高考数学专题复习教案： 导数在研究函数中的应用备考策略 3页

导数在研究函数中的应用 主标题：导数在研究函数中的应用备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　利用导数研究函数的单调性 ‎【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.‎ ‎(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．‎ 解　(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，‎ ‎∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．‎ 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，‎ ‎∴x>ln 2或x<0.‎ 令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴00)，‎ ‎∴f′(x)＝－－＋＝.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1或－(舍去)．‎ 当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.‎ ‎∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．‎ 故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．‎ ‎【备考策略】 (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．‎ ‎(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ 考点三　利用导数求函数的最值 ‎【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．‎ 审题路线　(1)⇒a，b的值；‎ ‎(2)求导确定函数的极大值⇒求得c值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．‎ 解　(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，‎ 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ 故有即 化简得解得 ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－2或2.‎ 当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－3‎ ‎(－3，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎9＋c ·  极大值 ·  极小值 ·  ‎－9＋c 由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，‎ 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.‎ ‎【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．‎