高中数学第三章函数的应用3_2函数模型及其应用互动课堂学案新人教A版必修11 7页

3.2 函数模型应用举例 互动课堂 疏导引导 一、函数的应用 1.数学建模的地位和作用 数学来源于生活，又服务于生活.在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于 事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学建模是提出问题和解决问题的必由之 路. 掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和 性质.反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们 学习数学的积极性. 在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用. 2.数学模型的种类 第一类是以数学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过 程、知识的应用过程. 第二类探究的内容来源于物理、化学等学科.主要是利用 CBL （基于图形计算器的掌 上实验室）和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、 处理数据，完成定性和定量的分析. 第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显 的问题.如节约能源（怎样烧开一壶水更省天然气）、储蓄问题（怎样存钱能获得更多利息）、 绿化问题（控制栽树和伐树的比例保护环境）、生态问题（草食动物和肉食动物的平衡）等 等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料，我们对材料进行 筛选、组织，选取关键的特征和关系，用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形,计算 器对数学模型处理，从而解决问题. 3.数学应用题的求解策略 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般步骤: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. (2)建模:将文字语言转化成数学语言. (3)求模:求解数学模型,得到数学结论. (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 4.常见的数学模型有哪些？ 探究思路：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多 体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、 对数函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型： （1）平均增长率问题：如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的产值 或产量 y=N（1+p）x. （2）储蓄中的复利问题：如果本金为 a 元，每期利率为 r，本利和为 y，存期为 x，则 y=a （1+r）x. （3）根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横 截面面积 A 和水深 h 的函数关系. （4）通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等. 我们在前面已经学习了有关一次函数、二次函数在具体实际中的应用,现在学习有关指数函 数和对数函数在实际中的应用. 二、指数函数的应用 ●案例 1 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年 下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业 一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年（今 年为第一年）的利润为 500(1+ n2 1 )万元（n 为正整数）.(1)设从今年起的前 n 年，若该企 业不进行技术改造的累计纯利润为 A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 B n 万元（需扣 除技术改造资金），求 A n、B n 的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年. 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 【探究】 (1)A n、B n 是年数 n 的函数，又由于 A n、B n 都是“累计纯利润”，∴要分别进行 数列求和. (2)实际上就是求 B n－A n>0 时 n 的最小值. 【解】 (1)依题设，A n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n 2； B n=500[(1+ 2 1 )(1+ 22 1 )+…+(1+ n2 1 )]－600=500n－ n2 500 －100. (2)B n － A n=(500n － n2 500 － 100) － (490n － 10n 2)=10n2+10n － n2 500 － 100=10[n(n+1) － n2 50 -10]. ∵函数 y=n(n+1)－ n2 50 －10 在（0，+∞）上为增函数， 当 1≤n≤3 时，n(n+1)－ n2 50 －10≤12－ 8 50 －10<0； 当 n≥4 时，n(n+1)－ n2 50 －10≥20－ 16 50 －10>0. ∴仅当 n≥4 时，B n>A n. 答：至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术发行的累计纯利润. 【溯源】 与指数函数相关的应用问题较多，如平均增长率等问题，遇到类似问题时，应能 主动调动指数函数相关知识来解决. 三、对数函数的应用 ●案例 2 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只 小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒 细胞在小白鼠体内的个数超过 10 8 的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内 该病毒细胞的 98%． 