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- 2021-06-16 发布
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4.2
简单幂函数的图象和性质
激趣诱思
知识点拨
幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用
.
那么幂函数如何定义
?
它的图象和性质是怎样的呢
?
激趣诱思
知识点拨
一
、幂函数的定义
一般地
,
形如
(
α
为常数
)
的函数
,
即
是自变量
、
是常数的函数称为幂函数
.
名师点
析
1.
幂
的指数是一个常数
,
它可以取任意实数
;
2.
幂
值前面的系数是
1,
否则不是幂函数
,
如函数
y=
5
就
不是幂函数
.
3.
幂函数
的定义域是使
x
α
有意义的所有
x
的集合
,
因
α
的不同
,
定义域也不同
.
y=x
α
底数
指数
激趣诱思
知识点拨
微练习
在函数
①
y
=
,
②
y=
3
x
2
,
③
y=x
2
+
2
x
中
,
幂函数的序号为
.
(填序号)
答案
:
①
解析
:
函数
y
= =
x
-
4
为幂函数
;
函数
y=
3
x
2
中
x
2
的系数不是
1,
所以它不是幂函数
;
函数
y=x
2
+
2
x
不是
y=x
α
(
α
∈
R
)
的形式
,
所以它不是
幂函数
.
激趣诱思
知识点拨
二、幂函数的图象和性质
1
.
常见的五种幂函数的
图象
可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象
,
在第四象限内无图象
.
激趣诱思
知识点拨
2
.
幂函数的
性质
[0,
+∞
)
[0,
+∞
)
[0,
+∞
)
奇函数
偶函数
既
不是
奇
函数
,
也不
是
偶函数
奇函数
增函数
单调递增
单调递
减
增函数
单调递减
(1,1
)
单调递减
激趣诱思
知识点拨
名师点
析
幂函数
y=x
α
的上述性质可归纳如下
:
(
1)
当
α
>
0
时
,
图象都通过点
(0,0),(1,1);
在第一象限内
,
函数单调递增
.
(
2)
当
α
<
0
时
,
图象都通过点
(1,1);
在第一象限内
,
函数单调递减
,
图象向上与
y
轴无限接近
,
向右与
x
轴无限接近
.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确
,
正确的在后面的括号内画“√”
,
错误的画“
×”.
(
1)
幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限
.
(
)
(2)
幂函数的图象必过
(0,0)
和
(1,1)
.
(
)
答案
:
(1)
×
(2
)
×
激趣诱思
知识点拨
微
练习
(2)
已知幂函数
f
(
x
)
=x
α
的图象经过点
(2
, ),
则函数
f
(
x
)
为
(
)
A.
奇函数且在
(0,
+∞
)
上单调递增
B.
偶函数且在
(0,
+∞
)
上单调递减
C.
既不是奇函数
,
又不是偶函数且在
(0,
+∞
)
上单调递增
D.
既不是奇函数
,
又不是偶函数且在
(0,
+∞
)
上单调递减
激趣诱思
知识点拨
答案
:
(1)
C
(2)
C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
幂函数的概念
例
1
函数
f
(
x
)
=
(
m
2
-m-
5)
x
m-
1
是幂函数
,
且当
x
∈
(0,
+∞
)
时
,
f
(
x
)
单调递增
,
试确定
m
的值
.
分析
由
f
(
x
)
=
(
m
2
-m-
5)
x
m-
1
是幂函数
,
且当
x>
0
时
单调递增
,
可先利用幂函数的定义求出
m
的值
,
再利用单调性确定
m
的值
.
解
:
根据幂函数的定义
,
得
m
2
-m-
5
=
1,
解得
m=
3
或
m=-
2
.
当
m=
3
时
,
f
(
x
)
=x
2
在
(0,
+∞
)
上
单调递增
;
当
m=-
2
时
,
f
(
x
)
=x
-
3
在
(0,
+∞
)
上
单调递减
,
不符合要求
.
故
m=
3
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
y=x
α
(
α
为常数
)
的形式
,
即
:(1)
系数为
1;(2)
指数为常数
;(3)
后面不加任何项
.
反之
,
若一个函数为幂函数
,
则该函数必具有这种形式
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1
如果幂函数
y=
(
m
2
-
3
m+
3
)
的
图象不过原点
,
求实数
m
的取值
.
解
:
由幂函数的定义得
m
2
-
3
m+
3
=
1,
解得
m=
1
或
m=
2;
当
m=
1
时
,
m
2
-m-
2
=-
2,
函数为
y=x
-
2
,
其图象不过原点
,
满足条件
;
当
m=
2
时
,
m
2
-m-
2
=
0,
函数为
y=x
0
,
其图象不过原点
,
满足条件
.
综上所述
,
m=
1
或
m=
2
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
幂函数的图象
例
2
已知函数
y=x
a
,
y=x
b
,
y=x
c
的图象如图所示
,
则
a
,
b
,
c
的大小关系为
(
)
A.
c
1,0
2
b
>
2
c
,
又函数
y=
2
x
在
R
上是增函数
,
于是
a>b>c.
