人教A版高中数学2-1-1指数与指数幂的运算（2）教案新人教版必修1 4页

2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计） 内容：分数指数幂 一、教学目标 （一）知识目标 （1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。 （2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 （二）能力目标 （1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力． （2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想． （3）训练学生思维的灵活性 （三）德育目标 （1）激发学生自主学习的兴趣 （2）养成良好的学习习惯 教学重点： 次方根的概念及其取值规律。 教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步 向前发展。引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定 义。 ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来。 二、师生互动，新课讲解： 1.分数指数幂 看下面的例子： 当 0a 时， （1） 25 525 10 )( aaa  ，又 5 102  ，所以 5 10 5 10 aa  ； （2） 34 434 12 )( aaa  ，又 4 123  ，所以 4 12 4 12 aa  ． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？ 根据 n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是： n mn m aa  （ 0a ， 1*,,  nNnm ）． 0 的正分数指数幂等于 0 , 0 的负分数指数幂无意义. 由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当 0a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂 形式． 例如： 3273  ，而 3)27(6 2  ． 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用． 联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q) (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q) (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0, r,∈Q) 3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。 （1） 规定正数的正分数指数幂的意义是： n mn m aa  （a>0，m,nN+，且 n>1） （2） 规定正数的负分数指数幂的意义是：   m m a n m a 1 （a>0，m,nN+，且 n>1） （3） 特别指出分数指数幂的底数 a、m、n 的取值只需式子有意义即可。 例 1（课本 P51 例 2）：求值： 2 38 ； 1 225  ； 51( )2  ； 3 416( )81  变式训练 1： 求下列各式的值： （1） 1 225 ； （2） 3 2 27  ； （3） 3 6 1       ； （4） 4 3 10000 81       ． 解 (１) 55)5(25 2 12 2 1 22 1   ； （2） 9 133)3(27 2) 3 2(3 3 2 33 2   ； （3） 2166)6(6 1 331 3        ； （4） 27 1000 3 10 10 3 10 3 10000 81 33 4 34 4 3                        ． 例 2（ 课本 P51 例 3）用分数指数幂的形式表示下各式（其中 a>0） 3a a ； 32 2a a ； 3a a 例 3（课本 P52 例 4）：计算下列各式（式中字母都是正数） （1） 2 1 1 51 1 3 3 6 62 2(2 )( 6 ) ( 3 )a b a b a b   （2） 31 884( )m n  （先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答） 分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规 律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序. 我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？ 其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行. 第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算. 解：（1）原式= 2 1 1 1 1 5 3 2 6 2 3 6[2 ( 6) ( 3)]a b         = 04ab =4 a （2）原式= 31 8 884( ) ( )m n  = 2 3m n 例 4：（课本 P52 例 5）计算下列各式 （1） 3 4( 25 125) 25  （2） 2 3 2 ( . a a a a ＞0） 分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样 就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算. 解：（1）原式= 1 1 1 3 2 4(25 125 ) 25  = 2 3 1 3 2 2(5 5 ) 5  = 2 1 3 1 3 2 2 25 5    = 1 65 5 = 6 5 5 （2）原式= 1 2 52 2 6 52 3 6 21 32 a a a a a a       小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负 指数. 课堂练习：（课本 P54 练习 NO：1；2；3） 三、课堂小结，巩固反思： 1.这堂课的主要内容是什么？ 2.做指数运算时有什么需要注意的地方？ 这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数 的导出过程，理解由特殊到一般的研究方法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。 四、布置作业 A 组： 1、（课本 P59 习题 2.1 A 组：NO：2（1）（2）（3）） 2、（课本 P59 习题 2.1 A 组：NO：4（1）~（8）） 3、(tb0112901)下列等式中正确的是（D） (A) - x =(-x) 2 1 (x  0) (B) x 3 1 = - 3 x (C) 3 1 6 2 yy  (y<0) (D) 4 34 3 )()( x y y x  (xy  0) 4、(tb0112902)下列各式成立的是（A）。 (A) 3 1 3 24  (B) 3 2 3 22 )( nmnm  (C) ( 55) aba b  (D) 3 1 6 2 )2()2(  5、(tb0112911)化简 4 3 3 ) 27 8( b a   (a>0,b>0)的结果是（C）。 (A) b a 2 3 (B) - b a 2 3 (C) 4481 16 ba (D) - 4481 1 ba 6、(tb0113012) 3 4 32 9 ba (a>0,b>0)化简得（C）。 (A) 4 3 2 3  ba (B) 3 1 3 1  ba (C) 4 1 2 3  ba (D) 4 9 3 1  ba B 组： 1、（课本 P59 习题 2.1 B 组：NO：2）