高考理科数学复习练习作业43 13页

题组层级快练(四十三) 1．(2017·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线 x＋y－1＝0 的同一侧的是( ) A．(0，0) B．(－1，1) C．(－1，3) D．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使 x＋y－1>0，点(－1，3)使 x＋y－1>0，所以此两点位于 x＋y－1＝0 的同 一侧．故选 C. 2．(2017·浙江宁波调研)二元一次不等式组 （x－y＋3）（x＋y）≥0， 0≤x≤4 表示的平面区域是 ( ) A．矩形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形 答案 D 解析 由(x－y＋3)(x＋y)≥0，得 x－y＋3≥0， x＋y≥0 或 x－y＋3≤0， x＋y≤0， 且 0≤x≤4，表示的区域如 图阴影部分所示，故所求平面区域为等腰梯形，故选 D. 3．设关于 x，y 的不等式组 2x－y＋1>0， x＋m<0， y－m>0 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x0－2y0 ＝2，则 m 的取值范围是( ) A．(－∞，4 3) B．(－∞，1 3) C．(－∞，－2 3) D．(－∞，－5 3) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含 y＝1 2x－1 的上的点，只需要可行域的边界点(－ m，m)在 y＝1 2x－1 下方，也就是 m<－1 2m－1，即 m<－2 3. 4．(2016·天津，理)设变量 x，y 满足约束条件 x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≥0， 3x＋2y－9≤0， 则目标函数 z＝2x＋5y 的最 小值为( ) A．－4 B．6 C．10 D．17 答案 B 解析 通性通法：如图，已知约束条件 x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≥0， 3x＋2y－9≤0 所表示的平面区域为图中所示的三 角形区域 ABC(包含边界)，其中 A(0，2)，B(3，0)，C(1，3)．根据目标函数的几何意义， 可知当直线 y＝－2 5x＋z 5 过点 B(3，0)时，z 取得最小值 2×3＋5×0＝6. 光速解法：由题意知，约束条件 x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≥0， 3x＋2y－9≤0 所表示的平面区域的顶点分别为 A(0，2)， B(3，0)，C(1，3)．将 A，B，C 三点的坐标分别代入 z＝2x＋5y，得 z＝10，6，17，故 z 的最小值为 6. 5．(2015·安徽，文)已知 x，y 满足约束条件 x－y≥0， x＋y－4≤0， y≥1， 则 z＝－2x＋y 的最大值是 ( ) A．－1 B．－2 C．－5 D．1 答案 A 解析 作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点 A(1，1)处，z 取得最大值， 故 zmax＝－2×1＋1＝－1. 6．(2017·贵阳监测)已知实数 x，y 满足： x－2y＋1≥0， x<2， x＋y－1≥0， 则 z＝2x－2y－1 的取值范围是 ( ) A．[5 3 ，5] B．[0，5] C．[5 3 ，5) D．[－5 3 ，5) 答案 D 解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线 l：2x－2y－1＝0，平移 l 可知 2×1 3 －2×2 3 －1≤z<2×2－2×(－1)－1，即 z 的取值范围是[－5 3 ，5)． 7．(2017·南昌调研)设变量 x，y 满足约束条件 y≥x， x＋3y≤4， x≥－2， 则 z＝|x－3y|的最大值为 ( ) A．10 B．8 C．6 D．4 答案 B 解析 不等式组 y≥x， x＋3y≤4， x≥－2， 所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 当平移直线 x－3y＝0 过点 A 时，m＝x－3y 取最大值； 当平移直线 x－3y＝0 过点 C 时，m＝x－3y 取最小值． 由题意可得 A(－2，－2)，C(－2，2)，所以 mmax＝－2－3×(－2)＝4，mmin＝－2－3×2＝ －8， 所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即 zmax＝8. 8．(2014·安徽，理)x，y 满足约束条件 x＋y－2≤0， x－2y－2≤0， 2x－y＋2≥0. 若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯 一，则实数 a 的值为( ) A.1 2 或－1 B．2 或1 2 C．2 或 1 D．2 或－1 答案 D 解析 作出约束条件满足的可行域，根据 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形 结合分析求解． 如图，由 y＝ax＋z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使 z＝y－ax 取 得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一， 则 a＝－1. 9．(2015·福建)变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥0， x－2y＋2≥0， mx－y≤0. 若 z＝2x－y 的最大值为 2，则实数 m 等于( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案 C 解析 如图所示，目标函数 z＝2x－y 取最大值 2 即 y＝2x－2 时，画出 x＋y≥0， x－2y＋2≥0， 表示 的区域，由于 mx－y≤0 过定点(0，0)，要使 z＝2x－y 取最大值 2，则目标函数必过两直线 x－2y＋2＝0 与 y＝2x－2 的交点 A(2，2)，因此直线 mx－y＝0 过点 A(2，2)，故有 2m－2 ＝0，解得 m＝1. 10．(2017·泉州质检)已知 O 为坐标原点，A(1，2)，点 P 的坐标(x，y)满足约束条件 x＋|y|≤1， x≥0 则 z＝OA→ ·OP→的最大值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案 D 解析 作出可行域如图中阴影部分所示，易知 B(0，1)，z＝OA→ ·OP→ ＝x＋2y，平移直线 x ＋2y＝0，显然当直线 z＝x＋2y 经过点 B 时，z 取得最大值，且 zmax＝2.故选 D. 11．