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- 2021-06-15 发布
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题组层级快练(十七)
1．设函数f(x)＝＋lnx，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
答案 D
解析 因为f(x)＝＋lnx，所以f′(x)＝－＋＝，且x>0.当x>2时， f′(x)>0，这时f(x)为增函数；当00，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．故选D.
4．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
答案 D
解析 y′＝3ax2＋2bx，据题意，0，是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴－＝，∴a＋2b＝0.
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
答案 A
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减．
∴x＝0为极大值点，也为最大值点．
∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.
6．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则( )
A．0＜b＜1 B．b＜1
C．b＞0 D．b＜
答案 A
解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0，1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.∴b＞0.f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.
综上，b的取值范围为0＜b＜1.
7．若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－，1) B．[－，1)
C．[－2，1) D．(－，－2]
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．因为函数f(x)在区间(a，6－a2)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，即实数a满足a<1<6－a2，且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.由a<1<6－a2，解得－0.
∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．
(2)当－20.
∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)<0，即f(x)在(－2，1)上是减函数．
(3)当10，∴f′(x)<0，即f(x)在(1，2)上是减函数．
(4)当x>2时，1－x<0.
∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
综上，f(－2)是极大值，f(2)是极小值．
9．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A．∃x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
答案 C
解析 ∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如右图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
10．已知f(x)＝x3＋px2＋qx的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p，q值分别为( )
A．6，9 B．9，6
C．4，2 D．8，6
答案 A
解析 设图像与x轴的切点为(t，0)(t≠0)，
设注意t≠0，
可得出p＝－2t，q＝t2.∴p2＝4q，只有A满足这个等式(亦可直接计算出t＝－3)．
11．若函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．{4} D．[2，4]
答案 C
解析 f′(x)＝3ax2－3，
当a≤0时，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；
当01时，f(－1)＝－a＋4≥0，且f()＝－＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4.
12．若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
答案 6
解析 f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∵f(x)在x＝2处有极大值，∴解得c＝6.
13．(2017·昌平一模)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________．
答案 3
解析 f′(x)＝，由f(x)在x＝1处取得极值知f′(1)＝0，∴a＝3.
14．(2017·西安五校模拟)若不等式ln(1＋x)－x2≤M恒成立，则M的最小值是________．
答案 ln2－
解析 设f(x)＝ln(1＋x)－x2，则f′(x)＝[ln(1＋x)－x2]′＝－x＝.因为函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．令f′(x)＝0，得x＝1，当x>1时，f′(x)<0；当－10.所以函数f(x)在x＝1处取得极大值，f(1)＝ln2－.因为ln(1＋x)－x2≤M，所以M≥ln2－，即M的最小值为ln2－.
15．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是________．
①f(x)>0的解集是{x|00，则02
解析 (1)f′(x)＝－2x＋a－，
∵f(x)在(0，)上为减函数，∴x∈(0，)时－2x＋a－≤0恒成立，即a≤2x＋恒成立．
设g(x)＝2x＋，则g′(x)＝2－.
∵x∈(0，)时>4，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，)上单调递减，g(x)>g()＝3，∴a≤3.
(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．
故a应满足⇒⇒a>2.
∴当a>2时，f′(x)＝0有两个不等的实数根．
不妨设x10，x>x2时f′(x)<0，
∴当a>2时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．
18．已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数m的取值范围．
答案 (1)0}，所以f′(x)＝－.当00；当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x＝1处取得极大值1.
∵函数f(x)在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，∴解得0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝2，∴m≤2.
1．(2017·河北辛集中学月考)连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( )
A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点
C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点
答案 B
解析 x>－1时，f′(x)>0，x<－1时，f′(x)<0.
∴连续函数f(x)在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增．
∴x＝－1为极小值点．
2．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
答案 D
解析 f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.
3．函数y＝x3－3x2－9x(－20 B．m<0
C．m>1 D．m<1
答案 B
解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
5．函数f(x)＝，x∈[0，4]的最大值是( )
A．0 B.
C. D.
答案 B
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，令f′(－3)＝0，得a＝5.
7．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a<－ B．a>－
C．a<－3 D．a>－3
答案 C
解析 ∵y′＝aeax＋3，由y′＝0，得x＝ln(－)．∴－>0，∴a<0.
又∵y＝eax＋3x＝0有正根，
∴必有得a<－3.故选C.
8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
答案 C
解析 当k＝1时，f′(x)＝ex(x－1)＋ex－1，此时f′(1)≠0，故排除A、B项；当k＝2时，f′(x)＝ex(x－1)2＋(ex－1)(2x－2)，此时f′(1)＝0，在x＝1附近左侧，f′(x)<0，在x＝1附近右侧，f′(x)>0，所以x＝1是f(x)的极小值点．
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