天数 t 病毒细胞总数 N 1 2 3 4 5 6 7 … 1 2 4 8 16 32 64 … （1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天） （2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天） （已知 lg2=0.3010） 【探究】 (1)关键是病毒细胞总数与天数的函数关系式写出来——这要从所给的表中搜索. （2）关键是求出（1）之后小白鼠的体内还剩余多少病毒细胞. 【解】 （1）由题意,病毒细胞关于时间 n 的函数为 y=2 n-1≤108,则由 2 n-1≤108，两边取对数 得 (n-1)lg2≤8,n≤27.5，即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. （2）由题意,注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为 2 26×2%， 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 2 26×2%×2x, 由题意 2 26×2%×2x≤108，两边取对数得 26lg2+lg2-2+xlg2≤8,得 x≤6.2, 故再经过 6 天必须注射药物，即第二次应在第 33 天注射药物． 【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果，经常是根据题意列出指数函数， 再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式，然后两边取对数，即求解指数方程的解或 指数不等式的解集. 四、分段函数的应用 ●案例 3 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买 全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的 6 折（即按全票价的 60%收费）优惠.”若全票价为 240 元, （1）设学生数为 x，甲旅行社收费为 y 甲，乙旅行社收费为 y 乙，分别计算两家旅行社的收 费（建立表达式）. （2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样? （3）就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠. 【探究】 （1）y 甲=120x+240，y 乙=240·60%（x+1）=144x+144. （2）根据题意，得 120x+240=144x+144，解得 x=4. ∴当学生人数为 4 人时，两家旅行社的收费一样多. （3）当 y 甲＞y 乙时，120x+240＞144x+144，解得 x＜4； 当 y 甲＜y 乙时，120x+240＜144x+144，解得 x＞4. ∴当学生人数少于 4 人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于 4 人时，甲旅行社更优惠. 【溯源】 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时， 可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等 五、二次函数模型的应用 ●案例 4 某工厂生产某产品 x 吨所需费用 P 元，而卖出 x 吨的价格为每吨 Q 元，已知 P=1 000+5x+ 10 1 x2,Q=a+ b x ，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为 150 吨时利润最大，此时 每吨价格为 40 元，求实数 a、b 的值. 【探究】 利润=销售收入-生产费用（即成本）. 设利润为 y 元，则 y=Qx-P=ax+ b x 2 -1 000-5x- 10 1 x2 =( b 1 - 10 1 )x2+(a-5)x-1 000， 依题意得            ba b a 15040 150 )10 11(2 5 化简得        40150 35300 ba ba 解得      30 45 b a 【溯源】 有些应用题已给出问题的基本数学模型，或一部分数学模型，还有一部分要求自 己建模，这就需要进一步分析相等关系，这种题型文字叙述相对较少，可以加大计算推理能 力的要求，是高考的常考题型. 活学巧用 1. 某区域截止 2006 年底已经全部完成退耕还林总面积 1 万亩.为进一步改善生态环境，加 强绿色区域建设，从 2007 年起开始退耕还湖 128 亩，随后每年的退耕还湖面积比上一年增 加 50%，试问： (1)该区域在 2013 年应该退耕还湖面积为多少亩？ (2)到哪一年底，该区域退耕还湖的全面积开始超过该区域退耕面积总量的 3 1 ？ 【解】 (1)该区域逐年退耕还湖面积组成等比数列{an}，其中 a1=128,q=1.5, 则在 2013 年应该退耕还湖面积为 a7=a1·q6=128×1.56=1 458（亩）. (2)记 Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得 n n S S 1000 > 3 1 .于是 Sn= 5.11 )5.11(128 n   >5 000（亩）， 即 1.5n> 32 657 ，则有 n≈7.5,因此 n≥8.∴到 2014 年底，该区域退耕还湖的全面积开始超过 该区域退耕面积总量的 3 1 . 2. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2005年某偏远地区农民人均收入为 3 150 元(其中工资性收入为 1 800 元，其他收入为 1 350 元), 预计该地区自 2006 年起的 5 年内， 农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其他收入每年增加 160 元.根据以上数据， 2010 年该地区农民人均收入介于( ) A． 4 200 元～4 400 元 B． 4 400 元～4 600 元 C． 