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- 2021-06-16 发布
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高三数学试卷(文科)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式可得,根据交集运算法则即可得解.
详解】解,即,解得,所以,
所以.
故选:D
【点睛】此题考查集合的交集运算,关键在于准确求解一元二次不等式,根据交集运算法则即可得解,属于简单题目.
2.已知复数,,则在复平面内对应的点位于( ).
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
化简,根据复数相等的性质可得,进而求得在复平面内对应的点的象限.
【详解】由可得,故
- 24 -
,解得,故.故在复平面内对应的点位于第二象限.
故选:B
【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及复数相等的性质,同时也考查了复数的几何意义.属于基础题.
3.已知等差数列的前项和为,,,则( ).
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】
由,解得.可得.
【详解】解:,解得.
又,
则.
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.已知,则( )
A. a>b>c B. c>b>a C. a>c>b D. b>a>c
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数的性质可得,,根据对数的性质可得,综合即可得结果.
详解】∵,∴,
∵,∴,
∵,且,∴,
- 24 -
∴,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较,熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键,属于基础题.
5.若x,y满足约束条件,则的最大值为( )
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由目标函数作出可行域,由直线方程可知,目标函数过点时,有最大值,求出点坐标,代入即可求出结果.
【详解】由x,y满足约束条件,作出可行域如图,
由,得yx,
由图可知,当直线yx过可行域内点时
直线在y轴上的截距最小,最大.
联立,解得
∴目标函数z=x﹣2y的最大值为.
故选:D
- 24 -
【点睛】本题主要考查线性规划问题,解题关键是能将问题转化为直线截距最值的求解问题.
6.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位:万元)进行统计并得到如图折线图.
下面关于两个门店营业额的分析中,错误的是( )
A. 甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,故而营业额的平均值约为32万元
B. 根据甲门店的营业额折线图可知,该门店营业额的平均值在[20,25]内
C. 根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势
D. 乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折线图依次判断每个选项:甲门店的营业额平均值远低于32万元,A错误,其他正确,得到答案.
【详解】对于A,甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,营业额平均值远低于32万元,A错误.
对于B,甲门店的营业额的平均值为21.6,
即该门店营业额的平均值在区间[20,25]内,B正确.
对于C,根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势,C正确.
对于D,乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元,最小值为5万元,
- 24 -
则极差为25万元,D正确.
故选:A.
【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的识图能力和应用能力.
7.著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的LOGO为,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据奇偶性的判断可知,选项B,D不符题意,然后利用特值法,在范围内代入一个特值,即可得出正确答案.
【详解】观察图象可知,函数的图象关于y轴对称,
对于A选项,,为偶函数,
对于B选项,,为奇函数,
对于C选项,,为偶函数,
对于D选项,,为奇函数,
而选项B,D为奇函数,其图象关于原点对称,不合题意;
- 24 -
对选项A而言,当时,如取,,则有,f(x)<0,不合题意;
故选:C
【点睛】本题考查函数图像的判断,有以下几个方法:(1)根据奇偶性判断;(2)根据特值判断;(3)根据单调性和趋势判断.
8.某几何体的三视图如图所示,则其体积是( )
A. B. 36π C. 63π D. 216+9π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目的三视图作出几何体的直观图,然后计算即可求解.
【详解】由三视图知,该几何体是圆柱与圆锥的组合体,如图所示;
则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π32 6π323=63π.
故选:C
- 24 -
【点睛】本题考查几何体的三视图,属于简单题.
9.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于,若,则正数的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知,函数的半周期为,故可求得,又由条件,推得是的一条对称轴,故而求得的表达式,由,求得最后结果.
【详解】∵函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴是的一条对称轴,
∴, ,
∴.
∵
故令,得为最小值.
故选:B.
【点睛】本题为考查“
- 24 -
的图像和性质”的基本题型,考查学生对三角函数相关性质的理解记忆,以及运用,为中等偏下难度题型.
10.已知函数在上是减函数,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出导函数,由函数在上是减函数,得到导函数恒小于0,结合二次函数的性质求解函数的最小值,推出结果即可.
【详解】解:由,得到,
因为在上是减函数,所以在上恒成立,
所以,,,,
所以,
则的取值范围是.
故选:B.
【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间,灵活运用二次函数的性质解决实际问题,属于中档题.
11.某旅游景点安装有索道厢式缆车,在里面既安全又能欣赏美景.从早上八点开始,该景点缆车每五分钟发一个轿厢,小张和小李都在上午九点到九点半之间随机搭乘缆车上山,则小张和小李乘同一个轿厢上山的概率为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先设小张到起点站的时间为9时分,小李到起点站的时间为9时分;求出,
- 24 -
对应的范围,再求出小张和小李乘同一个轿厢上山对应的范围,得到各自的面积,进而求得结论.
