高中数学必修1示范教案（1_3 集合的基本运算第1课时） 7页

‎1.1.3 集合的基本运算 整体设计 教学分析 课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思考的方法,如类比等.‎ 值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能够用直观图进行求补集的运算.‎ 三维目标 ‎1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力.‎ ‎2.通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.‎ 重点难点 教学重点:交集与并集,全集与补集的概念.‎ 教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.‎ 课时安排 ‎2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?‎ 教师直接点出课题.‎ 思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?‎ ‎(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};‎ ‎(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.‎ 引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.‎ 思路3.(1)①如图1131甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合A、集合B有什么关系？‎ 图1-1-3-1‎ ‎②观察集合A与B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.‎ 学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的运算.‎ ‎(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},写出由集合A,B中的所有元素组成的集合C.‎ ‎②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么？‎ ‎②用文字语言来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.‎ ‎③用数学符号来叙述上述问题中,集合A与B与集合C之间的关系.‎ ‎④试用Venn图表示A∪B=C.‎ ‎⑤请给出集合的并集定义.‎ ‎⑥求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗？‎ 请同学们考察下面的问题,集合A与B与集合C之间有什么关系？‎ ‎(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};‎ ‎(ⅱ)A={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学},B={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学},C={x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}.‎ ‎⑦类比集合的并集,请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达.‎ 活动：先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画,用Venn图来显示.‎ 讨论结果：‎ ‎①集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A与B的并集.记为A∪B=C,读作A并B.‎ ‎②所有属于集合A或属于集合B的元素所组成了集合C.‎ ‎③C={x|x∈A,或x∈B}.‎ ‎④如图1131所示.‎ ‎⑤一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn图表示,如图1131所示.‎ ‎⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算,这种运算叫求集合的交集,记作A∩B,读作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.‎ ‎⑦一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.‎ 其含义用符号表示为:‎ A∩B={x|x∈A,且x∈B}.‎ 用Venn图表示,如图1132所示.‎ 图1-1-3-2‎ 应用示例 思路1‎ ‎1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.‎ 图1-1-3-3‎ 活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义,由于本例题难度较小,让学生自己解决,重点是总结集合运算的方法.根据集合并集、交集的含义,借助于Venn图写出.观察这两个集合中的元素,或用Venn图来表示,如图1133所示.‎ 解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.‎ 点评：本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.‎ 本题易错解为A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.‎ 变式训练 ‎1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则M∪N=________.M∩N=________.‎ 答案：{-1,1,2,3,5,6,7} ‎ ‎2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则m=_________.‎ 分析:由题意得m2=1或2或m,解得m=-1,1,,,0.因m=1不合题意,故舍去.‎ 答案：-1,,,0‎ ‎3.2007河南实验中学月考,理1满足A∪B={0,2}的集合A与B的组数为 ( )‎ A.2 B.5 C.7 D.9‎ 分析:∵A∪B={0,2},∴A{0,2}.则A=或A={0}或A={2}或A={0,2}.当A=时,B={0,2};当A={0}时,则集合B={2}或{0,2};当A={2}时,则集合B={0}或{0,2};当A={0,2}时,则集合B=或{0}或{2}或{0,2},则满足条件的集合A与B的组数为1+2+2+4=9.‎ 答案：D ‎4.2006辽宁高考,理2设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是 ( )‎ A.1 B.3 C.4 D.8‎ 分析:转化为求集合A子集的个数.很明显3A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一个元素3,其他元素来自集合A中,则集合B的个数等于A={1,2}的子集个数,又集合A中含有22=4个元素,则集合A有22=4个子集,所以满足条件的集合B共有4个.‎ 答案：C ‎2.设A={x|-10},求A∪B,A∩B.‎ 答案：A∪B=R,A∩B={x|20},C={x|x≥10},则A∩B,B∪C,A∩B∩C分别是什么?‎ 活动：‎ 学生先思考集合中元素特征,明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.