4 600 元～4 800 元 D． 4 800 元～5 000 元 【思路解析】设 2010 年该地区农民人均收入为 x 元，根据题意，得 x=1 800(1+6%)5+1 350+160 ×5=1 800×1.065+2 150≈4 558.8，因此，选 B. 【答案】 B 3. 某工厂 2006 年生产一种产品 2 万件，计划从2007 年开始每年的产量比上一年增长 20%．则 这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万件时是年． (已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( ) A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018 【思路解析】 此题是平均增长率问题的变式考题，哪一年的年产量超过 12 万件，其实就是 求在 2006 年的基础上再过多少年的年产量大于 12 万件，即求经过多少年. 设再过 n 年这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万件,根据题意，得 2(1+20%)n>12,即 1.2n>6，两边取对数，得 nlg1.2>lg6， ∴ n> 2.1lg 6lg = 13lg2lg2 3lg2lg   = 14471.03010.02 4771.03010.0   .∴ n=10. ∴ 即 2006+10=2016（年）.因此，选 B. 【答案】 B 4. 某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为.（lg2=0.301 0， lg11.49=1.060 2） 【思路解析】 设产值平均年增长率为 x，则（1+x）10=4. 两边同取以 10 为底的对数得 10lg（1+x）=2lg2. ∴lg（1+x）= 10 3010.02 =0.060 2. ∴1+x=10 0.060 2. 又∵ lg11.49=1.060 2， ∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.0602.∴10 0.060 2=1.149. 因此 1+x=1.149，x=0.149=14.9%. 【答案】 14.9% 5. 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份 0.20 元，卖出的价格是每份 0.30 元，卖 不完的还可以以每份 0.08 元的价格退回报社．在一个月（以 30 天计算）有 20 天每天可卖 出 400 份，其余 10 天只能卖 250 份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社 买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱. 【解】 本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析： 设每天从报社买进 x 份（250≤x≤400）． 数量（份） 价格（元） 金额（元） 买进 30x 0.20 6x 卖出 20x＋10×250 0.30 6x＋750 退回 10（x－250） 0.08 0.8x－200 则每月获利润 y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）, y 在 x∈［250，400］上是一次函数, ∴x＝400 时，y 取得最大值 870 元． 答：每天从报社买进 400 份时，每月获的利润最大，最大利润为 870 元. 6. 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估计 以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y=a·bx+ c(a、b、c 为常数)已知四月份该产品 的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由. 【解】 设二次函数为 y=px2+qx+r,由已知得       3.193 2.124 1 rqp rqp rqp 解之,得       7.0 35.0 05.0 r q p 所以 y=-0.05x2+0.35x+0.7.当 x=4 时，y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3. 又对函数 y=a·bx+ c,由已知得       3.1 2.1 1 3 2 cab cab cab 解之,得       4.1 5.0 08.0 c b a ∴y=-0.8×( 2 1 )x+1.4,当 x=4 时，y=-0.8×( 2 1 )4+1.4=1.35. 根据四月份的实际产量为 1.37 万元，而|y2-1.37|=0.02<0.07=|y1-1.37|. 所以函数 y=- 5 4 ·( 2 1 )x+ 5 7 作模拟函数较好 7. 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中， 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是 ( ) 【思路解析】 由于 d 0 表示学生的家与学校的距离，因而首先排除 A、C 选项，又因为图中 线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除 B，故只能选择 D． 【答案】 D 8. 如下图所示，点Ｐ在边长为 1 的正方形的边上运动，设 M 是 CD 边的中点，则当点Ｐ沿着 A—B—C—M 运动时，以点Ｐ经过的路程 x 为自变量，三角形 APM 的面积函数的图象形状大 致是( ) 【思路解析】 本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示， 当 0≤x≤1 时，y＝ 2 1 ·x·1＝ 2 1 x； 当 1＜x≤2 时，y＝1－ 2 1 （x－1）－ 4 1 （2－x）－ 4 1 ＝－ 4 1 x＋ 4 3 ； 当 2＜x≤2.5 时，y＝ 2 1 （ 2 5 －x）×1＝ 4 5 － 2 1 x． 则 y＝            5.22,4 5 2 1 21,4 3 4 1 10,2 1 xx xx xx 图形为 A. 【答案】 A