已知实数 x，y 满足条件 （x－3）2＋（y－2）2≤1， x－y－1≥0， 则 z＝ y x－2 的最小值为( ) A．3＋ 2 B．2＋ 2 C.3 4 D.4 3 答案 C 解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数 z＝ y x－2 ＝y－0 x－2 表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的 斜率为 z＝ y x－2 的最小值，设切线方 程为 y＝k(x－2)，则 A 到切线的距离为 1，故 1＝ |k－2| 1＋k2 .解得 k＝3 4. 12．(2016·浙江，理)在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投 影．由区域 x－2≤0， x＋y≥0， x－3y＋4≥0 中的点在直线 x＋y－2＝0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB| ＝( ) A．2 2 B．4 C．3 2 D．6 答案 C 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点 C，D 分别作直线 x＋y －2＝0 的垂线，垂足分别为 A，B，则四边形 ABDC 为矩形，又 C(2，－2)，D(－1，1)， 所以|AB|＝|CD|＝ （2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.故选 C. 13．(2016·课标全国Ⅱ，文)若 x，y 满足约束条件 x－y＋1≥0， x＋y－3≥0， x－3≤0， 则 z＝x－2y 的最小值为 ________． 答案 －5 解析 通性通法：作出可行域，如图中阴影部分所示，由 z＝x－2y 得 y＝1 2x－1 2z，作直线 y ＝1 2x 并平移，观察可知，当直线经过点 A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5. 光速解法：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求 得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得 zmin＝－5. 14．(2016·课标全国Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利 润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下， 生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216 000 解析 由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，利润 z＝2 100x＋900y，线性约束条 件为 1.5x＋0.5y≤150， x＋0.3y≤90， 5x＋3y≤600， x≥0， y≥0， 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由 x∈N，y ∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以 zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 15．已知实数 x，y 满足不等式组 x－y＋2≥0， x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0， 目标函数 z＝y－ax(a∈R)．若 z 取最大值 时的唯一最优解是(1，3)，则实数 a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞) 解析 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取 得，三个交点分别为(1，3)，(7，9)，(3，1)，所以 3－a>9－7a， 3－a>1－3a. 所以 a>1. 16．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A，B 两种规格 金属板，每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个、乙种产品 5 个； 用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个．问 A，B 两种规格金属板各取多少张才能 完成计划，并使总用料面积最省？ 答案 A，B 两种金属板各取 5 张． 解析 设 A，B 两种金属板各取 x 张，y 张，总用料面积为 z， 则约束条件为 3x＋6y≥45， 5x＋6y≥55， x，y∈N， 目标函数 z＝2x＋3y. 作出不等式组的可行域，如图所示． 将 z＝2x＋3y 化成 y＝－2 3x＋z 3 ，得到斜率为－2 3 ，在 y 轴上截距为z 3 ，且随 z 变化的一组平 行直线． 当直线 z＝2x＋3y 经过可行域上点 M 时，截距最小，z 取得最小值． 解方程组 5x＋6y＝55， 3x＋6y＝45， 得点 M 的坐标为(5，5)． 此时 zmin＝2×5＋3×5＝25. 所以两种金属板各取 5 张时，总用料面积最省． 1．设 x，y 满足约束条件 3x－y－2≤0， x－y≥0， x≥0，y≥0， 若目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为 4，则 ab 的取值范围是( ) A．(0，4) B．(0，4] C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 答案 B 解析 作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点 A(1，1)时取得最大值，∴a＋b＝4，ab≤(a＋b 2 )2＝4，∵a>0，b>0，∴ab∈(0，4]． 2．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需消耗 A 原料 1 kg，B 原料 2 kg； 生产乙产品 1 桶需消耗 A 原料 2 kg，B 原料 1 kg.每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品 的利润是 400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12 kg. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A．1 800 元 B．2 400 元 C．2 800 元 D．3 100 元 答案 C 解析 设生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，每天利润为 z 元，则 x＋2y≤12， 2x＋y≤12， x≥0 且 x∈N， y≥0 且 y∈N. z＝300x＋400y，作出可行域，如 图阴影部分所示．