【详解】解:设小张到起点站的时间为9时分,小李到起点站的时间为9时分;
所以:,
记事件:小张和小李乘同一个轿厢上山;
所以:,,,,,,;
作出可性域以及目标区域(阴影部分)如图所示,
可知.
故选:.
【点睛】本题考查了几何概型求概率,对于这样的问题,一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来,根据集合对应的图形做出面积,用面积的比值得到结果.
12.已知(不在轴上)是双曲线上一点,,分别是的左、右焦点,记,,若,则的离心率的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
- 24 -
由已知可得,利用分比与更比定理得到,再由双曲线定义及得到关于,的不等式,进一步转化为关于的不等式求解.
【详解】解:由题意知,
则,
点在双曲线右支上,
,,
又,,即,
得,又,
.
故选:D.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线定义的应用,考查计算能力,属于中档题.
二、填空题:把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量,,,则,的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,设,的夹角为,由的坐标求出的值,结合数量积公式可得,结合的范围分析可得答案.
【详解】解:根据题意,设,的夹角为,
向量,则,则有,
又由,则;
故答案为:.
- 24 -
【点睛】本题考查向量数量积的计算,涉及向量模的坐标计算,属于基础题.
14.九连环是中国传统的智力玩具,用九个圆环相连成串,以解开为胜.解九连环需要相当长的时间,非常考验人的耐心,其规律可用来表达,其中表示解下第个圆环所需移动的最少次数,已知,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用数列的递推关系式,结合累加法,求得的值,即可求解.
【详解】由题意,数列满足:,即,
所以,
又由,上式累加可得,所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查了数学文化与数列,以及数列的递推公式的应用,着重考查了学生阅读信息,以及运算、求解能力,属于基础题.
15.如图,在正方体中,,,分别为棱,的中点,过点的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为______.
【答案】.
【解析】
【分析】
- 24 -
取的中点,连接,得到截面为等腰梯形,结合正方体的结构特征和梯形的面积公式,即可求解.
【详解】如图所示,分别取的中点,连接,可得截面,
再连接,分别交交于点,连接,则
又因为,进而得到平面平面,即截面为等腰梯形,
又由,可得,
在等腰梯形中,可得,即梯形的高为,
所以截面的面积为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征,以及正方体的截面面积的计算,着重考查空间想象能力,以及运算与求解能力,属于基础题.
16.已知点在抛物线上,点在圆,点,令,则的最小值为______,此时点的横坐标为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
- 24 -
【分析】
设抛物线的焦点,点坐标为,,利用两点间距离公式表示出,而要使取得最小值,则应取最大值,利用抛物线的定义可知,于是被表示成关于的函数,在运算求解的过程中,使用分离常数和均值不等式,即可求得的最小值以及取得最小值时的值.
【详解】解:
设抛物线的焦点,点,,则,,
又抛物线的焦点与圆心重合,故要使取得最小值,则应取最大值,
由抛物线的定义可知,
,,
当且仅当,即时,等号成立.
故答案为:;.
【点睛】本题考查抛物线的定义与性质,还借助均值不等式求最值,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
17.2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控,这标志着封城76天的武汉打开城门了.
- 24 -
在疫情防控常态下,武汉市有序复工复产复市,但是仍然不能麻痹大意,仍然要保持警惕,严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作,结合复工复产复市的实际需要,某小区物业提供了,两种小区管理方案,为了了解哪一种方案最为合理有效,物业随机调查了50名男业主和50名女业主,每位业主对,两种小区管理方案进行了投票(只能投给一种方案),得到下面的列联表:
方案
方案
男业主
35
15
女业主
25
25
(1)分别估计,方案获得业主投票的概率;
(2)判断能否有95%的把握认为投票选取管理方案与性别有关.
附:
【答案】(1)0.6,0.4;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)分别计算获得,方案投票的数量与总数作比即可得解;
(2)完成列联表,根据公式计算,查表下结论即可.
【详解】(1)由调查数据可知,方案获得业主投票的比率为,因此方案获得业主投票的概率估计为0.6;
方案获得业主投票的比率为,因此方案获得业主投票的概率估计为0.4;
(2)
- 24 -
方案
方案
合计
男业主
35
15
50
女业主
25
25
50
合计
60
40
100
.
故有95%的把握认为投票选取管理方案与性别有关.
【点睛】本题主要考查了独立性检验的实际应用,准确计算是解题的关键,属于基础题.