‎ 解：因A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上表示,如图1136所示,所以A∩B={x|00},A∩B∩C=.‎ 图1-1-3-6‎ 点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义,借助于直观(数轴或Venn图)写出结果.‎ 变式训练 ‎1.设A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},求A∩B,A∪B.‎ 解：对任意m∈A,则有m=2n=2·2n-1,n∈N*,因n∈N*,故n-1∈N,有2n-1∈N,那么m∈B,‎ 即对任意m∈A有m∈B,所以AB.‎ 而10∈B但10A,即AB,那么A∩B=A,A∪B=B.‎ ‎2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.‎ 解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3,B={3};还可含1或2其中一个,有{1,3},{2,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合B.‎ ‎3.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.‎ 解：因A∩B={9},则9∈A,a-1=9或a2=9,‎ a=10或a=±3,‎ 当a=10时,a-5=5,1-a=-9;‎ 当a=3时,a-1=2不合题意.‎ 当a=-3时,a-1=-4不合题意.‎ 故a=10,此时A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足A∩B={9}.‎ ‎4.2006北京高考,文1设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3-3} D.{x|x<1}‎ 分析:集合A={x|2x+1<3}={x|x<1},‎ 观察或由数轴得A∩B={x|-32m-1,∴m<2.‎ 当B≠时,观察图1-1-3-7:‎ 图1-1-3-7‎ 由数轴可得解得-2≤m≤3.‎ 综上所述,实数m的取值范围是m<2或-2≤m≤3,即m≤3.‎ 点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.‎ 知能训练 课本P11练习1、2、3.‎ ‎【补充练习】‎ ‎1.设a={3,5,6,8},B={4,5,7,8},‎ ‎(1)求A∩B,A∪B.‎ ‎(2)用适当的符号(、)填空:‎ A∩B________A,B________A∩B,A∪B________A,A∪B________B,A∩B________A∪B.‎ 解：(1)因A、B的公共元素为5、8,故两集合的公共部分为5、8,‎ 则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.‎ 又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8,‎ 故A∪B={3,4,5,6,7,8}.‎ ‎(2)由文氏图可知 A∩BA,BA∩B,A∪BA,A∪BB,A∩BA∪B.‎ ‎2.设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B.‎ 解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5,‎ 故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.‎ ‎3.设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B.‎ 解：因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.‎ 所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}=.‎ ‎4.设A={x|x>-2},B={x|x≥3},求A∪B.‎ 解：在数轴上将A、B分别表示出来,得A∪B={x|x>-2}.‎ ‎5.设A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∪B.‎ 解：因矩形是平行四边形,故由A及B的元素组成的集合为A∪B,A∪B={x|x是平行四边形}.‎ ‎6.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B,A∪B.‎ 分析:M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集,关键是找其元素.‎ 解：∵M={1},N={1,2},则A={(1,1),(1,2)},B={(1,1),(2,1)},故A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),‎ ‎(2,1)}.‎ ‎7.2006江苏高考,7若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )‎ A.AC B.CA C.A≠C D.A=‎ 分析:思路一:∵(B∩C)B,(B∩C)C,A∪B=B∩C,‎ ‎∴A∪BB,A∪BC.∴ABC.∴AC.‎ 思路二:取满足条件的A={1},B={1,2},C={1,2,3},排除B、D,‎ 令A={1,2},B={1,2},C={1,2},则此时也满足条件A∪B=B∩C,‎ 而此时A=C,排除C.‎ 答案：A 拓展提升 观察：(1)集合A={1,2},B={1,2,3,4}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;‎ ‎(2)当A=时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系;‎ ‎(3)当A=B={1,2}时,A∩B,A∪B这两个运算结果与集合A,B的关系.‎ 由(1)(2)(3)你发现了什么结论？‎ 活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合A,B的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A,B的关系.(1)(2)(3)中的集合A,B均满足AB,用Venn图表示,如图1138所示,就可以发现A∩B,A∪B与集合A,B的关系.‎ 图1-1-3-8‎ 解：A∩B=AABA∪B=B.‎ 可用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:‎ A∪B=B∪A,A(A∪B),B(A∪B);A∪A=A,A∪=A,ABA∪B=B;‎ A∩B=B∩A;(A∩B)A,(A∩B)B;A∩A=A;A∩=;ABA∩B=A.‎ 课堂小结 本节主要学习了:‎ ‎1.集合的交集和并集.‎ ‎2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.‎ 作业 ‎1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律？‎ ‎2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.‎ ‎3.书面作业:课本P12习题1.1A组6、7、8.‎ 设计感想 由于本节课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突破本节教学难点的有效方法.‎ ‎(设计者：尚大志)‎