高考数学复习练习第2部分 专题一 第三讲 数学思想专练(三) 6页

‎[数学思想专练(三)]‎ 一、选择题 ‎1．(2013·南昌模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是 ‎(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选C　若q＝1，则有S3＝‎3a1，S6＝‎6a1，S9＝‎9a1，但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又依题意S3＋S6＝2S9，即＋＝2·，化简得q3(2q6－q3－1)＝0，即(2q3＋1)·(q3－1)＝0，因为q≠1，所以q3－1≠0，则2q3＋1＝0，解得q＝－.‎ ‎2. 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ 解析：选A　f(1)＝21＝2，由f(a)＋f(1)＝0，得f(a)＝－2.‎ 若a>0，则f(a)＝‎2a，因为‎2a>20＝1，所以f(a)＝－2无解；‎ 若a≤0，则f(a)＝a＋1，由f(a)＝－2，即a＋1＝－2，解得a＝－3，显然满足a≤0.‎ 综上所述，a＝－3.‎ ‎3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　　)‎ A. B．4 C. D．4或 解析：选D　当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4；当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.‎ ‎4．a、b、c、d是空间的四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么(　　)‎ A．a∥b或c∥d B．a、b、c、d中任何两条直线都不平行 C．a∥b且c∥d D．a、b、c、d中至多有一对直线平行 解析：选A　(1)若a、b相交，必须确定一个平面α，由题设知c⊥α，d⊥α，则c∥d；(2)若a∥b，则满足题设条件的直线c、d 的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面；(3)若a、b异面，由c⊥a，c⊥b，得c平行或重合于a、b的公垂线，同理d也平行或重合于a、b的公垂线，于是c∥d.综上所述，a∥b或c∥d必有一个成立．‎ ‎5．设集合A＝{x|x2＋x－12＝0}，集合B＝{x|kx＋1＝0}，如果A∪B＝A，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为(　　)‎ A．－，0 B.，0‎ C.，－ D.，－ 解析：选A　A＝{－4,3}．‎ 当k＝0时，B＝∅，符合要求；当k≠0时，x＝－.‎ 由A∪B＝A知B⊆A，所以－＝－4或－＝3，‎ 所以k＝或k＝－，‎ 所以实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为 ‎－，0.‎ ‎6．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2] B．[－2,2]‎ C．(－2,2] D．(－∞，－2)‎ 解析：选C　当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立，所以a＝2；当a－2≠0时，则a满足 解得－20且x≠1，则函数y＝lg x＋logx10的值域为________．‎ 解析：当x>1时，y＝lg x＋logx10＝lg x＋≥2 ＝2；当02时，求函数f(x)的极小值；‎ ‎(2)试讨论函数y＝f(x)的图像与x轴公共点的个数．‎ 解：(1)∵f′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6＝‎3a(x－1)，‎ ‎∴易求得函数f(x)的极小值为f(1)＝－.‎ ‎(2)①a＝0，则f(x)＝－3(x－1)2，‎ ‎∴f(x)的图像与x轴只有1个交点；‎ ‎②若a<0，则f(x)的极大值为f(1)＝－>0，f(x)的极小值为f<0，∴f(x)的图像与x轴有3个交点；‎ ‎③若02，由(1)知f(x)的极大值为f＝－42－<0，f(x)的极小值为f(1)＝－<0，‎ ‎∴f(x)的图像与x轴只有1个交点；‎ 综上知，若a≥0，则f(x)的图像与x轴只有1个交点；若a<0，则f(x)的图像与x轴有3个交点．‎ ‎11．(2013·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3－2x2＋(2－a)x＋1，其中a>0.‎ ‎(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)求f(x)在区间[2,3]上的最小值．‎ 解：(1)f(x)的定义域为R，且f′(x)＝2x2－4x＋2－a.‎ 当a＝2时，f(1)＝－，f′(1)＝－2，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝－2(x－1)，即切线方程为6x＋3y－5＝0.‎ ‎(2)方程f′(x)＝0的判别式为Δ＝‎8a>0.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝1－或x2＝1＋.‎ f(x)和f′(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，x1)‎ x1‎ ‎(x1，x2)‎ x2‎ ‎(x2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎    故f(x)的单调增区间为，；单调减区间为.‎ ‎①当0b>0)，‎ 则a2－b2＝1.　①‎ ‎∵当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是和，‎ ‎∴·＝·＝1－，‎ 则1－＝，即a2＝2b4.　②‎ 由①②消去a得2b4－b2－1＝0.‎ ‎∴b2＝1或b2＝－(舍去)．‎ 当b2＝1时，a2＝2，因此椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当直线斜率不存在时，易求A，B，P(0,1)，所以＝，＝，＝(1，－1)，‎ 由t使＋＝t，得t＝2，直线l的方程为x＝1，‎ 当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，＝(1，－1)，‎ 由＋＝t，得 即 因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ 所以y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，解得k＝－1，‎ 此时，直线l的方程为y＝－x＋1，‎ 联立得3x2－4x＝0，t＝x1＋x2＝，‎ 所以，当直线斜率存在时，t＝，直线l的方程为y＝－x＋1，‎ 综上所述，存在实数t且t＝2时，直线方程为x＝1；‎ 当t＝时，直线l的方程为y＝－x＋1.‎