18.在中,内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角.
(2)若,求的面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理化简可得,利用余弦定理可求,结合范围,可求的值.
(2)由,且,,利用正弦定理,三角函数函数恒等变换的应用可求,利用正弦函数的性质,三角形的面积公式即可求解的面积的最大值.
【详解】解:(1),由正弦定理可得,
化简可得,
- 24 -
,
,
.
(2),且,,
,
,
当,即时,的面积最大,可得的面积的最大值.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数函数恒等变换的应用,正弦函数的性质,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
19.如图,已知直三棱柱,,分别是棱,的中点.
- 24 -
(1)证明:平面;
(2)若,,求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连结,,推导出四边形是平行四边形,从而,由此能证明平面.
(2)求出△的面积,三棱锥的高为,由此能求出三棱锥的体积.
【详解】解:(1)证明:取的中点,连结,,
,分别是,的中点,,,
四边形是平行四边形,,
平面,平面,
平面.
(2)解:,是的中点,
△的面积为,
,是的中点,
三棱锥的高为,
三棱锥的体积为.
- 24 -
【点睛】本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力与运算求解能力,属于中档题.
20.已知0<m<2,动点M到两定点F1(﹣m,0),F2(m,0)的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点.
(1)求m的值以及曲线C的方程;
(2)过定点且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明:以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.
【答案】(1), ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的定义可知曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,再代入点求得椭圆中的基本量即可.
(2)设直线,再联立椭圆的方程,得出韦达定理,代入进行计算可得证明即可.
【详解】(1)解:设M(x,y),因为|MF1|+|MF2|=4>2m,所以曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2.
- 24 -
设椭圆C的方程为1(b>0),代入点得b2=1,
由c2=a2﹣b2,得c2=3,
所以,故曲线C的方程为;
(2)证明:设直线l:x=ty,A(x1,y1),B(x2,y2),
椭圆的右顶点为P(2,0),联立方程组
消去x得0.
△>0,y1+y2,y1y2,
所以 ,∴,
故点P在以AB为直径的圆上,即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及方程的求解方法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理证明圆过定点的问题,可利用向量的数量积为0列式化简求解.属于难题.
21.已知函数,.
(1)若在处取得极值,求的的单调区间;
- 24 -
(2)若在上没有零点,求的取值范围.
【答案】(1)增区间为,减区间为;(2).
【解析】
【分析】
(1)若在处取得极值,则,求出,再代入求单调区间;
(2)因为,所以只需证明在满足,对进行分类讨论即可.
【详解】解:(1)的定义域,
,
,
,递增区间为,
,递减区间为,
所以递增区间为,递减区间为.
(2),
,
因为,所以只需证明在满足.
当时,在恒成立,
在上递减,
,得,与矛盾;
②当时, ,递减,
,递增,
- 24 -
所以
③,在恒成立,
在上递增,
,满足题意,
综上有,.
【点睛】考查求函数的单调区间以及根据函数的零点情况求参数的范围,函数的零点情况转化为研究函数的值域,进一步确定参数范围;属于较难题.
(二)选考题:
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.曲线的极坐标方程为,曲线与曲线的交线为直线.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程;
(2)直线与轴交于点,与曲线相交于,两点,求的值.
【答案】(1):,:;(2).
【解析】
【分析】
(1)直接利用转化公式求解即可;
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
- 24 -
【详解】解:(1)已知曲线的参数方程为为参数),
转换为直角坐标方程为①,
曲线的极坐标方程为,整理得,
根据转换为直角坐标方程为②,
∴①②两个方程相减得公共弦所在直线的方程为,
曲线的极坐标方程为,
根据转换为直角坐标方程为;
(2)直线与轴交于,
∴直线的参数方程为为参数),
代入到,得,
∴,,
故.
【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查参数方程和普通方程的互化,考查直线的参数方程的应用,考查转化与化归思想,考查计算能力,属于中档题.
- 24 -
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若方程有两个不等实数根,求a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)函数写成分段函数的形式,分类讨论不等式的解集取并集即可;(2)方程有两个不等实数根等价于有两个不等实数根,利用基本不等式求出当x<0时的范围,然后数形结合求出a的取值范围.
【详解】(1),
∵,∴或,∴或,即,
∴不等式的解集为;
(2)方程,即,
显然不是方程的根,故,
令,
当x<0时,,当且仅当时取等号,
作出的图象,如图所示:
- 24 -
∵方程有两个不等实数根,
∴由图象可知.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、根据方程的根的个数求参数的取值范围、分段函数的图象与性质,属于中档题.
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