b)到直线y=a2x的距离为1,所以=1,即b2=1+a4,所以离心率e=====≥=,当且仅当a2=,即a=1,b=时取等号,选C.‎ ‎5.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是________.‎ 答案 (2,+∞)‎ 解析 以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则|FM|>p,即y0+>p,∴y0>,即y0>2.‎ ‎6.(2017·河南郑州质检)已知椭圆C1:-=1与双曲线C2:+=1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________.‎ 答案 0,得m+2>2.‎ ‎∴0<<,->-,∴1->,即e12>.‎ 而0b>0)的离心率为,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点,且S△DEF2=1-.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)在椭圆C1落在第一象限的图像上任取一点作C1的切线l,求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.‎ 答案 (1)+y2=1 (2)2‎ 解析 (1)由题意知e==,故c=a,b=a.‎ ‎∵S△DEF2=(a-c)·b=(a-a)·=(1-)a2=1-,‎ ‎∴a2=4,即a=2,b=a=1,c=,∴椭圆C1的方程为+y2=1.‎ ‎(2)∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内一点,‎ ‎∴直线l的斜率必存在且为负.‎ 设直线l的方程为y=kx+m(k<0),联立消去y整理可得:‎ ‎(k2+)x2+2kmx+m2-1=0, ①‎ 根据题意可得方程①只有一实根,∴Δ=(2km)2-4(k2+)(m2-1)=0,‎ 整理得:m2=4k2+1. ②‎ ‎∵直线l与两坐标轴的交点分别为(-,0),(0,m)且k<0,‎ ‎∴l与坐标轴围成的三角形的面积S=·, ③‎ 将②代入③可得:S=-2k+≥2(当且仅当k=-时取等号),∴l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.‎ ‎8.(2015·浙江,理)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.‎ ‎(1)求实数m的取值范围;‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).‎ 答案 (1)m<-或m> (2) 解析 (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.‎ 由消去y,得(+)x2-x+b2-1=0.‎ 因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,‎ 所以Δ=-2b2+2+>0, ①‎ 设M为AB的中点,则M(,),代入直线方程y=mx+ 解得b=-. ②‎ 由①②得m<-或m>.‎ ‎(2)令t=∈(-,0)∪(0,),则 ‎|AB|=·,且O到直线AB的距离d=.‎ 设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤,‎ 当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.‎ ‎9.如图,F1,F2是椭圆C:+y2=1的左、右焦点,A,B是椭圆C上的两上动点,且线段AB的中点M在直线l:x=-上.‎ ‎(1)若点B的坐标为(0,1),求点M的坐标;‎ ‎(2)求·的取值范围.‎ 答案 (1)(-,)或(-,) (2)[,)‎ 解析 (1)因为点M是AB的中点,所以可设点A(-1,m).‎ 代入椭圆方程+y2=1,得m=-或m=,‎ 则点A的坐标为(-1,-)或(-1,),‎ 所以点M的坐标为(-,)或(-,).‎ ‎(2)当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程为x=-,此时·=.‎ 当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,‎ M(-,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得(x1+x2)+2(y1+y2)·=0,‎ 则-1+4mk=0,故k=.此时,直线AB的方程为y-m=(x+),即y=x+.联立方程组 消去y,整理得x2+x+=0,故Δ=1->0,即0b>0)的离心率为,且经过点P(1,).过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1⊥l2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.‎ 答案 (1)+=1 (2)[,6]‎ 解析 (1)由=⇒a=2c,所以a2=4c2,b2=3c2,将点P的坐标代入椭圆方程得c2=1,故所求椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,‎ 此时四边形的面积S=6.‎ 若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-,‎ 则直线l1的方程为y=k(x+1).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得方程组 消去y并整理,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.①‎ ‎∴x1+x2=-,x1·x2=,‎ ‎∴|x1-x2|=,∴|AB|=|x1-x2|=.②‎ 注意到方程①的结构特征和图形的对称性,可以用-代替②中的k,得|CD|=,∴S=|AB|·|CD|=,令k2=t∈(0,+∞),‎ ‎∴S===6-≥6-=,‎ ‎∴S∈[,6].‎ 综上可知,四边形ABCD的面积S∈[,6].‎ ‎12.(2017·衡水中学调研)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(-,),离心率为,点F1,F2分别为其左、右焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若y2=4x上存在两个点M,N,椭圆上有两个点P,Q满足M,N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,且PQ⊥MN,求四边形PMQN面积的最小值.‎ 答案 (1)+y2=1 (2)4 解析 (1)由题意得=,得b=c.∵+=1(a>b>0),∴c=1,∴a2=2,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)①当直线MN斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,易得|MN|=4,|PQ|=2,S四边形PMQN=4.‎ ‎②当直线MN斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),与y2=4x联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ 令M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=+2,x1x2=1,‎ ‎|MN|=·=+4.‎ ‎∵PQ⊥MN,∴直线PQ的方程为y=-(x-1.)‎ 将直线与椭圆联立,得(k2+2)x2-4x+2-2k2=0.‎ 令P(x3,y3),Q(x4,y4),则x3+x4=,x3x4=,‎ ‎|PQ|=·=.‎ ‎∵四边形PMQN的面积S=,‎ 令1+k2=t(t>1),‎ 则S===4(1+)>4,‎ ‎∴S>4,其最小值为4.‎ ‎1.(2014·四川)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )‎ A.2 B.3‎ C. D. 答案 B 解析 设出直线AB的方程,用分割法表示出△ABO的面积,将S△ABO+S△AFO表示为某一变量的函数,选择适当方法求其最值.‎ 设直线AB的方程为x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∵·=2,‎ ‎∴x1x2+y1y2=2.‎ 又y12=x1,y22=x2,∴y1y2=-2.联立得y2-ny-m=0.‎ ‎∴y1y2=-m=-2,∴m=2,即点M(2,0).‎ 又S△ABO=S△AMO+S△BMO=|OM||y1|+|OM||y2|=y1-y2,‎ S△AFO=|OF|·|y1|=y1,∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1‎ ‎=y1+≥2=3,当且仅当y1=时,等号成立.‎ ‎2.(2015·山东,文)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点(,)在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎①求的值;‎ ‎②求△ABQ面积的最大值.‎ 答案 (1)+y2=1 (2)①2 ②6 解析 (1)由题意知+=1,又=,解得a2=4,b2=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.‎ ‎①设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).‎ 因为+y02=1,又+=1,即(+y02)=1,‎ 所以λ=2,即=2.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,‎ 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2.(*)‎ 则有x1+x2=-,x1x2=.‎ 所以|x1-x2|=.‎ 因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),‎ 所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|== ‎=2.‎ 设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,‎ 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.(**)‎ 由(*)(**)可知0|F1F2|=2,由椭圆的定义可知,动点P的轨迹G是以F1,F2为焦点的椭圆,其方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得(x+m)2+2x2=4,‎ 即4x2+2mx+m2-4=0.‎ 由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,得m2<8.‎ 又点Q不在直线l上,所以m≠0,所以0b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段长为c,|FM|=.‎ ‎(1)求直线FM的斜率;‎ ‎(2)求椭圆的方程;‎ ‎(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.‎ 解析 (1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.‎ 设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.‎ ‎(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.‎ 由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.‎ 又由已知,得t=>,解得-0.于是m=,得m∈.‎ ‎②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0.于是m=-,得m∈.‎ 综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.‎