高考理科数学复习练习作业32 9页

专题层级快练(三十二)‎ ‎1．(2017·潍坊二模)设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，则必有(　　)‎ A．a⊥b　　　　　　　　 B．a∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|‎ 答案　A 解析　f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数或常函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝－x2a·b＋(a2－b2)x＋a·b，故a·b＝0，即a⊥b，故应选A.‎ ‎2．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 答案　B 解析　∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．‎ ‎∴|a－b|＝＝.‎ ‎∴|a－b|最大值为.故选B.‎ ‎3．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　　)‎ A．－ B. C．0 D. 答案　A 解析　由于弦长|AB|＝与半径相同，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝‎ ‎－||·||·cos∠ACB＝－··cos60°＝－.‎ ‎4．(2017·保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－‎ ‎2|，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　B 解析　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|⇒|＋|2＝|－|2⇒·＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.‎ ‎5．(2015·山东，理)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)‎ A．－a2　　　　　　　　 B．－a2‎ C.a2 D.a2‎ 答案　D 解析　在菱形ABCD中，＝，＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.‎ ‎6．(2017·银川调研)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)‎ A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 答案　C 解析　由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.‎ ‎7.如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　·＝(＋)·＝·＋·＝·＝ ·＝‎ ||||cos∠BDA＝||2＝.‎ ‎8．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　因a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0⇒b⊥(a－c)．‎ 又a＋b＋c＝0⇒b＝－(a＋c)，∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0⇒a2＝c2，得|a|＝|c|.‎ 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|.故△ABC为等边三角形．‎ ‎9．(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－ B. C. D. 答案　B 解析　如图以直线AC为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，B(，)，F(1，)，‎ ‎∴＝(1，)，＝(，－)．∴·＝－＝，选B.‎ ‎10．(2017·安徽师大附中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1，0)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)的集合用阴影表示为(　　)‎ 答案　B 解析　∵A(x，y)，向量与关于y轴对称，∴B(－x，y)，＝(－2x，0)．∵2＋a·≤0，∴x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，故满足要求的点在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B.‎ ‎11．(2016·四川)在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由||＝||＝||知，D为△ABC的外心．由·＝·＝·知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以||max＝|BE|＋＝，则||max2＝，选B.‎ ‎12．(2017·郑州质检)在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程是(　　)‎ A．x－2y＋5＝0 B．x＋2y－5＝0‎ C．x＋2y＋5＝0 D．x－2y－5＝0‎ 答案　C 解析　由投影的定义知－＝＝，化简得x＋2y＋5＝0，所以点P的轨迹方程为x＋2y＋5＝0，故选C.‎ ‎13．(2015·山东，文)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．‎ 答案　 解析　在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，‎ ‎||＝||＝，∠APO＝∠BPO＝，则，的夹角为，‎ 所以·＝||·||·cos＝.‎ ‎14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ 答案　 解析　如图所示，在平行四边形ABCD中，＝＋，＝＋＝－＋.‎ 所以·＝(＋)·(－＋)＝－||2＋||2＋·＝－||2＋||＋1＝1，解方程得||＝(舍去||＝0)，所以线段AB的长为.‎ ‎15．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，‎ 则||＋||＋||＝________．‎ 答案　6‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1，0)，所以＋＋＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，得x1＋x2＋x3＝3.又由抛物线定义可得||＋||＋||＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6.‎ ‎16.如图，AB是半圆O的直径，C，D是的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则·＝________．‎ 答案　26‎ 解析　连接OC、OD、MC、ND，则·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝－4＋6＋6＋18＝26.‎ ‎17．(2014·陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ 答案　(1)2　(2)1‎ 解析　(1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，‎ ‎∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)．‎ ‎∴||＝＝2.‎ ‎(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴ 两式相减，得m－n＝y－x.令m－n＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ ‎18．(2017·江西上饶中学调研)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求c边的长．‎ 答案　(1)　(2)6‎ 解析　(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，‎ 对于△ABC，A＋B＝π－C，0