2
.
对于函数
y=x
α
(
α
为常数
)
而言
,
其图象有以下特点
:
(1)
恒过点
(1,1
)
.
(2)
当
x
∈
(0,1)
时
,
指数越大
,
幂函数图象越靠近
x
轴
(
简记为
“
指大图低
”);
当
x
∈
(1,
+∞
)
时
,
指数越大
,
幂函数的图象越远离
x
轴
(
简记为
“
指大图高
”)
.
(3)
由幂函数的图象确定幂指数
α
与
0,1
的大小关系
,
即根据幂函数在第一象限内的图象
(
类似于
y=x
-
1
或
y
=
,
y=x
3
)
来判断
.
(4)
当
α
>
0
时
,
幂函数在
区间
(0,
+∞
)
上都是增函数
;
当
α
<
0
时
,
幂函数在
区间
(0,
+∞
)
上都是减函数
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
2
如图所示
,
曲线
C
1
与
C
2
分别是函数
y=x
m
和
y=x
n
在第一象限内的图象
,
则下列结论正确的是
(
)
A.
nm>
0 D.
m>n>
0
答案
:
A
解析
:
画出直线
y=x
0
的图象
,
作出直线
x=
2,
与三个函数图象交于点
(2,2
0
),(2,2
m
),(2,2
n
)
.
由三个点的位置关系可知
,
ng
(
x
),(2)
f
(
x
)
=g
(
x
),(3)
f
(
x
)
1
或
x<-
1
时
,
f
(
x
)
>g
(
x
);
(2)
当
x=
1
或
x=-
1
时
,
f
(
x
)
=g
(
x
);
(3)
当
-
1
1
时
,
y>
1,
∴
1
.
3
0
.
7
>
1
.
于是有
0
.
7
1
.
3
<
1
.
3
0
.
7
.
对于幂函数
y=x
m
,
由
(0
.
7
1
.
3
)
m
<
(1
.
3
0
.
7
)
m
知
,
当
x>
0
时
,
随着
x
的增大
,
函数值
y
也增大
,
所以
m>
0
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
幂函数的
“
凸
”
性
(1)
上凸函数、下凸函数的定义
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)
幂函数的凸性
①
幂函数
y=x
α
,
x
∈
(0,
+∞
),
在
α
>
1
时
,
函数是下凸函数
;
②
幂函数
y=x
α
,
x
∈
(0,
+∞
),
在
0
<
α
<
1
时
,
函数是上凸函数
;
③
幂函数
y=x
α
,
x
∈
(0,
+∞
),
在
α
<
0
时
,
函数是下凸函数
.
这个定义从几何形式上看就是
:
在函数
f
(
x
)
的图象上取任意两点
,
如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方
,
那么这个函数就是上凸函数
;
如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方
,
那么这个函数就是下凸函数
.
根据函数图象判断
,
一般开口向下的二次函数是上凸函数
,
开口向上的二次函数是下凸函数
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
典例
如图
,
f
i
(
x
)(
i=
1,2,3,4)
是定义
在
区间
[
0,1]
上的四个函数
,
其中满足性质
:“
对
[0,1]
中任意的
x
1
和
x
2
,
任意
λ
∈
[0,1
],
f
[
λ
x
1
+
(1
-
λ
)
x
2
]
≤
λ
f
(
x
1
)
+
(1
-
λ
)
f
(
x
2
)
恒成立
”
的只有
(
)
A.
f
1
(
x
)
B.
f
2
(
x
) C.
f
3
(
x
) D.
f
4
(
x
)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
再结合函数
f
(
x
)
图象的凹凸性
,
可排除
B,C,D
三个选项
,
正确答案为
A
.
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1
.
幂函数
y=kx
α
过点
(4,2),
则
k-
α
的值为
(
)
答案
:
B
解析
:
幂函数
y=kx
α
过点
(4,2),
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.
C
2
,
C
1
,
C
3
,
C
4
B.
C
4
,
C
1
,
C
3
,
C
2
C.
C
3
,
C
2
,
C
1
,
C
4
D.
C
1
,
C
4
,
C
2
,
C
3
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3
.
幂函数
f
(
x
)
=x
3
m-
5
(
m
∈
N
)
在
区间
(0
,
+∞
)
上
是
单调递减
,
且
对定义域中的任意
x
,
有
f
(
-x
)
=f
(
x
),
则
m
等于
(
)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案
:
B
解析
:
幂函数
f
(
x
)
=x
3
m-
5
(
m
∈
N
)
在
(0,
+∞
)
上
单调递减
,
则
3
m-
5
<
0,
即
又
m
∈
N
,
故
m=
0
或
m=
1
.
∵
f
(
-x
)
=f
(
x
),
∴
f
(
x
)
是偶函数
.
当
m=
0
时
,
f
(
x
)
=x
-
5
是奇函数
;
当
m=
1
时
,
f
(
x
)
=x
-
2
是偶函数
,
符合题意
.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5
.
比较下列各组中两个值的大小
:
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