作直线 300x＋400y＝0，向右上方平移，过点 A 时，z＝300x＋400y 取最 大值，由 x＋2y＝12， 2x＋y＝12， 解得 x＝4， y＝4， 所以 A(4，4)， 所以 zmax＝300×4＋400×4＝2 800.故选 C. 3．(2017·沈阳质检)在满足不等式组 x－y＋1≥0， x＋y－3≤0， y≥0， 的平面点集中随机取一点 M(x0，y0)，设 事件 A 为“y0<2x0”，那么事件 A 发生的概率是( ) A.1 4 B.3 4 C.1 3 D.2 3 答案 B 解析 不等式组 x－y＋1≥0， x＋y－3≤0， y≥0， 表示的平面区域的面积为1 2 ×(1＋3)×2＝4；不等式组 x－y＋1≥0， x＋y－3≤0， y≥0， y≤2x， 表示的平面区域的面积为1 2 ×3×2＝3，因此所求的概率等于3 4 ，选 B. 4．(2017·东北三校一联)变量 x，y 满足约束条件 y≥－1， x－y≥2， 3x＋y≤14， 若使 z＝ax＋y 取得最大值的 最优解有无数个，则实数 a 的取值集合是( ) A．{－3，0} B．{3，－1} C．{0，1} D．{－3，0，1} 答案 B 解析 作出不等式组 y≥－1， x－y≥2， 3x＋y≤14 表示的区域如下图所示，由 z＝ax＋y，得 y＝－ax＋z.当－ a>0 时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，当 a＝－1 时，线段 AC 上的所有 点都是最优解；当－a<0 时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当 a＝3 时， 线段 BC 上的所有点都是最优解．故选 B 项． 5．(2017·衡水中学调研卷)设变量 x，y 满足条件 x－y≥2， x＋y≥4， x≤5， 则点 P(x＋y，x－y)所在区域的 面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 答案 C 解析 作出不等式组表示的线性区域如图①所示． 可知 x＋y∈[4，8]，x－y∈[2，6]，且当 x＋y＝4 时，x－y 可以取到[2，6]内的所有值；当 x＋y＝8 时，x－y＝2，即△ABC 所表示的区域如图②所示，则 S△ABC＝1 2 ×4×4＝8，故 C 正确． 6．(2017·山西检测)若变量 x，y 满足 |x|＋|y|≤1， xy≥0， 则 2x＋y 的取值范围为________． 答案 [－2，2] 解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，平移直线 2x ＋y＝0，经过点(1，0)时，2x＋y 取得最大值 2×1＋0＝2，经过点(－1，0 时，2x＋y 取得最小值 2×(－1)＋0＝－2，所以 2x＋y 的取值范围为 [－2，2]． 7．(2017·沧州七校联考)不等式组 x－2≤0， y＋2≥0， x－y＋1≥0 表示的区域为 D，z＝x＋y 是定义在 D 上的目 标函数，则区域 D 的面积为__________，z 的最大值为________． 答案 25 2 ，5 解析 图像的三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2，3)，所以面积为25 2 . 因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入 z＝x＋y， 得 x＝2，y＝3 时有 zmax＝5. 8．(2014·新课标全国Ⅰ，文)设 x，y 满足约束条件 x＋y≥a， x－y≤－1， 且 z＝x＋ay 的最小值为 7, 则 a＝( ) A．－5 B．3 C．－5 或 3 D．5 或－3 答案 B 解析 联立方程 x＋y＝a， x－y＝－1， 解得 x＝a－1 2 ， y＝a＋1 2 . 代入 x＋ay＝7 中，解得 a＝3 或－5，当 a＝ － 5 时，z＝x＋ay 的最大值是 7；当 a＝3 时，z＝x＋ay 的最小值是 7，故选 B. 9．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品 需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A.12 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18 万元 答案 D 解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x，y 吨，则利润 z＝3x＋4y. 由题意可列 3x＋2y≤12， x＋2y≤8， x≥0， y≥0， 其表示如图阴影部分区域：.当直线 3x＋4y－z＝0 过点 A(2，3) 时，z 取得最大值，所以 zmax＝3×2＋4×3＝18，故选 D 项． 10．(2015·湖南，文)若变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1， y－x≤1， x≤1， 则 z＝2x－y 的最小值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案 A 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，平移参照直线 2x－y＝0，当直线 2x－y＝z 经过 x＋y＝1 与 y－x＝1 的交点(0，1)时，z 取最小值为 zmin＝2×0－1＝－1，选 A. 11．(2016·江苏卷改编)设 x，y 满足条件 x－y＋5≥0， x＋y≥0， x≤3， 则 z＝(x＋1)2＋y2 的最大值为 ( ) A．80 B．4 5 C．25 D.17 2 答案 A 解析 作出不等式组 x－y＋5≥0， x＋y≥0， x≤3 表示的平面区域，如图阴影部分表示，(x＋1)2＋y2 可看 作点(x，y)到点 P(－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点 A 到点 P(－1，0)的距离最 大．解方程组 x＝3， x－y＋5＝0， 得点 A 的坐标为(3，8)，代入 z＝(x＋1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2 ＋82＝80.故选 A. 12. (2015·北京，文)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P(x，y)为 D 中任意一 点，则 z＝2x＋3y 的最大值为________． 答案 7 解析 由题意，目标函数 z＝2x＋3y 的可行域为△ABC 边界及其内部(如图所示)．令 z＝0， 即 2x＋3y＝0，平移直线 2x＋3y＝0 至目标函数于可行域内，可知当 2x＋3y＝z 过点 A(2，1) 时，z 取得最大值，即 zmax＝2×2＋3×1＝7.